直纹面特性及类型判定

直纹面特性及类型判定一 ～杜晓明 刘 字 熊有伦等 文章编号 ：1004—132 x(2003)22—1957—04 直 纹 面 特 性 及 类 型 判 定 杜晓明 刘 宇 熊有伦 黄小平 摘 要 ： 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 了旋 转、平移 和螺旋 3种扫描 直纹 面的 Klein像特征 。提 出了 基 于有向距 离函数相对 曲面微 分 变形增 量的直纹 面重构新 方法。探 讨 了直纹 面 类 型 的 判 定 方 法 。 关键词 ：直纹 面 ；Klein映射 ；曲面重构 ；逆 向工 程 中图分类号 ：TP391．72 文献标 识码 ：A 直纹面是一参数直线集，由直线在空间运动 得到。由于其具有特殊的几何性质，在工程中得到 了广泛应用。飞机机翼、汽轮机叶轮、流体机械中 的叶片类零 件通 常就采 用直纹 面作 为 型 面；齿 轮 滚刀 、某些 特种 回转 刀具 的刀槽 曲 面部分也 是 直 纹 面 。在加 工 时可 以用 棒铣 刀侧铣 、电火 花加工 (EDM )、电极 电解加 工 。避免 曲面点 接触 加 工 的 多次进刀 ，因而加工效率高， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面质量好n J。确定 直纹面类型将有助于提高重构曲面的质量和确定 加工过程 中刀具运 动的控制方式 。 线几何 。 是研究直纹面的重要方法 。笔者利 用 线 几 何 中 的 Klein映 射 和 空 间 直 线 运 动 的 Pl0cker坐标 变换 关 系来 讨论 直纹 面 的特征 及 几 种 特殊 直纹 面类 型的判定 方法 ，采用有 向距 离 函 数 相对 于 曲面微分 变形 的增量 重构 直纹 面 ，然后 主要 根据 直纹 面母线 族是 否共线 、共 面来判 定直 纹 面的具体类 型。 1 直纹面分类及特性 直 线 L(z。。z。)经过 刚 体 运动 g(f)一 (P(f)。 R(f))后其 Plficker坐标变为(z(f)，l(t))。用矩阵 来表示 就是 收稿 日期 ：2002— 1O-- 10 基金项目：国家 自然科学基金资助重大项 目(59990470) 杜 晓明 硕 i：研 究 L Ft(f)] r R(f) O ] r，。] l )j l (f)肌)肌)j—l j 式 中，O为零矩阵 ；P(f)为P(f)所对应的反对称矩阵 ，下 同 。 直 线 在三 维空间 中 的运 动有旋转 、平 移 和螺 旋 3种特殊情形。利用 Klein映射分别讨论直线在 这 3种 特 殊 的 运 动 形 式 下 扫 掠 所 得 直 纹 面 的 Klein像特点 。 1．1 旋转 直线 L(z。。Z。)在 三维空间 中绕过点 P的轴线 A(∞，∞)旋转 角度 0，相应 的 ￡的 Plficker坐标 变 换 为 ]一[ R R 。 t。ol(t R ] 1 )J—l R—R J l J 该 变换 矩阵写成指数形 式为 Ve O 一 一 l D J ) Q — sin0 + (1一 cos0)( + 二 ) 容易证 明 T(O)L = L + sin0 T(2 )L + L二 二 ! ! ( )￡ 2 ‘、‘’ 一 式 (3)中根据 JL与 A的关系有以下 3种情 况 ： (1)当 ￡一 A时 。L旋转后 ( )￡= (7c)￡ L·T(O)L三 L。属 于六维 空间 的一维线 性 子空 [8] 周银生，贺惠农 ，全永昕．无损伤肠道机器人运行速 度 的 研究 ．摩 擦学 学报 ，l 999，l 9(4)：299～303 [9] 周银生 ，李 立新 ，赵东福．一种新型 的微型机器人． 机 械工 程学 报 ，2001．37(1)：ll～ l 3 LlOJ Denny M．The Role of Gastropod Pedal Mucus in Locomotion．Nature．1 980，285(5)：l 60～ l 61 (编辑 卢 湘 帆 ) 作者简介：陈 柏，男，1 978年生。浙江大学(杭州市 310027)机 械设计研究所博士研究生。研究方向为内窥镜机器人技术 ， 仿生 机器人等 。发表论文 5篇。周银生，男．1 964年生。浙江大学机械 没汁研究所教授，博士研究生导师。康剑莉．女，1 970年生。