函数的连续性

函数的连续性 函数的间断点 §1.5 函数的连续性 连续函数的性质 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 1.函数的增量 ., ),,(,),()( 00 00 的增量称为自变量在点 内有定义在设函数 xxxx xUxxUxf −=Δ ∈∀ δδ .)(),()( 0 的增量相应于称为函数 xxfxfxfy Δ−=Δ x y 0 x y 00x xx Δ+0 )(xfy = xΔ 0x xx Δ+0 xΔ yΔ yΔ )(xfy = 一、函数的连续性 2.连续的定义 定义 1 设函数 )(xf 在 ),( 0 δxU 内有定义,如 果当自变量的增量 xΔ 趋向于零时,对应的函 数的增量 yΔ 也趋向于零,即 0lim 0 =Δ→Δ yx 或 0)]()([lim 000 =−Δ+→Δ xfxxfx ,那末就称函数 )(xf 在点 x0连续,x0称为 )(xf 的连续点. 2.连续的定义 ,0 xxx Δ+=设 ),()( 0xfxfy −=Δ ,0 0xxx →→Δ 就是 ).()(0 0xfxfy →→Δ 就是 .)(),()(lim )()( )( ),()( 00 00 0 0 0 处连续在则称 ，即处的函数值在等于函数 时的极限存在，而且当如果 内有定义，在Ｕ定义２：设函数 xxfxfxf xfxxf xxxf xxf xx = → → δ .)()(lim 0 0 xfxf xx =→ .)()( ,,0,0: 0 0 ε<− δ<−>δ∃>ε∀ xfxf xx 恒有 时使当即 2.连续的定义 .)()(, ,0)( 00 0 邻域的落在时使当 邻域，总的几何意义：对于 εδ δε xfxfxx xf <− >∃ 例1 . 0 ,0,0 ,0,1sin)( 处连续 在试证函数 = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠= x x x x xxf 证 ,01sinlim 0 =→ xxx∵ ,0)0( =f又 .0)( 处连续在函数 =∴ xxf ),0()(lim 0 fxf x =→ 3.单侧连续 ;)( ),()(,],()( 0 000 处左连续在点则称 且内有定义在若函数 xxf xfxfxaxf =− 定理 . )()( 00 处既左连续又右连续 在函数处连续在函数 xxfxxf ⇔ .)( ),()(,),[)( 0 000 处右连续在点则称 且内有定义在若函数 xxf xfxfbxxf =+ 例2 . 0 ,0,2 ,0,2 )( 连续性 处的在讨论函数 =⎩⎨ ⎧ <− ≥+= x xx xx xf 解 )2(lim)(lim 00 += ++ →→ xxf xx 2= ),0(f= )2(lim)(lim 00 −= −− →→ xxf xx 2−= ),0(f≠ 右连续但不左连续 , .0)( 处不连续在点故函数 =xxf 例3 是否连续？ 处在函数 1 ,21,1 ,10,)( = ⎩⎨ ⎧ ≤<+ ≤≤= x xx xexf x 证 1 1 lim ( ) lim x x x f x e e− −→ →= =∵ .1)( 处不连续在函数 =∴ xxf 2)1(lim)(lim 11 =+= ++ →→ xxf xx∵ 例4 .0 0, ,0,cos )( , 处连续在 函数取何值时当 = ⎩⎨ ⎧ ≥+ <= x xxa xx xf a 解 xxf xx coslim)(lim 00 −− →→ = ,1= )(lim)(lim 00 xaxf xx += ++ →→ ,a= (0) ,f a= ),0()0()0( fff == +−要使 ,1时故当且仅当 =a .0)( 处连续在函数 =xxf 1,a =只能是 4.连续函数与连续区间 .],[)( ,, ,),( 上连续在闭区间函数 则称处左连续在右端点处右连续 并且在左端点内连续如果函数在开区间 baxf bxax ba == 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. ( ) ( , ) () , , )( f x b f b a x a 如果 在开区间 内每一点处都连续 则称 在 内连续. 例5 .),(sin 内连续在区间函数证明 +∞−∞= xy 证 ),,( +∞−∞∈x任取 xxxy sin)sin( −Δ+=Δ ) 2 cos( 2 sin2 xxx Δ+⋅Δ= ,1) 2 cos( ≤Δ+ xx∵ . 2 sin2 xy Δ≤Δ则 ,0, 时当对任意的 ≠αα ,sin α<α有 , 2 sin2 xxy Δ<Δ≤Δ故 .0,0 →Δ→Δ∴ yx 时当 .),(sin 都是连续的对任意函数即 +∞−∞∈= xxy :)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf ;)()1( 0处有定义在点xxf ;)(lim)2( 0 存在xf xx→ ).()(lim)3( 0 0 xfxf xx =→ ).()( ),()( , 00 或间断点的不连续点 为并称点或间断处不连续在点函数 则称要有一个不满足如果上述三个条件中只 xf xxxf 二、函数的间断点 o x y 1 1 2 xy += 1 xy 2= o x y 1 1 2 xy += 1 xy 2= o x y y x= − 1y x= + 1 lim ( ) (1) x f x f→ ≠(1)f 不存在 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x f x+ −→ →≠ xy tan= 2 lim ( ) x f x π +⎛ ⎞→⎜ ⎟⎝ ⎠ = −∞ 2 lim ( ) x f x π −⎛ ⎞→⎜ ⎟⎝ ⎠ = +∞ o y x 1siny x = 0 lim ( ) x f x→ 不存在 o x y 1y x = y x= 0 lim ( ) x f x+→ = +∞ 1.跳跃间断点 .)