北京市部分重点中学高一下学期期末考试数学试题与答案（共五套）

北京市部分重点中学高一下学期期末考试数学试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （一）一､选择题1.已知点，，则（）A.B.C.D.2.在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某工厂有男员工56人，女员工42人，用分层抽样的方法，从全体员工中抽出一个容量为28的样本进行工作效率调查，其中男员工应抽的人数为（）A.16B.14C.28D.124.在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.，B.，C，D，5.在空间中，下列结论正确的是（）A.三角形确定一个平面B.四边形确定一个平面C.一个点和一条直线确定一个平面D.两条直线确定一个平面6.新冠疫情期间，某校贯彻“停课不停学”号召，安排小组展开多向互动型合作学习，如图的茎叶图是两组学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是（）A.甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平均数B.甲组学生得分中位数大于乙组选手的中位数C.甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数D.甲组学生得分的方差大于乙组选手的的方差7.已知向量与的夹角为，，，当时，实数为（）A.1B.2C.D.8.上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A.13时~14时B.16时~17时C.18时~19时D.19时~20时9.在中，，，，则（）A.B.或C.D.或10.点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，动点在正方形(包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（）A.B.C.D.二､填空题11.已知复数，则复数______.12.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．13.如图，在中，.若，则的值为______，P是上的一点，若，则m的值为______.14.将底面直径为8，高为的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.15.如图是某地区2018年12个月的空气质量指数以及相比去年同期变化幅度的数据统计图 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ，根据图表，下面叙述正确的是______.①2月相比去年同期变化幅度最小，3月的空气质量指数最高；②第一季度的空气质量指数的平均值最大，第三季度的空气质量指数的平均值最小；③第三季度空气质量指数相比去年同期变化幅度的方差最小；④空气质量指数涨幅从高到低居于前三位的月份为6､8､4月.三､解答题16.已知复数(i为虚数单位).（1）求复数z的模；（2）求复数z的共轭复数；（3）若z是关于x的方程一个虚根，求实数m的值.17.已知向量与，，.（1）求；（2）设，的夹角为，求的值；（3）若向量与互相平行，求k的值.18.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，F为对角线AC与BD的交点，E为棱PD的中点．（1）证明：平面PBC；（2）证明：．19.在中，，，.（1）求；（2）求的面积.20.为了了解我市参加2018年全国 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 数学联赛学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值；（3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要所少分？21.如图1，在等腰梯形中，，，，，E､F分别为腰､的中点.将四边形沿折起，使平面平面，如图2，H，M别线段､的中点.（1）求证：平面；（2）请在图2所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面垂直，并给出证明：（3）若N为线段中点，在直线上是否存在点Q，使得面？如果存在，求出线段长度，如果不存在，请说明理由.答案解析一､选择题1.已知点，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示，求出即可.【详解】点，，则.故选：C.【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.2.在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．3.某工厂有男员工56人，女员工42人，用分层抽样的方法，从全体员工中抽出一个容量为28的样本进行工作效率调查，其中男员工应抽的人数为（）A.16B.14C.28D.12【答案】A【解析】【分析】用样本容量乘以男员工所占的比例，即为所求.【详解】男员工所占的比例为，故男员工应抽的人数为，故选：A.【点睛】本题考查分层抽样，重点考查理解，计算能力，属于基础题型.4.在下列各组向量中，可以作为基底是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】本题可根据向量平行的相关性质依次判断四个选项中的、是否共线，即可得出结果.【详解】选项A：因为，所以、共线，不能作为基底；选项B：因为，所以、共线，不能作为基底；选项C：因为，所以、共线，不能作为基底；选项D：因为，所以、不共线，可以作为基底，故选：D.【点睛】本题考查平面向量中基底的要求，即共线向量不能作为基底，考查向量平行的相关性质，考查计算能力，是简单题.5.在空间中，下列结论正确的是（）A.三角形确定一个平面B.四边形确定一个平面C.一个点和一条直线确定一个平面D.两条直线确定一个平面【答案】A【解析】【分析】根据确定平面的公理及其推论对选项逐个判断即可得出结果.【详解】三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即A正确；当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故B错误；当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故C错误；当两条直线异面时，不能确定一个平面，即D错误；故选：A.【点睛】本题主要考查平面的基本定理及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.6.