浙江 轻纺职业技术学院机电系讲师。穆晓枫．男．1 978年生。浙江大学 机械 设计 研究 所硕 士研究 生 。 ·1 957 · 维普资讯 http://www.cqvip.com 中国机械工程第 14卷第 22期 2003年 11月下半月 间，就是轴线的 Klein像； (2)当 ，。· 一 0时 ，，。上 ，L旋 转 后 T(7【) 一 一 L，T( )L属于六维空 间 的二维线 性子空 间 ， 此 时正好是三维空 间中的线列 ，其 Klein像 为 Klein二 次型 ” 上 的直线 ； (3)当，。· ≠0时，L旋转后 (÷)L、T( )L、 L线性 无关 ，T( )L属 于六 维空 间 的三 维 线性 子 空 间 ；且 当A3L一0，即A与 L共 面时 ，直线 扫描形 成锥面或 柱面 ，轴 线 A属 于该 子 空 间 ；当 L≠ 0，即 A与 L异 面时 ，直线 扫描形成单 叶双曲面 ，轴 线 A不属 于该子空 间 。 以上表 明三 维空 间中的直线 绕定直线 A旋转 所得 的所有 直线 T( )L的 Placker坐标 属于六维 空 间中的某一 线性 子空 间 ，该 子空 间维数 可能 为 一 维 、二维或三维 。 1．2 平移 直线 L在 三维空 间 中只作平 移扫 描时 ，设位 移矢量为 P(f)，相应 的 L的 P16cker坐标变换为 [ 一 ]一[ [ 当 p(t)，。一0时，即 P(f)∥，。，L(f)三 L，其 Klein像 为一 点 。 当 P(f)，。一 志(f) ，志(f)∈ R ， 为常矢量 时 ， (D，P(f)，。) 是六维空 间的一维 线性子空 间。因工 程 实际 中，≠ D，(D，P(f)，。) 与 L(O)线性 无关 ，所 以 L(t)属 于 六 维 空 间 的 二 维 线 性 子 空 间 ，其 Klein像是直 线 ，此 时扫描 形成的是平面 。 否则 ，(D，P(f)，。) 是六维 空 间的二维 线性子 空 间，所 以 L(t)属 于 六 维 空 间 的三 维 线 性子 空 间，其 Klein像 共面 。 1．3 螺旋运动 螺旋运动是指刚体 绕空 间轴 A(co，co)旋 转 和 沿 该 轴 的平 移 运 动 。 一 条异 于轴 A(co，co)的 直线 L(I，，)在 螺旋运动 下扫 描所得 曲面就 是螺 旋直 纹面 。不失 一般 性 ， 如 图 1所 示 建立 坐 标 系，坐标 原点 为 轴 线 A 图 1 直 线 螺 旋 运 动 ( 为 公垂 线 ) 与 直线 L。的公垂线和轴线 A的交 点 (若 A与 L 相 交，交点为坐标原点)，以 为 轴 ， ×l为 轴 ， 则扫描所形成 的直 纹面母线族 为 [ =[户 Ol rl ,~] · l 958· 式 中 ，户为 螺旋 节 距 。 容易证明由直线 L旋转其 P16cker坐标满足 关 系 ： A 、L — const A ·L — co~st 在时刻 t．直线 L(t)与轴线的公垂线分别交 直线 和轴 线 于点 a(f)与 b(f)。当 A。 L一 0时 ，点 a(f)与 b(f)重 合 。当 A L≠ 0，点 a(f)运 动轨迹 为 螺旋线。设 b(t)在轴线上的坐标为 d(t)，则其沿 着轴线匀速平 动，必满足条件 一 户，其 中， O(t)为 L(t)的旋转角 。 常见 的 直纹 面 有 圆锥 面 、圆 柱面 、单 叶 双 曲 面、抛物双曲面、螺旋面。它们的 Klein像特征见 表 1。由于曲面具有几何不变性，即与坐标系的选 取无关，所以刚体运动不会改变上述几种常见直 纹面的 Klein像的特性(共面性质)。 表 1 几 种特 殊直 纹面 的 Klein像 特 征 类型 代数方程 母线 PlUcker坐标 特征 + yZ 一 共面 ￡： 4— 0， s= g(0)一 ( cos0， 圆锥面 点2 0， 6= 0，且 ￡ ∈ sin0．1，0，0，0) ∈ R ， }；母线 交于 一点 共 面 ￡： I= 0． 2= g(0)= (0，0，1， 圆柱 面 0+ y2一 r2 0， 6— 0，且 E ∈ 一 rsin0，rcos0，0) 一 }；交点 在无 穷远 共 面 ￡： 4一 一clI， 5 ( + v ) g(0) = (一 asin0 ． ：一 f 2， 6： 3， 单 叶双 f acos0，f，acsinO， 曲面 一 1 一 accosO．