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公式总结高中数学*常用公式及结论*b高中数学常用公式及结论kkf(k)f(k)0或12a2121元素与集合的关系:xAxCA,xCAxAb24ac0UUØAA9闭区间上的二次函数的最值2德摩根公式:C(AB)CACB;C(AB)CACB二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在UUUUUU3包含关系bx处及区间的两端点处取得，具体如下：ABABAABBCBCAACB2aUUUCABRbU(1)当a...

高中数学*常用公式及结论*b高中数学常用公式及结论kkf(k)f(k)0或12a2121元素与集合的关系:xAxCA,xCAxAb24ac0UUØAA9闭区间上的二次函数的最值2德摩根公式:C(AB)CACB;C(AB)CACB二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在UUUUUU3包含关系bx处及区间的两端点处取得，具体如下：ABABAABBCBCAACB2aUUUCABRbU(1)当a>0时，若xp,q，则4元素个数关系：2acard(AB)cardAcardBcard(AB)bf(x)f(),f(x)f(p),f(q)；card(ABC)cardAcardBcardCmin2amaxmaxcard(AB)card(BC)card(CA)card(ABC)bxp,q，f(x)f(p),f(q)，f(x)f(p),f(q)2amaxmaxminmin5．集合{a,a,,a}的子集个数共有2n个；真子集有2n1个；非空子12nb集有2n1个；非空的真子集有2n2个(2)当a<0时，若xp,q，则f(x)minf(p),f(q)，2amin6二次函数的解析式的三种形式b(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);若xp,q，则f(x)maxf(p),f(q)，2amax(2)顶点式f(x)a(xh)2k(a0);（当已知抛物线的顶点坐标(h,k)f(x)minf(p),f(q)时，设为此式）min(3)零点式f(x)a(xx)(xx)(a0)；（当已知抛物线与x轴的交点坐10一元二次方程f(x)x2pxq＝0的实根分布12（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或标为(x,0),(x,0)时，设为此式）12p24q0（4）切线式：f(x)a(xx)2(kxd),(a0)（当已知抛物线与直线0p；ykxd相切且切点的横坐标为x时，设为此式）m027解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式（2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(x)NNf(x)M[f(x)M][f(x)N]00pmnmnpMf(x)mn2222f(x)Nf(m)f(n)0或p24q0或p24q0；f(x)Mf(n)0f(m)08方程ax2bxc0(a0)在(k,k)内有且只有一个实根,等价于12第1页（共21页）高中数学*常用公式及结论*（3）方程f(x)0在区间(,m)内有根的充要条件为f(m)0或原命题互逆逆命题p24q0若p则q若q则p互为否p逆m互互2否逆否为11定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据否互(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）否命题逆否命题若┐p则┐q逆若┐q则┐p上含参数的不等式f(x)t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)t,(xL)互min15充要条件（记p 表示条件，q表示结论）(2)在给定区间(,)的子区间L上含参数的不等式f(x)t(t为参数)（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件恒成立的充要条件是f(x)t,(xL)max（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件(3)在给定区间(,)的子区间L上含参数的不等式f(x)t(t为参数)（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件的有解充要条件是f(x)t,(xL)max注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然(4)在给定区间(,)的子区间L上含参数的不等式f(x)t(t为参16函数的单调性的等价关系数)有解的充要条件是f(x)t,(xL)(1)设x,xa,b,xx那么min121212真值表f(x)f(x)(xx)f(x)f(x)0120f(x)在a,b上是增1212xxｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ12真真假真真函数；真假假真假f(x)f(x)(xx)f(x)f(x)0120f(x)在a,b上是减假真真真假1212xx12假假真假假函数13常见结论的否定形式(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；原结论反设词原结论反设词如果f(x)0，则f(x)为减函数是不是至少有一个一个也没有17如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数都是不都是至多有一个至少有两个f(x)g(x)也是减函数;如果函数f(x)和g(x)都是增函数,则在公共定义域大于不大于至少有n个至多有（n1）个小于不小于至多有n个至少有（n1）个内,和函数f(x)g(x)也是增函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的对所有x，成立存在某x，不成立p或qp且q定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数；如果函数yf(u)和对任何x，不成立存在某x，成立p且qp或qug(x)在其对应的定义域上都是增函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数；14四种命题的相互关系:如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数yf[g(x)]是减函数18．