新冠疫情期间，某校贯彻“停课不停学”号召，安排小组展开多向互动型合作学习，如图的茎叶图是两组学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是（）A.甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平均数B.甲组学生得分的中位数大于乙组选手的中位数C.甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数D.甲组学生得分的方差大于乙组选手的的方差【答案】D【解析】【分析】通过观察茎叶图根据平均数的运算公式和中位数的定义，可确定选项A，B，C错误，根据方差的运算公式，代入数值解得甲组学生得分的方差大于乙组选手的的方差，即选项D正确.【详解】由茎叶图可知，甲组学生得分的平均数，等于乙组选手的平均数，选项A错误；甲组学生得分的中位数83小于乙组选手的中位数84，选项B错误；甲组学生得分的中位数83不等于乙组选手的平均数84，选项C错误；甲组学生得分的方差大于乙组选手的的方差，选项D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查茎叶图，会从茎叶图中找出中位数、众数等，会计算平均数.茎叶图在给出数据分布情况的同时，又能给出每一个原始数据，保留了原始数据的信息，茎叶图适用于小批量数据.7.已知向量与的夹角为，，，当时，实数为（）A.1B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值.【详解】向量与的夹角为，，，由知，，，，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.8.上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A.13时~14时B.16时~17时C.18时~19时D.19时~20时【答案】B【解析】【分析】要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可【详解】结合函数的图象可知，在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，图象变化最快的为16到17点之间故选：B.【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题.9.在中，，，，则（）A.B.或C.D.或【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和题设中，和A的值，进而求得的值，则C可求.【详解】由正弦定理，即，∴.∴(时，三角形内角和大于，不合题意舍去)故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，属于基础题.10.点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，动点在正方形(包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取，中点，，得平面∥平面.进而得到点的轨迹为线段，又因为为等腰三角形，进而便可得出答案.【详解】取，中点，，连接、.则∥.∥.又因为.所以平面∥平面.又因为动点在正方形(包括边界)内运动，所以点的轨迹为线段.又因为正方体的棱长为2，所以，.所以为等腰三角形.故当点在点或者在点处时，此时最大，最大值为.当点为中点时，最小，最小值为.故选：B.【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属于中档题目，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点的位置.二､填空题11.已知复数，则复数______.【答案】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由，得.故答案为：.【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题型.12.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.13.如图，在中，.若，则的值为______，P是上的一点，若，则m的值为______.【答案】(1).(2).【分析】直接利用向量的线性运算的应用和向量共线的充要条件的应用求出结果.【详解】如图：在中，.所以：，故.由于点B､P､N三点共线所以，则：，整理得：，故：.所以，解得.故.故答案为：①；②.【点睛】本题考查向量的线性运算的应用和向量共线的充要条件，属于基础题.14.将底面直径为8，高为的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.【答案】【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱高为h，底面半径为r，用r表示h，从而求出圆柱侧面积的最大值.【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h，底面半径为r，则，解得；所以；当时，取得最大值为故答案为：.【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.15.如图是某地区2018年12个月的空气质量指数以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述正确的是______.①2月相比去年同期变化幅度最小，3月的空气质量指数最高；②第一季度的空气质量指数的平均值最大，第三季度的空气质量指数的平均值最小；③第三季度空气质量指数相比去年同期变化幅度的方差最小；④空气质量指数涨幅从高到低居于前三位的月份为6､8､4月.【答案】①②③【解析】【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度､升降趋势，逐一验证即可.【详解】根据折现统计图可得，2月相比去年同期变化幅度最小，3月的空气质量指数最高，故①正确；第一季度的空气质量指数的平均值最大，第三季度的空气质量指数的平均值最小，故②正确；第三季度空气质量指数相比去年同期变化幅度的方差最小，故③正确；空气质量指数涨幅从高到低居于前三位的月份为6､8､9月，故④错误，故答案为：①②③.【点睛】本题考查条形统计图和折线图的应用，重点考查数据分析，从表中准确获取信息是关键，属于中档题型.三､解答题16.已知复数(i为虚数单位).（1）求复数z的模；（2）求复数z的共轭复数；（3）若z是关于x的方程一个虚根，求实数m的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）直接根据模长的定义求解即可；（2）实部相等，虚部相反即可；（3）推导出，由此能求出实数m的值.