量子力学历年试卷
2004
一
推导出相干态在粒子数
表
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象中的归一化表达式
二
用 D − L 方法推出波函数的一级修正和能量的二级修正 (需记住定态
非简并微扰中相应的表达式)
三
判断矩阵元，当
1) j′ = j = 0
2) j′ = j = 1/2
3) j′ = j = −1/2
是否可能不为零
4) 推导得出当 j′ = j = 1/2 时的耦合表象基矢
四
1) 证明在定态散射中 (不详)
2) 对 s = 3/2 的两个全同费米子求非极化散射截面
五
s = 1/2 的全同费米子系统的哈密顿如下 (不详)
1) 给出哈密顿的二次量子化形式
2) 给出基态表示
3) 给出基态的能量一级修正
2005
一
(1) 求出算符 gˆ = (xˆpˆ + pˆxˆ)/2在坐标以及动量算符中的矩阵元 〈x′|gˆ|x〉
和 〈p′|gˆ|p〉
(2) 证明一维谐振子的相干态 |α〉 具有最小的不确定度 (应考虑随时间
演化)
二
1
(1) 写出 Heisenberg 以及 Interaction 绘景中的力学量算符及各自随
时间演化的方程
(2) 选用合适的方法求出一维自由粒子的传播子 K(x, t;x0, t0)
(3) 已知初始时刻 ψ(x, t0) = δ(x− x˜)，利用上面的结果给出 x处 t 时刻
的波函数
三
(1) 利用形如 exp(ipiJx/2) · Jz · exp(−ipiJx/2) = Jy 的公式，用 |jm〉z 表
示出 |jm〉y，用转动算符 Rˆ 写出 (实际是求三个欧拉角)
(2)利用Wigner−Echart定理确定以下几种情况中哪几种 〈j′m′|Tλµ|jm〉
不为零
(a) j′ = j = 1/2，λ = 0
(b) j′ = j = 1/2，λ = 1
(c) j′ = j = 1/2，λ = 2
四
(1)求出 Lippman−Schwinger方程的两种形式 (自由与全Green Function)
五 (不详)
2006
一
(1) Hˆ = apˆ2 + bxˆ2 + c(xˆpˆ+ pˆxˆ)/2，a, b, c 是参数
写出 Hˆ 的本征方程 Hˆ|E〉 = E|E〉 在 x 表象下和 p 表象下的方程表达
式 (只需写出表达式)
(2) 在相干态表象中计算算符 gˆ = (xˆpˆ + pˆxˆ)/2的平均值 (已知 xˆ、pˆ 和
上升、下降算符的关系式)
二
(1) 写出 Fˆ = (xˆpˆ+ pˆxˆ)/2 在 Heisenberg picture 下的算符表达式
(2) 在相干态下求 Fˆ 的平均值
(3) 给定 ρ = 3
4
|+〉〈+| + 1
4
|−〉〈−|，|+〉 是 Sˆ2, sz的共同本征态，写出 sz
表象下 ρ的矩阵，并判断 ρ 是否为密度矩阵，是纯态或混态
(4) 计算 sz 在 ρ 下的平均值
三
2
(1) 用 R(α, β, γ) 和 |jm〉y表示 |jm〉z
(2)用Wigner−Echart定理证明 〈n′j′m′|X|njm〉 = 0，已知 j′ = j = 0
四
两种粒子可以分辨，自旋都是 1/2，相互作用 V (r) = aδ(r)S1S2，已知
入射态为 |W 〉 =
(
1
0
)(
0
1
)
，求
(1) 非极化散射截面
(2) 微分散射截面
五
给定 s = 1/2的全同电子系统的 Hˆ =∑
i
pˆ2i /2m+ V0
∑
i
δ(ri − rj)
(1) 写出 Hˆ 的二次量子化表达式
(2) 写出动量算符 pˆ 的二次量子化表达式
(3) 在微扰为 0 时写出基态表达式
(4) 写出与基态相差一个粒子态的表达式
(5) 在 (4) 的激发态中求出 pˆ 的平均值
2007
一
(1) 求相干态表达式 (使用归一化条件)
(2) 求 exp (−xa+) a exp (xa+) |α〉(应为相干态的阿法矢量)
二
分别推导出 H 绘景和 I 绘景的态及算符随时间演化的表达式
三
(1) j1 = 1/2，j2 = 3/2，手算两个任意耦合态基矢的表达式 (一个可直
接写，一个需要算)
(2) Wigner − Echart 定理证明 〈jm|T2µ|jm〉 = 0，其中 j = 1/2
四
(1) 写出 Gˆ+，Gˆ+0 的表达式
(2) 推导证明 Gˆ+ = Gˆ+0 + Gˆ+0 V Gˆ+
五
3
(1) H =
∑
nEn +
1
2
∑
V0δ(r− r0)，En 为自由费米子能量，写出其二次
量子化形式
(2) 写出粒子数算符 Nˆ 的二次量子化形式
(3) 求
[
Nˆ , Hˆ
]
整理：XIII
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期待后辈的热心
4
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