奇偶函数的图象特征第2页（共21页）高中数学*常用公式及结论*奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个ab(2)函数yf(x)的图象关于直线x对称函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y2轴对称，那么这个函数是偶函数f(am)x(fbmx19常见函数的图像：f(abmx)f(mx)yyyy24两个函数图象的对称性y=axk<0k>0a<021(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称y=x+xox01abox-1o1x(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x对1a>0-22my=kx+b称y=ax2+bx+coxy(3)函数yf(x)和yf1(x)的图象关于直线y=x对称y=logxa25若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数0126．互为反函数的两个函数的关系：f(a)bf1(b)a20对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)27函数yf(x)与其反函数yf1(x)的图像的交点不一定全在直线yxab上的对称轴是x;两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线228几个常见的函数方程(1)正比例函数f(x)cxf(xy)f(x)f(y),f(1)cabx对称2(2)指数函数f(x)axf(xy)f(x)f(y),f(1)a0a(3)对数函数f(x)logxf(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1)21若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;a2(4)幂函数f(x)xf(xy)f(x)f(y),f(1)若f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数(5)余弦函数f(x)co,x正弦函数g(x)si，x22．多项式函数P(x)axnaxn1a的奇偶性f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，nn10多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零sinxf(0)1,lim1多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零x0x23函数yf(x)的图象的对称性29几个函数方程的周期(约定a>0)f(x)f(xa)f(x)(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称（1），则的周期T=a；11f(a)x(faf(x2ax)fx（2）f(xa)(f(x)0)，或f(xa)(f(x)0),则f(x)的f(x)f(x)周期T=2a；第3页（共21页）高中数学*常用公式及结论*135．对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则f(x)1(f(x)0)f(x)(3)，则的周期T=3a；Mf(xa)(1)log(MN)logMlogN;(2)loglogMlogN;f(x)f(x)aaaaNaa(4)f(xx)12且n121f(x)f(x)(3)logMnnlogM(nR);log(4)NnlogN(n,mR)12aaammaf(a)1(f(x)f(x)1,0|xx|2a)，则f(x)的周期T=4a；121236设函数f(x)log(ax2bxc)(a0),记b24ac若f(x)的30分数指数幂m定义域为R,则a0且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0m1(1)an（a0,m,nN，且n1）37对数换底不等式及其推广：设nm1，p0，a0，且a1，则nammnm（）log(np)logn（）logmlognlog2112(2)an（a0,m,nN，且n1）mpmaaa2m38平均增长率的问题（负增长时p0）an31．根式的性质如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，（1）(na)na有yN(1p)x（2）当n为奇数时，nana；s,n139数列的通项公式与前n项的和的关系：a1(数列{a}的a,a0nss,n2n当n为偶数时，nan|a|nn1a,a0前n项的和为saaa)n12n32．有理指数幂的运算性质(1)arasars(a0,r,sQ)40等差数列的通项公式：aa(n1)ddnad(nN*)；n11(2)(ar)sars(a0,r,sQ)n(aa)n(n1)d1(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ)其前n项和公式为：s1nnadn2(ad)nn212212注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数a幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用41等比数列的通项公式：aaqn11qn(nN*)；n133指数式与对数式的互化式:logNbabN(a0,a1,N0)qalogNa(1qn)aaq34对数的换底公式:logNm(a0,且a1,m0,且m1,1,q11n,q1aloga其前n项的和公式为s1q或s1qmnnN0)na,q1na,q111logN对数恒等式：aaN(a0,且a1,N0)42等比差数列a:aqad,ab(q0)的通项公式为nnn1n1推论logbnlogb(a0,且a1,N0)amma第4页（共21页）高中数学*常用公式及结论*b(n1)d,q1tantantan()1tantanabqn(db)qn1d；n,q1sin()sin()sin2sin2q1(平方正弦公式);cos()cos()cos2sin2nbn(n1)d,(q1)其前n项和公式为：sd1qndasinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象n(b)n,(q1)b1qq11q限决定,tan)aab(1b)n43分期付款(按揭贷款)：每次还款x元(贷款a元,n次还清,每48二倍角公式及降幂公式(1b)n12tan期利率为bsin2sincos)1tan244．