【详解】（1）因为复数；故；（2）；（3）∵z是关于x的方程一个虚根，故；因为m为实数，所以.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的模长、共轭复数的定义、复数方程的根，考查了计算能力，属于基础题．17.已知向量与，，.（1）求；（2）设，的夹角为，求的值；（3）若向量与互相平行，求k的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）结合向量减法的坐标表示即可求解；（2）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解；（3）结合向量平行的坐标表示即可求解.【详解】（1）因，，所以；（2），（3），，由题意可得，，整理可得，，解可得，.【点睛】本题考查向量坐标表示的运算，重点考查计算能力，熟练掌握公式，属于基础题型.18.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，F为对角线AC与BD的交点，E为棱PD的中点．（1）证明：平面PBC；（2）证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证明即可；（2）通过证明和证明平面，即可证明.【详解】（1）底面为正方形，F为对角线AC与BD的交点，为中点，E为棱PD的中点，，平面PBC，平面PBC，平面PBC；（2）平面，平面，，底面为正方形，，,平面，平面，.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用线面垂直证明线线垂直，属于基础题.19.在中，，，.（1）求；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求出结果.（2）直接利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果.【详解】（1）中，，，.所以：，利用正弦定理得：，解得：，由于，所以：，利用三角形内角和，所以：；（2）利用余弦定理：，解得：.所以：.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查计算能力，属于基础题型.20.为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值；（3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要所少分？【答案】（1）详见解析（2）众数为：75和85，均值为：（3）88分【分析】⑴由频率分布直方图即可计算出分数在内的频率⑵由频率分布直方图得到本次考试成绩的众数，然后计算平均值⑶结合题意计算出排名靠前10%的分数【详解】（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，则有，可得，分数在内的频率为0.25.所以频率分布直方图为：（2）由图知，众数为：75和85均值为：.（3）因为分数在内的频率为0.25，内的频率为0.05，而所以得分前10%的分界点应在80至90之间.设所求的分界点为，则，解得.所以得分前10%的分界点为88，即获奖的同学至少需要88分.【点睛】本题考查了频率分布直方图的实际运用，在解题过程中一定要会分析频率分布直方图，并能正确计算出结果，较为基础．21.如图1，在等腰梯形中，，，，，E､F分别为腰､的中点.将四边形沿折起，使平面平面，如图2，H，M别线段､的中点.（1）求证：平面；（2）请在图2所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面垂直，并给出证明：（3）若N为线段中点，在直线上是否存在点Q，使得面？如果存在，求出线段的长度，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2），E这两个点，使得这两点所在直线与平面垂直，证明见解析；（3）存在，.【解析】【分析】（1）由已知可证，利用面面垂直的性质即可证明平面．（2）连结，，通过证明四边形是菱形，可证，又，可得，这两点所在直线与平面垂直．（3）假设在直线上存在点，使得面．在线段上取点，使得，连结线段，交于点，利用面面平行的性质可得平面，即可求解．【详解】解：（1）证明：四边形是等腰梯形，点为的中点，点为的中点，，平面平面，平面平面，平面．（2）解：在图2中，，这两个点，使得这两点所在直线与平面垂直．证明：连结，，平面，，，且，四边形是菱形，，，平面,平面平面，这两点所在直线与平面垂直．（3）解：为线段中点，假设在直线上存在点，使得面．在线段上取点，使得，再平面图形中连结线段，交于点（图（1）），则，由题意可得平面平面，平面，因为就是所求的点，．【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，面面平行的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．北京市部分重点中学高一下学期期末考试数学试题（二）一、选择题（共8小题）.1.已知向量，，若，那么m的值为（）A.B.C.2D.2.的值等于（）A.B.C.D.3.已知圆柱的底面半径和高都是，那么圆柱的侧面积是（）A.B.C.D.4.给出下列四个命题：①垂直于同一平面两个平面互相垂直；②平行于同一平面的两个平面互相平行；③垂直于同一直线的两个平面互相垂直；④平行于同一直线的两个平面互相平行，其中正确命题的序号是（）A.①B.②C.③D.④5.化简向量等于（）A.B.C.D.6.关于函数，下列命题正确的是（）A.存在，使是偶函数B.对任意的，都是非奇非偶函数C.存在，使既是奇函数，又是偶函数D.对任意，都不是奇函数7.已知非零向量、满足，且，那么等于（）A.B.C.D.8.已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数x，都有，那么的最小值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9.等于________.10.已知，且，那么等于________；等于________11.在中，，且,则边AB的长为．12.在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知，，，那么b等于________.13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，那么的最大内角的余弦值为________.14.已知，，，，如果P点是所在平面内一点，且，那么的值等于________.三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知向量，.（1）若，共线，求x的值；（2）若，求x的值；（3）当时，求与夹角的余弦值.16.如图，在三棱锥中，，D、E分别是AB、AC的中点，且平面ABC.