二、连续与间断一、函数三、极限习题课机动目录上页下页返回结束函数与极限第一章一、函数1.函数的概念定义:定义域值域图形:(一般为曲线)设函数为特殊的映射:其中机动目录上页下页返回结束2.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3.反函数设函数为单射,反函数为其逆映射4.复合函数给定函数链则复合函数为5.初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个
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达式的函数.机动目录上页下页返回结束例1.设函数求解:机动目录上页下页返回结束解:利用函数表示与变量字母的无关的特性.代入原方程得代入上式得设其中求令即即令即画线三式联立即例2.机动目录上页下页返回结束思考与练习1.下列各组函数是否相同?为什么?相同相同相同机动目录上页下页返回结束2.下列各种关系式表示的y是否为x的函数?为什么?不是是不是提示:(2)机动目录上页下页返回结束⑶⑵3.下列函数是否为初等函数?为什么?⑷以上各函数都是初等函数.机动目录上页下页返回结束4.设求及其定义域.5.已知,求6.设求由得4.解:机动目录上页下页返回结束5.已知,求解:6.设求解:机动目录上页下页返回结束二、连续与间断1.函数连续的等价形式有2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点机动目录上页下页返回结束有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区间上连续函数的性质例3.设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:机动目录上页下页返回结束有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例4.设函数试确定常数a及b.机动目录上页下页返回结束例5.设f(x)定义在区间上,,若f(x)在连续,提示:阅读与练习且对任意实数证明f(x)对一切x都连续.P64题2(2),4;P73题5机动目录上页下页返回结束证:P73题5.证明:若令则给定当时,有又根据有界性定理,,使取则在内连续,存在,则必在内有界.机动目录上页下页返回结束三、极限1.极限定义的等价形式(以为例)(即为无穷小)有机动目录上页下页返回结束2.极限存在准则及极限运算法则3.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:4.两个重要极限6.判断极限不存在的方法～～～～～～～～～机动目录上页下页返回结束5.求极限的基本方法例6.求下列极限：提示:无穷小有界机动目录上页下页返回结束令机动目录上页下页返回结束～则有复习:若机动目录上页下页返回结束例7.确定常数a,b,使解:原式故于是而机动目录上页下页返回结束例8.当时,是的几阶无穷小?解:设其为的阶无穷小,则因故机动目录上页下页返回结束阅读与练习1.求的间断点,并判别其类型.解:x=–1为第一类可去间断点x=1为第二类无穷间断点x=0为第一类跳跃间断点机动目录上页下页返回结束2.求解:原式=1(2000考研)机动目录上页下页返回结束作业P743(1),(4);4;7;8(2),(3),(6);9;10;11;12机动目录上页下页返回结束3.求解:令则利用夹逼准则可知
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