常见三角不等式1tan2cos2cos2sin22cos2112sin2（1）若x(0,)，则sinxxtanx1tan222tantan2(2)若x(0,)，则1sinxcosx21tan221cos21cos2(3)|sinx||cosx|1sin2,cos222sin45同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan=，49三倍角公式costancot1sin33sin4sin34sinsin()sin()46正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）33ncos34cos33cos4coscos()cos()n(1)2sin,(n为偶数)33sin()，2n1(1)2cos,(n为奇数)3tantan3tan3tantan()tan()13tan233nn(1)2cos,(n为偶数)cos()50三角函数的周期公式2n1函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，(1)2sin,(n为奇数)247和角与差角公式且A≠0)的周期T；函数ytan(x)，xk,kZ(A,ω,为||2sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;第5页（共21页）高中数学*常用公式及结论*sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ常数，且A≠0)的周期T||cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZabccosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ51正弦定理：2R（R为ABC外接圆的半径）sinAsinBsinCtanxa(aR)x(karctana,k),kZa2RsinA,b2RsinB,c2RsinC2a:b:csinA:sinB:sinCtanxa(aR)x(k,karctana),kZ52余弦定理2a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;57实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么222(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;cab2abcosC53面积定理(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;111(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb（1）Sahbhch（h、h、h分别表示a、b、c边上的高）2a2b2cabc58向量的数量积的运算律：111(1)a·b=b·a（交换律）;（2）SabsinCbcsinAcasinB222(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;1(3)（a+b）·c=a·c+b·c(3)S(|OA||OB|)2(OAOB)2OAB259平面向量基本定理54三角形内角和定理如果e、e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向12在△ABC中，有ABCC(AB)量，有且只有一对实数λ、λ，使得a=λe+λe．CAB1211222C22(AB)不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2221260．向量平行的坐标表示55简单的三角方程的通解设a=(x,y),b=(x,y)，且b0，则absinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1)1122b0xyx0ycosxax2karccosa(kZ,|a|1)()1221tanxaxkarctana(kZ,aR)a与b的数量积(或内积)：a·b=|a||b|cos特别地,有61a·b的几何意义：sinsink(1)k(kZ)数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积．coscos2k(kZ)62平面向量的坐标运算tantank(kZ)(1)设a=(x,y),b=(x,y)，则a+b=(xx,yy)1122121256最简单的三角不等式及其解集(2)设a=(x,y),b=(x,y)，则a-b=(xx,yy)sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ11221212第6页（共21页）高中数学*常用公式及结论*(3)设A(x,y)，B(x,y),则ABOBOA(xx,yy)且PP'的坐标为(h,k)11222121(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y)69“按向量平移”的几个结论(5)设a=(x,y),b=(x,y)，则a·b=(xxyy)（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(xh,yk)1122121263两向量的夹角公式(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的函abxxyy数解析式为yf(xh)kcos1212(a=(x,y),b=(x,y))|a||b|x2y2x2y21122(3)图象C'按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),112264平面两点间的距离公式则C'的函数解析式为yf(xh)k''d=|AB|ABAB(xx)2(yy)2(A(x,y)，(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为A,B212111f(xh,yk)0B(x,y))22(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y)a(x,y)b(x,y)b065向量的平行与垂直：设=,=，且，则70三角形五“心”向量形式的充要条件1122a||bb=λaxyxy0设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则1221ab(a0)a·b=0xxyy0（1）O为ABC的外心OA2OB2OC2121266线段的定比分公式：设P(x,y)，P(x,y)，P(x,y)是线段PP的分（2）O为ABC的重心OAOBOC011122212（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA点,是实数，且PPPP，则12（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0xxx121OPOP1（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOCOP12OPtOP(1t)OP（t）71常用不等式：yy1121y12（1）a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．1ab67三角形的重心坐标公式（2）a,bRab(当且仅当a＝b时取“=”号)．