( ),()(, ,)( 000 0 的跳跃间断点 为函数则称点但都存在 右极限处左在点如果 xf xxfxf xxf +− ≠ 例6 .0 ,0,1 ,0, )( 处的连续性在讨论函数 =⎩⎨ ⎧ >+ ≤−= x xx xx xf 解 ,0)0( =−f ,1)0( =+f ),0()0( +− ≠ ff∵ .0为函数的跳跃间断点=∴ x o x y o x y 1 1 2 xy += 1 xy 2= o x y 1 1 2 xy += 1 1 lim ( ) (1) x f x f→ ≠(1)f 不存在 1 lim ( ) 2 x f x→ =但 xy 2= .)( )(),()(lim ,)( 0 00 0 0 的可去间断点为函数义则称点 处无定在点或但 处的极限存在在点如果 xfx xxfxfAxf xxf xx ≠=→ 2.可去间断点 前例中, ,2)1( =f令 .1 ,1,1 ,10,2 )( 处连续在 则 = ⎩⎨ ⎧ ≥+ <≤= x xx xx xf 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 .0处的左、右极限都存在函数在点 x o x y 1 1 2 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 3.第二类间断点 .)( , )( 0 0 的第二类间断点 为函数则称点在右极限至少有一个不存 处的左、在点如果 xf x xxf 例7 .0 ,0, ,0,1)( 处的连续性在讨论函数 = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ >= x xx x xxf 解 o x y ,0)0( =−f ,)0( +∞=+f .1为函数的第二类间断点=∴ x .断点这种情况称为无穷间 例8 .01sin)( 处的连续性在讨论函数 == x x xf 解 x y 1sin= ,0处没有定义在 =x∵ .1sinlim 0 不存在且 xx→ .0为第二类间断点=∴ x .断点这种情况称为振荡间 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. ⎩⎨ ⎧== ,,0 ,,1 )( 是无理数时当 是有理数时当 x x xDy 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点. ⎩⎨ ⎧ −= ,, ,, )( 是无理数时当 是有理数时当 xx xx xf ★ ★ 仅在x=0处连续, 在定义域 R内其余各点处处间 断. 但其绝对值处处连续. 三、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 振荡型无穷型 第二类间断点 o y x0x o y x0x o y x0x (2)若 )(xf 在 0x 处连续，则 ( )f x 、 )(2 xf 在 0x 处是否连续？又若 ( )f x 、 )(2 xf 在 0x 处连续， )(xf 在 0x 处是否连续？ (1) 指出 2 2( ) ( 1) x xf x x x −= − 在 0x = , 1x = , 1x = − 处分别是第__类间断点； A 思考题 1 1 , 1, ( ) 1 1, 1 . x x x f x e x − ⎧ ≠⎪= ⎨ −⎪ =⎩ 三、研究函数 的间断点并进行分类 四、指出函数 ( ) tan xf x x = 的间断点，并说明这些 间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变 函数的定义使它连续. 五、讨论函数 2 2 1( ) lim 1 n nn xf x x x→∞ −= + 的连续性，若有 间断点，判断其类型 . 六、试确定 ,a b的值,使 ( ) ( )( 1) xe bf x x a x −= − − ， （1）有无穷间断点 0=x ； （2）有可去间断点 1=x . 思考题解答 ∵ )(xf 在 0x 连续， )()(lim 0 0 xfxf xx =∴ → )()()()(0 00 xfxfxfxf −≤−≤且 )()(lim 0 0 xfxf xx =∴ → ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⋅⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= →→→ )(lim)(lim)(lim 000 2 xfxfxf xxxxxx )( 0 2 xf= 故 |)(| xf 、 )(2 xf 在 0x 都连续. 一、一类；一类；二类. 二、 但反之不成立. 例 ⎩⎨ ⎧ < ≥−= 0,1 0,1 )( x x xf 在 00 =x 不连续 但 |)(| xf 、 )(2 xf 在 00 =x 连续 ( ) 0 , 0f x x x= ∴ =∵ 在 无定义 为它的三、 间断点. )(1 跳跃为第一类间断点=x 0 1 1lim 1 xx xe → − = ∞ − )(0 无穷为第二类间断点=x 1 1 1lim 1 1 xx xe +→ − = − 1 ,x −→当 时 ,1 x x → +∞− 1 1 1lim 0, 1 xx xe −→ − = − 1 ,x +→当 时 ,1 x x → −∞− 0 0 1 1 1 1( lim , lim ) 1 1 x xx x x xe e − +→ →− − = +∞ = −∞ − − 四、 0x = ， , 2 为可去间断点π+π= kx )0( ≠π= kkx 为第二类间断点. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = π+ππ≠= 0,1 2 ,, tan)(1 x kkx x x xf ),2,1,0( "±±=k , ),2,1,0( 2 ,0 2 ,, tan)(2 "±±=⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ π+π= π+ππ≠ = k kx kkx x x xf 五、 1 0 1 1 , ( ) , , x x f x x x x ⎧ <⎪= =⎨⎪− >⎩ 1=x 和 1−=x 为第一类间断点. 六、(1) ;1,0 ≠= ba (2) eba =≠ ,1 . 三、小结