高中数学抛物线经典例题

抛物线（1）抛物线——二次曲线【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（）相交相切相离位置由P确定【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是.作PH⊥于H，交y轴于Q，那么，且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的中位线，.故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证：（1）（2）【证明】（1）如图设抛物线的准线为，作EMBEDEquation.DSMT4，.两式相加即得：（2）当AB⊥x轴时，有成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：.化简得：∵方程（1）之二根为x1，x2，∴..故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立.（3）切线——抛物线与函数【例3】证明：过抛物线上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）【证明】对方程两边取导数：.由点斜式方程：y0y=p（x+x0）（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏例如：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（）显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线的通径长为2p；3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：以下再举一例【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为，那么：设抛物线的准线交x轴于C，那么.这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.●通法特法妙法（1）解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A.3B.4C.3D.4【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：.由设方程（1）之两根为x1，x2，则.设AB的中点为M（x0，y0），则.代入x+y=0：y0=.故有.从而.直线AB的方程为：.方程（1）成为：.解得：，从而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，选C.（2）几何法——为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积（）A．B．C．D．【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°.△AFK为正三角形.设准线交x轴于M，则且∠KFM=60°，∴.选C.【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的面积用公式计算.（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法——追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的线为，焦点为与的一个交点为，则等于（）A．B．C．D．【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c，离心率为e，作，令.∵点M在抛物线上，，这就是说：的实质是离心率e.其次，与离心率e有什么关系？注意到：.这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于.∴选A..（4）三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例8】（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线.（Ⅱ）直线AB：代入（1），整理得：设方程（2）之二根为y1，y2，则.设AB中点为AB的垂直平分线方程是：.令y=0，则故于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值.（5）消去法——合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例9】是否存在同时满足下列两条件的直线：（1）与抛物线有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程.【解析】假定在抛物线上存在这样的两点EMBEDEquation.DSMT4∵线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，且.设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为：（6）探索法——奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例10】（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1,△Q2P1P2,…,△Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为.【解析】∵设OA上第k个分点为第k个三角形的面积为：.故这些三角形的面积之和的极限抛物线定义的妙用对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。现举例说明如下。一、求轨迹（或方程）例1.已知动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对解：由题意得：即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线为准线的抛物线。故选C。二、求参数的值例2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点距离为5，求m的值。解：设抛物线方程为，准线方程：∵点M到焦点距离与到准线距离相等解得：∴抛物线方程为把代入得：三、求角例3.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则__________。A.45°B.60°C.90°D.120°图1解：如图1，由抛物线的定义知：则由题意知：即故选C。四、求三角形面积例4.设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若，。求△OPQ的面积。解析：如图2，不妨设抛物线方程为，点、点图2则由抛物线定义知：又，则由得：即又PQ为过焦点的弦，所以则所以，点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。五、求最值例5.设P是抛物线上的一个动点。（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；（2）若B（3，2），求的最小值。解：（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是由抛物线的定义知：点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为，即为。图3（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点，则，则有即的最小值为4图4点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。六、证明例6.求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。证明：如图5，设抛物线的准线为，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直于H。图5由抛物线的定义有：∵ABDC是直角梯形即为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。抛物线与面积问题抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。例1.如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0）。点C（0，5）、点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点。图1（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积。解：（1）设抛物线的解析式为，根据题意得，解得∴所求的抛物线的解析式为（2）∵C点坐标为（0，5），∴OC＝5令，则，解得∴B点坐标为（5，0），OB＝5∵，∴顶点M的坐标为（2，9）过点M作MN⊥AB于点N，则ON＝2，MN＝9∴例2.如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。图2（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。（2）在坐标轴上是否存一点P，使△PMA中PA＝PM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。