△ABC三个顶点的坐标分别为A(x,y)、B(x,y)、C(x,y),则△ABC的2112233a3b3c33abc(a0,b0,c0).xxxyyy（3）重心的坐标是G(123,123)33（4）柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.68点的平移公式（5）abababx'xhxx'h2ababa2b2OP'OPPP'（6）ab(当且仅当a＝b时取“=”号)y'ykyy'kab22注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F'上的对应点为P'(x',y')，72极值定理:已知x,y都是正数，则有第7页（共21页）高中数学*常用公式及结论*（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；f(x)01（3）f(x)g(x)g(x)0（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值s24f(x)[g(x)]2（3）已知a,b,x,yR，若axby1则有76指数不等式与对数不等式1111byax(1)当a1时,(axby)()abab2ab(ab)2xyxyxyf(x)0abaf(x)ag(x)f(x)g(x);logf(x)logg(x)g(x)0（4）已知a,b,x,yR，若1则有aaxyf(x)g(x)abaybx(2)当0a1时,xy(xy)()abab2ab(ab)2xyxyf(x)073一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)，如果af(x)ag(x)f(x)g(x);logf(x)logg(x)g(x)0aaa与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其f(x)g(x)解集在两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间77斜率公式xxx(xx)(xx)0(xx)；yy121212k21（P(x,y)、P(x,y)）xx,或xx(xx)(xx)0(xx)xx1112221212122174含有绝对值的不等式：当a>时，有078直线的五种方程xax2a2axa（1）点斜式yyk(xx)(直线l过点P(x,y)，且斜率为k)．11111xax2a2xa或xa（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距)yyxx75无理不等式（3）两点式11(yy)(P(x,y)、P(x,y)f(x)0yyxx121112222121（1）f(x)g(x)g(x)0(xx,yy))1212f(x)g(x)两点式的推广：(xx)(yy)(yy)(xx)0（无任何限制条211211（2）件！）xyf(x)0(4)截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距，a0、b0)f(x)0abf(x)g(x)g(x)0或g(x)0（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0)f(x)[g(x)]279两条直线的平行和垂直g(x)0f(x)0(1)若l:ykxb，l:ykxb或111222f(x)[g(x)]2g(x)0第8页（共21页）高中数学*常用公式及结论*①l||lkk,bb②llkk1(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示121212;1212(2)若l:AxByC0,l:AxByC0,且A、A、B、B都不平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是111122221212为零,AxBy0(0)，λ是参变量．ABC(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直①l||l111；②llAABB0；12ABC121212线系方程是BxAy0,λ是参变量．222夹角公式(5)直线系F(x,y,)0与线段AB,A(x,y),B(x,y)相交801122kkF(x,y,)F(x,y,)0(1)tan|21|(l:ykxb，l:ykxb,kk1)11221kk11122212|AxByC|2183点到直线的距离：d00(点P(x,y),直线l：ABAB2200(2)tan|1221|(l:AxByC0,l:AxByC0,ABAABB11112222AxByC0)1212AABB0)84AxByC0或0所表示的平面区域1212设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是：直线ll时，直线l与l的夹角是12122若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与81l到l的角公式AxByC异号时，表示直线l的下方的区域简言之,同号在上,异号在下12kk若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与(1)tan21(l:ykxb，l:ykxb,kk1)1kk11122212AxByC异号时，表示直线l的左方的区域简言之,同号在右,异号在左2185(AxByC)(AxByC)0或0所表示的平面区域ABAB111222(2)tan1221(l:AxByC0,l:AxByC0,AABB11112222(AxByC)(AxByC)0或0所表示的平面区域是两直线1212111222AxByC0和AxByC0所成的对顶角区域（上下或左右两部分）AABB0)111222121286圆的四种方程直线ll时，直线l到l的角是12122（1）圆的标准方程(xa)2(yb)2r282．四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交：（2）圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F＞0)(1)定点直线系方程：经过定点P(x,y)的直线系方程为000xarcosyyk(xx)(除直线xx),其中k是待定的系数;经过定点P(x,y)（3）圆的参数方程000000ybrsin的直线系方程为A(xx)B(yy)0,其中A,B是待定的系数．00（4）圆的直径式方程(xx)(xx)(yy)(yy)0(圆的直径的端点是(2)共点直线系方程：经过两直线1212A(x,y)、B(x,y))l:AxByC0,l:AxByC0的交点的直线系方程为11221111222287圆系方程(AxByC)(AxByC)0(除l)，其中λ是待定的系数．1112222(1)过点A(x,y),B(x,y)的圆系方程是1122第9页（共21页）高中数学*常用公式及结论*(xx)(xx)(yy)(yy)[(xx)(yy)(yy)(xx)]0drr内切1条公切线;1212112112120drr内含无公切线(xx)(xx)(yy)(yy)(axbyc)0,其中axbyc012121291圆的切线方程及切线长公式是直线AB的方程,λ是待定的系数．