“ ) E 告 一 ，I属 三 维 矢 量场 )= ÷， 共面￡： 2： 。， d 2 v2 双曲抛 2t t2 s=} e一 d 6z 物 面 一 ’一 ’ 、 (a bc) 3；且E告 i；I 一 ，一 ‘) 属二维矢量场 5／ l= g(，) 一 (COSt．s；nt， parctan(1 2／l1)； 3— 螺旋 面 一 tan2 0、 —— vtsint，~tcost。 0， = 0，∞ × ，× ， 0)．t∈ R 一 0 2 直纹面重构 文献[5]提出了一种利用线几何基于局部仿 射变换的直纹面重构方法。该方法中第一条母线 的提 取精 度 对整 个 直纹 面 的 重构 有 着 较 大 的影 响 。而 且在 直纹 面重构 后没 有对直 纹面 的类 型进 行判 定 和分析 ，这将 对某 些特 殊直纹 面 的重 构精 维普资讯 http://www.cqvip.com 直纹面特性及类 型判定—— 杜晓明 刘 字 熊有伦等 度产生影响。 直纹面实 际上是特殊 的 B— Spline曲面 ，也 就是将 参数方向的次数设为一次。因而可 以采 用 B—Spline曲面拟合方法得到直纹面。 (fl' )=∑∑N (“)Ⅳ¨ ( )s 一∑N (cc’z )s (4) Jv (^“，z，)： N “^ ) ．3(“)Ⅳ J‘^)．1( ) J(t)If ) i( )= kmod(， + 1) )一 由测量点云数据最小二乘拟合曲面的问题可 以定义 为 raine(w)一击∑( 5( w))。 (5) 式中 ，W 为曲面 S的形状控制参数，如曲面的控制顶点； 为待拟合测量点数 目； s(w)为测量点 p 到 曲面 (w) 的有 向距 离 。 由此可见 自由曲面最小二乘拟合就是通过调 整曲面的形状控制参数(通常只调整控制点和权 因子，不调整节点矢量)使得所有测量点到曲面 的距 离平方和达到最小 。 点 到曲面 的距离是 曲面拟合与 曲面误 差评定 中的重要参数。目前通常采用点到曲面上最近点 的距 离来 表示 ]，用 这种 表示 方法 进 行 曲 面拟 合 时 ，先 固定测量点 的曲纹坐标 ，对曲面 的形 状控制 参数进行优化，再重新计算测量点的曲纹坐标。将 曲面的控制参数与测量点曲纹坐标独立对待，必 然导致算法收敛速度慢。这里采用点到曲面的有 向距 离 ，设 点 在 曲面 上 的最 近点 为 q— S( ， “ ， )，曲 面 上 点 g 的 单 位 法 矢 量 n = 1r ，则点P到曲面5的有向距离函数为 d， ． (W )一 (p — g)·n (6) 文献E77中给出了有向距离一阶微分增量， 由于在曲面拟合过程 中无需考虑刚体运动，因此 只需考 虑 曲面的微分 变形 。由此得 到有 向距 离相 对于曲面微 分变形 的一阶微分增量 为 (w)≈ [ ，⋯， ])△w 有 向距离 函数 的一 阶微分增量蕴 含着在 曲面 拟合过程中耦合了形状控制参数与曲纹坐标的优 化 。另一方面采用有向距离函数进行度量，控制点 沿 曲面切 向微 分 运动 并 不会 影 响 有 向距 离 函数 值。因此相对于传统的点到点的误差度量算法将 具有相对 较快 的收敛速度 。 将直纹面的表达式代人有 Ad ． (W )≈ ～ ( T(“． ) (“， ))AW (7) r~ ‘ ’ 。 ] (11,73)=l o M( ) o l E R “ l o o N (“， )_J 式 中，W、AW 分别为控制点及其增量 。W ∈R ”，2xW ∈ 由此点云数据的最小二乘问题转换为 raine(zxw)： 击∑( 5(w)+ ~xd (w 一 ∑( 一 Ⅲ 一 n (“， )(M( v)2XW) =吉 A—BW—BZxW ll； A 一 (n T ． )∈ R B一(nj (“，一Z；i))E R 由于测量点数大于曲面控制参数个数 ，上述最小 二乘解转换为解超定线性方程组 如果 B B可逆 ，则控制点 的微 分变形量 为 如 果 曰 B 不 可 逆 ， 采 用 Levenberg — Marquarclt(LM)优化方 法[8]，即 在 上述直 纹 面重构 方 法中 ，初始 曲面 的构 造 或选择会影响到算法迭代收敛的次数和算法解是 否为全局最优解。初始曲面可以结合边界约束条 件 以人工交互的方式构造。在编程时若将 用一 个 矩阵表示那 么将 占用很大的 内存空间，这里 B将用一个矩阵表示，这样大大节省内存空间。 