解：（1）∵等腰直角△OAB的面积为18，∴OA＝OB＝6∵M是斜边OB的中点，∴∴点A的坐标为（6，0）点M的坐标为（3，3）∵抛物线∴，解得∴解析式为，对称轴为（2）答：在x轴、y轴上都存在点P，使△PAM中PA＝PM。①P点在x轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（3，0）。②P点在y轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（0，－3）。例3.二次函数的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。图3（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由。（2）设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值。解：（1）由图象可知：；图象过点（0，1），所以c＝1；图象过点（1，0），则；当时，应有，则当代入得，即所以，实数a的取值范围为。（2）此时函数，要使，可求得。例4.如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数的图象以及分别过C（1，0）、D（4，0）两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。图4（1）求K的值；（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；（3）线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（点P不重合于点C），过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q。当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。解：（1）∵点A、B在一次函数的图象上，∴且∵四边形ABDC的面积为7∴∴。（2）由F（0，4），C（1，0），D（4，0）得（3）∵PD＝1×t＝t∴OP＝4－t∴即。抛物线1已知抛物线D：y2=4x的焦点与椭圆Q：的右焦点F1重合，且点在椭圆Q上。（Ⅰ）求椭圆Q的方程及其离心率；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l过椭圆Q的左焦点F2，且与椭圆相交于A，B两点，求△ABF1的面积。解：（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点为（1，0）∴椭圆Q的右焦点F1的坐标为（1，0）。∴①又点在椭圆Q上，∴即②由①②，解得∴椭圆Q的方程为∴离心离（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（－1，0）∴直线l的方程为设由方程组消y整理，得∴又点F1到直线l的距离∴2如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积解法一由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=4点A到直线l的距离为d=∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8解法二由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）,l的方程为x=y+m,其中0＜m＜5由方程组,消去x,得y2－4y－4m=0①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y1+y2=4，y1·y2=－4m,∴S△=＝4EMBEDEquation.DSMT4=4∴S△≤8,当且仅当即m=1时取等号故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为83已知O为坐标原点，P()()为轴上一动点，过P作直线交抛物线于A、B两点，设S△​​AOB=，试问：为何值时，t取得最小值，并求出最小值。解：交AB与轴不重叠时，设AB的方程为合消y可得：设AB则，交AB与x轴重叠时，上述结论仍然成立∴又∴≥当时取“=”，综上当�EMBED\*MERGEFORMAT����EMBED\*MERGEFORMAT����EMBED\*MERGEFORMAT����EMBED\*MERGEFORMAT����EMBED\*MERGEFORMAT�����EMBED\*MERGEFORMAT����EMBED\*MERGEFORMAT���PAGE_1234567953.unknown_1234568017.unknown_1234568049.unknown_1234568065.unknown_1234568073.unknown_1234568077.unknown_1234568081.unknown_1234568083.unknown_1234568084.unknown_1234568085.unknown_1234568082.unknown_1234568079.unknown_1234568080.unknown_1234568078.unknown_1234568075.unknown_1234568076.unknown_1234568074.unknown_1234568069.unknown_1234568071.unknown_1234568072.unknown_1234568070.unknown_1234568067.unknown_1234568068.unknown_1234568066.unknown_1234568057.unknown_1234568061.unknown_1234568063.unknown_1234568064.unknown_1234568062.unknown_1234568059.unknown_1234568060.unknown_1234568058.unknown_1234568053.unknown_1234568055.unknown_1234568056.unknown_1234568054.unknown_1234568051.unknown_1234568052.unknown_1234568050.unknown_1234568033.unknown_1234568041.unknown_1234568045.unknown_1234568047.unknown_1234568048.unknown_1234568046.unknown_1234568043.unknown_1234568044.unknown_1234568042.unknown_1234568037.unknown_1234568039.unknown_1234568040.unknown_1234568038.unknown_1234568035.unknown_1234568036.unknown_1234568034.unknown_1234568025.unknown_1234568029.unknown_1234568031.unknown_1234568032.unknown_1234568030.unknown_1234568027.unknown_1234568028.unknown_1234568026.unknown_1234568021.unknown_1234568023.unknown_1234568024.unknown_1234568022.unknown_1234568019.unknown_1234568020.unknown_1234568018.unknown_1234567985.unknown_1234568001.unknown_1234568009.unknown_1234568013.unknown_1234568015.unknown_1234568016.unknown_1234568014.unknown_1234568011.unknown_1234568012.unknown_1234568010.unknown_1234568005.unknown_1234568007.unknown_1234568008.unknown_1234568006.unknown_1234568003.unknown_1234568004.unknown_1234568002.unknown_1234567993.unknown_1234567997.unknown_1234567999.unknown_1234568000.unknown_1234567998.unknown_1234567995.unknown_1234567996.unknown_1234567994.unknown_1234567989.unknown_1234567991.unknown_1234567992.unknown_1234567990.unknown_1234567987.unknown_1234567988.unknown_1234567986.unknown_1234567969.unknown_1234567977.unknown_1234567981.unknown_1234567983.unknown_1234567984.unknown_1234567982.unknown_1234567979.unknown_1234567980.unknown_1234567978.unknown_1234567973.unknown_1234567975.unknown_1234567976.unknown_1234567974.unknown_1234567971.unknown_1234567972.unknown_1234567970.unknown_1234567961.unknown_1234567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