(1)已知圆x2y2DxEyF0．(2)过直线l:AxByC0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的①若已知切点(x,y)在圆上，则切线只有一条，其方程是圆系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0,是待定的系数．00λD(xx)E(yy)22xxyy00F0(3)过圆C:xyDxEyF0与圆00111122C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程是D(xx)E(yy)2222当(x,y)圆外时,xxyy00F0表示过x2y2DxEyF(x2y2DxEyF)0,λ是待定的系数．000022111222特别地，当1时，两个切点的切点弦方程．求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定x2y2D(x2Ey2就是)F0xyDxEyF11122②过圆外一点的切线方程可设为2yyk(xx)，再利用相切条件求(DD)x(EE)y(FF)0表示两圆的公共弦所在的直线方程00121212k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．88点与圆的位置关系：点P(x,y)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两00有三种条切线．若d(ax)2(by)2，则dr点P在圆外;dr点P在圆(2)已知圆x2y2r2．00上;dr点P在圆内①过圆上的P(x,y)点的切线方程为xxyyr2;0000089直线与圆的位置关系②斜率为k的圆的切线方程为ykxr1k2直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种(3)过圆x2y2DxEyF0外一点(x,y)的切线长为AaBbC00(d):lx2y2DxEyFA2B20000x2y2xacosdr相离0;dr相切0;dr相交092椭圆1(ab0)的参数方程是离心率90两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r，a2b2ybsin1212OOdcb212e1，drr外离4条公切线;内含内切相交外切相离aa212drr外切3条公切线;a2b212d准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离（焦准距）p通oddr+rdr2-r112ccb2rrdrr相交2条公切线;径的一半(焦参数)：1212a第10页（共21页）高中数学*常用公式及结论*x2y2b293椭圆1(ab0)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的数)：a2b2a面积a2a2焦半径公式PF|e(x)||aex|，PF|e(x)||aex|，a2a212PFe(x)aex，PFe(x)aex；cc1c2cFPF两焦半径与焦距构成三角形的面积Sb2cot1FPFFPF2Sb2tan112FPF12297双曲线的内外部94．椭圆的的内外部x2y2x2y2(1)点P(x,y)在双曲线1(a0,b0)的内部001x2y2x2y200a2b2a2b2（1）点P(x,y)在椭圆1(ab0)的内部00100a2b2a2b2x2y2x2y2(2)点P(x,y)在双曲线1(a0,b0)的外部001x2y2x2y200a2b2a2b2（2）点P(x,y)在椭圆1(ab0)的外部00100a2b2a2b298双曲线的方程与渐近线方程的关系95椭圆的切线方程x2y2(1）若双曲线方程为1渐近线方程：x2y2(1)椭圆1(ab0)上一点P(x,y)处的切线方程是a2b2a2b200x2y2bxxyy0yx001a2b2aa2b2bxyx2y2x2y2若渐近线方程为(2)yx0双曲线可设为（2）过椭圆1外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是aaba2b22200abx2y2x2y2xxyy(3)若双曲线与1有公共渐近线，可设为001a2b2a2b2a2b2（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）x2y2(4)焦点到渐近线的距离总是b（3）椭圆1(ab0)与直线AxByC0相切的条件是a2b299双曲线的切线方程A2a2B2b2c2x2y2(1)双曲线1(a0,b0)上一点P(x,y)处的切线方程是x2y2cb2a2b20096双曲线1(a0,b0)的离心率e1，准线到中心xxyya2b2aa2001a2b2a2b2的距离为，焦点到对应准线的距离（焦准距）p通径的一半(焦参x2y2cc（2）过双曲线1外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是a2b200第11页（共21页）高中数学*常用公式及结论*xxyy105两个常见的曲线系方程001a2b2(1)过曲线f(x,y),0f(x,y)0的交点的曲线系方程是12x2y2f(x,y)f(x,y)0(为参数)（3）双曲线1与直线AxByC0相切的条件是12a2b2x2y2(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程1,其中A2a2B2b2c2a2kb2k100抛物线y22px的焦半径公式kmax{a2,b2}p222222抛物线y22px(p0)焦半径CFx当kmin{a,b}时,表示椭圆;当min{a,b}kmax{a,b}时,表02示双曲线pp过焦点弦长CDxxxxp106直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB(xx)2(yy)2或12221212122AB(1k2)(xx)2|xx|1tan2|yy|1cot2y211212101抛物线y22px上的动点可设为P(,y)或P(2pt2,2pt)2pykxb（弦端点A(x,y),B(x,y)，由方程消去y得到P(x,y)，其中y22px1122F(x,y)0b4acb2ax2bxc0，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，102二次函数yax2bxca(x)2(a0)的图象是抛物2a4a|xx|(xx)24xx）121212线：107圆锥曲线的两类对称问题b4acb2b4acb21（1）曲线F(x,y)0关于点P(x,y)成中心对称的曲线是（1）顶点坐标为(,)；（2）焦点的坐标为(,)；002a4a2a4aF(2x-x,2yy)04acb2100（3）准线方程是y（2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