3 直纹面类型判定方法 根据直纹 面的张量积表示较容易得 到直 纹面 母线的 Placker坐标。母线 Plficker坐标 (“)一(，， )(“)=∑N，(“)(c，， ，)，(c ， ，) 式 中，(c，， ，)为曲面S的控制点 d。，与d。 所张成的直线的 现给出直纹面判定算法，其流程见图 2。该流 程 图中 乙， 表示六维 空间的 维线性子 空间 ， 表 示三维 空间的二维线性 子空间 。 由于 Plficker坐标是五维空间中点的齐次坐 标 ，因而五维空 间 中的点 对应六 维空 间 中的一维 线性子空 间 ，直线 对应二维线性子空 间，二维平 面 对应三维线性子空间。由直纹面 Klein像的性质 知几种特殊的直纹面(螺旋面例外)的Klein像都 属于六维空间的三维线性子空间。因此判定一个 直纹面的母线 Plflcker坐标是否属于六维空间的 三维 线性空 间具有 重要 的意义。 有一直纹面 的母线 Plficker坐标点列 L，E 维普资讯 http://www.cqvip.com 中国机械工程第 14卷第 22期 2003年 11月下半月 图 2 直纹面类型判定算法流程 Re， = 1，2，⋯ ， ，现 对其 进 行 最小 二 乘拟合 。六 维空 间中基为 (“ ，“ ，“。)的三维 线性子空 问可 以 用 其 正 交 补 空 间 中 的 三 正 交 基 (“ ，“ ，“。)来 表 示 。 min (H ，H ，H )=∑ [(H ·L ) + 一 l ( 5· )。+ ( 6·L．)。] s．t． 1l H ll= lI H ll= ll H ll= 1 4· s= 4· 6= 6· 5— 0 令 M 一 (L) ∈ R”蹦 如果不 满足 “ 、“，一 0， 一 4，5，6，则 该平 面不 属 于 Ⅲ ，则 可能为双 曲抛物面 和单 叶双 曲面 。 (1)若 j Ca)∈R。，ll， ·Ca)ll< ￡，则该直纹面 为双 曲抛物面 ； (2)否则 为单 叶双曲面 。 共线判定方法类似于共面判定方法，只不过 其正 交补空 间增 加了一个 基 。 4 结 束 语 本文提出了基于 Klein映射的直纹面分类特 性 及直 纹面类型的定性判定方法 。在 确定直 纹面 类型的基础上对其特征参数的定量计算将是下一 步研 究 的 内容 ，本文 给 出了基 于距 离 函数 相对 于 曲面微分变形增量的直纹面重构方法 ，本文的重 构算法中只考虑了控制点的变化对距离函数的影 响，关于控制点权因子和节点矢量的变化对距离 函数的影 响下一 步将 进行 研究 。 参考 文 献 ： [1] 焦建彬，于华．直纹面四坐标侧铣数控加工中的误 差 分析 ．机械 工程学 报 ，2001，37(4)：44～47 E23 上述带约 束 的最小 二乘解 (“ ，“ ，“ )满 足条 件 M Mu = ,tu (1 1) 注意到 (H ，H ，H。)一 + + 镌 和 为对称矩阵．其不 同特征值所对应的特征向量必 正交。设矩阵 的特征值为 ≥ 。≥ ⋯≥ ， 取 、 、 。所 对应 的三 正 交特 征 向量 (H ，H ．H。) 则为所求三维线性子空间的基 。实际计算时会发 现 、 、 的值远远小于其它特征值，因此可以 设定一个判定阀值 。，当有 3个特征值小于 就 可 以判 定直纹面母 线 的 PlUcker坐标是共 二维平 面 的。 如果 H 一0．其 中 ，J一 4，5，6，则该平面属 于 Ⅲ ，此 时直纹面 可能 为圆柱面或 圆锥 面或空 间 二次 曲线切线 直纹面 。 (1)若 j，使得 ll， 一，。ll< E 一 1，2，⋯． 7f．则该直纹 面为圆柱面 。 (2)若 j P∈R。使 fl p， 一7 ll≤ 则该直 纹面为 圆锥面 。 (3)否则 为空 间二次 曲线 的切线直纹 面 。 · 7960 · [6] E8] Pottmann H ，PererneIl M ，Ravani B． A n Introduc— tion tO I．ine Geometry with Application．Computer — Aided Design，1 999，31：3～ 16 Peternell M 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