是4a2A(AxByC)2B(AxByC)103以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦F(x,y)0A2B2A2B2点弦为直径的圆，必与准线相切；以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直O于轴的直线相切特别地，曲线F(x,y)0关于原点成中心对称的曲线是F(x,y)0104抛物线的切线方程曲线F(x,y)0关于直线x轴对称的曲线是F(x,y)0(1)抛物线y22px上一点P(x,y)处的切线方程是yyp(xx)曲线F(x,y)0关于直线y轴对称的曲线是F(x,y)00000曲线F(x,y)0关于直线yx轴对称的曲线是F(y,x)0（2）过抛物线y22px外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是00曲线F(x,y)0关于直线yx轴对称的曲线是F(y,x)0yyp(xx)00108圆锥曲线的第二定义：动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为（3）抛物线y22px(p0)与直线AxByC0相切的条件是常数e，若0e1，M的轨迹为椭圆；若e1，M的轨迹为抛物线；若e1，pB22ACM的轨迹为双曲线第12页（共21页）高中数学*常用公式及结论*109．证明直线与直线的平行的思考途径行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量（1）转化为判定共面二直线无交点；117共线向量定理（2）转化为二直线同与第三条直线平行；对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．（3）转化为线面平行；P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD110．证明直线与平面的平行的思考途径不共线（1）转化为直线与平面无公共点；118共面向量定理（2）转化为线线平行；向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使（3）转化为面面平行111．证明平面与平面平行的思考途径pxayb．推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对x,y,使（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；MPxMAyMB，（3）转化为线面垂直或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OPOMxMAyMB112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；119对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（2）转化为线面垂直；（xyzk），则当k1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；（3）转化为线与另一线的射影垂直；当k1时，若O平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、（4）转化为线与形成射影的斜线垂直A、B、C四点不共面．113．证明直线与平面垂直的思考途径A、B、C、D四点共面AD与AB、AC共面（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；ADxAB2（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；OD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）（）转化为该直线垂直于另一个平行平面4120空间向量基本定理114．证明平面与平面的垂直的思考途径如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量b，存在一个唯一的（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．(3)转化为两平面的法向量平行推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三115空间向量的加法与数乘向量运算的运算律OPxOAyOBzOC个有序实数x，y，z，使(1)加法交换律：a＋b=b＋a．121射影公式(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量作A点在l上的射影(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．A，作B点在l上的射影B，则116平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广AB|AB|cosa,eae始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平122向量的直角坐标运算第13页（共21页）高中数学*常用公式及结论*rr设a＝(a,a,a)，b＝(b,b,b)则rr|ab||xxyyzz|123123cos|cosa,b|=rr121212(1)a＋b＝(ab,ab,ab)；|a||b|x2y2z2x2y2z2112233111rr222(2)a－b＝(ab,ab,ab)；（其中（0o90o）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的112233(3)λa＝(a,a,a)(λ∈R)；方向向量）123128直线AB与平面所成角(4)a·b＝ababab；112233ABm123设A(x,y,z)，B(x,y,z)，则arcsin(m为平面的法向量)111222|AB||m|ABOBOA=(xx,yy,zz)212121129若ABC所在平面与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC124．空间的线线平行或垂直rr与平面成的角分别是、,A、B为ABC的两个内角，则设a(x,y,z)，b(x,y,z)，则12111222sin2sin2(sin2Asin2B)sin2xx12rrrrrr12特别地,当ACB90时,有sin2sin2sin2aPbab(b0)yy；1212ABCABACBC130若所在平面与过的平面成的角,另两边,与平zz12面成的角分别是、,A'、B'为ABO的两个内角，则rrrr12abab0xxyyzz0222'2'2121212tantan(sinAsinB)tan125夹角公式12特别地,当AOB90时,有sin2sin2sin2设a＝(a,a,a)，b＝(b,b,b)，则12123123131二面角l的平面角（根据具体图形确定是锐角或是钝角）abababcoabs,112233mnmna2aa2bb2b222arccos或arccos（m，n为平面，的法向量）123123|m||n||m||n|推论(ababab)2(a2a2a2)(b2b2b2)，此即三维柯西不112233123123132三余弦定理B等式设AC是α内的任一条直线，AD是α的一条斜线SAB在α内的射影，且BD⊥AD，垂足为D，设AB与αcos底面126正棱锥的侧面与底面所成的角为，则(AD)所成的角为，AD与AC所成的角为，AB与A1S12D侧面2AC所成的角为．则coscoscosC112特别地，对于正四面体每两个面所成的角为，有cos133三射线定理3若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是．异面直线所成角127,,与二面角的棱所成的角是θ，则有12sin2sin2sin2sin22sinsincos;1212第14页（共21页）高中数学*常用公式及结论*||180()(当且仅当90时等号成立)l、l、l，夹角分别为、、,则有1212123123134空间两点间的距离公式l2l2lc2ols2co2ss2icno2ssi12nsin123123123若A(x,y,z)，B(x,y,z)，则（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）111222S'd=|AB|ABAB(xx)2(yy)2(zz)2141面积射影定理SA,B212121cos135点Q到直线l距离SS'1(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的h(|a||b|)2(ab)2(点P在直线l上，a为直线l的方向向量，为)|a|142斜棱柱的直截面b=PQ)已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S和V,它的直截斜棱柱侧斜棱柱异面直线间的距离136面的周长和面积分别是c和S,则①Scl；②VSl|CDn|11斜棱柱侧1斜棱柱1d(l,l是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l,l上任143．作截面的依据|n|1212三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行一点，d为l,l间的距离)144．棱锥的平行截面的性质12如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积137点B到平面的距离与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对|ABn|d（n为平面的法向量，A，AB是的一条斜线段）应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；|n|相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的立方比；138异面直线上两点距离公式相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．dh2m2n22mncos145欧拉定理(欧拉公式)dh2m2n22mncosEA',AFVFE2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F)（1）E=各面多边形边数和的一半特别地,若每个面的边数为n的多边形，dh2m2n22mncos（EAA'F）1则面数F与棱数E的关系：EnF；2(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA'的长度为h在直线a、b上1分别取两点E、F，A'Em,AFn,EFd)（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：EmV139三个向量和的平方公式24(abc)2a2b2c22ab2bc2ca146球的半径是R，则其体积VR3,其表面积S4R2．3222abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a147球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长140长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角第15页（共21页）高中数学*常用公式及结论*线长(6)C0C1C2CrCn2n(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为nnnnn661663a(正四面体高a的),外接球的半径为a(正四面体高a的)(7)C1C3C5C0C2C42n11234434nnnnnn148．柱体、锥体的体积1(8)C12C23C3nCnn2n1VSh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）nnnn柱体31(9)CrC0Cr1C1C0rCrCrVSh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）mnmnmnmn锥体3(10)(C0)2(C1)2(C2)2(Cn)2Cn149分类计数原理（加法原理）：Nmmmnnnn2n12n150分步计数原理（乘法原理）：Nmmm156排列数与组合数的关系:Amm！Cm12nnnn！157．单条件排列（以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列）151排列数公式：Am=n(n1)(nm1)=(n，m∈N*，且n(nm)！（1）“在位”与“不在位”mn)．规定 0!1①某（特）元必在某位有Am1种；②某（特）元不在某位有AmAm1（补n1nn1n1m1m1m1mm1mm集思想）AA（着眼位置）AAA（着眼元素）种152排列恒等式:(1）A(nm1)A;（2）AA;n1n1n1m1n1nnnnmn1（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）（3）AmnAm1;（4）nAnAn1An;（5）AmAmmAm1①定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有AkAmk种nn1nn1nn1nnknk(6)1!22!33!nn!(n1)!1②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Ank1Ak种nk1kAmn(n1)(nm1)n！注：此类问题常用捆绑法；153组合数公式：Cm=n==(n∈N*，nAm12mm！(nm)！③插空

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