（1）求证：平面PDE；（2）求证：平面PDE.17.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值；（3）若函数在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围.18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，.（1）求边c的值；（2）若，求的面积.19.已知，（1）求值；（2）求的值；（3）若且，求的值.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，，，.（1）求证：直线平面PNC；（2）在AB上是否存在一点E，使平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理由；（3）求三棱锥的体积.答案解析一、选择题（共8小题）.1.已知向量，，若，那么m的值为（）A.B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】由两个向量垂直得数量积等于零，列方程可求出m的值【详解】向量，，若，则，即，解得.故选：C.【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题2.的值等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用和角的正弦公式化简求值得解.【详解】由题得.故选：【点睛】本题主要考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.已知圆柱的底面半径和高都是，那么圆柱的侧面积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题可根据圆柱的侧面积公式得出结果.【详解】因为圆柱的底面半径和高都是，所以圆柱的侧面积，故选：B.【点睛】本题考查圆柱的侧面积的计算，若圆柱的底面半径为，高为，则侧面积，考查计算能力，是简单题.4.给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两个平面互相垂直；②平行于同一平面的两个平面互相平行；③垂直于同一直线的两个平面互相垂直；④平行于同一直线的两个平面互相平行，其中正确命题的序号是（）A.①B.②C.③D.④【答案】B【解析】【分析】通过举例的方式逐一验证各选项的对错.【详解】①垂直于同一平面的两个平面可能垂直，也可能平行，比如正方体的下底面和左右侧面互相垂直，但是左右侧面互相平行，故错误；②平行于同一平面的两个平面互相平行，比如用平行于正方体上下底面的平面截正方体，所得截面和上下底面互相平行，故正确；③垂直于同一直线的两个平面互相平行，比如正方体的一条侧棱垂直于上下底面，且上下底面互相平行，故错误；④平行于同一直线的两个平面可能相交，比如正方体的下底面的一条棱平行于侧面和上底面，而侧面和上底面相交，故错误.故选：B.【点睛】本题考查空间直线、平面的位置关系的判断，常用的方法是采用作图或举例子的方式去判断对应命题的真假，主要是考查学生的空间想象能力，难度一般.5.化简向量等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的 加减法 十以内的加减法题目100道100以内加减法练习题100以内加减法混合题十以内加减法100道题10以内加减法题目100道 法则求解即可【详解】.故选：A.【点睛】此题考查向量的加减法法则的应用，属于基础题6.关于函数，下列命题正确的是（）A.存在，使是偶函数B.对任意的，都是非奇非偶函数C.存在，使既是奇函数，又是偶函数D.对任意的，都不是奇函数【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象性质结合诱导公式，对每一选项进行逐一判断即可.【详解】对于A，当，时，函数是偶函数，所以A正确；对于B，当，时，函数是奇函数，所以B错误；对于C，由选项A,B的分析，不存在，使函数既是奇函数，又是偶函数，所以C错误；对于D，，时，函数是奇函数，所以D错误.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的奇偶性的分析，属于基础题.7.已知非零向量、满足，且，那么等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题首先可根据得出，然后根据得出，即可求出的值.【详解】因为非零向量、满足，且.所以，，，故选：C.【点睛】本题考查向量的运算，考查向量的模的相关性质，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.8.已知函数，如果存在实数，，使得对任意实数x，都有，那么的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意分析可知为的最小值，为的最大值，故最小时为半个周期.【详解】的周期，由题意可知为的最小值，为的最大值，的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象及性质，属于简单题，分析清楚题目意思是关键.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9.等于________.【答案】【解析】【分析】直接逆用余弦的二倍角公式求解即可【详解】，故答案为：.【点睛】此题考查余弦的二倍角公式的应用，属于基础题10.已知，且，那么等于________；等于________.【答案】(1).(2).【分析】给等式两边平方，再利用正弦的二倍角公式可求出，而，从而可求出的值【详解】，且，，.把所给的等式平方可得，.再根据.求得，或（舍去），故答案为：；.【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查二倍角公式的应用，考查转化思想，属于基础题11.在中，，且,则边AB的长为．【答案】1【解析】试题分析：因为，所以考点：向量数量积12.在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知，，，那么b等于________.【答案】【分析】由三角形面积公式求出边，再由余弦定理计算可得；【详解】解：，，，，由余弦定理可得.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题.13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，那么的最大内角的余弦值为________.【答案】【分析】由边的大小关系可知是最大角，然后利用余弦定理求解.【详解】角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，则是最大角，则，故答案为：.【点睛】本题考查三角形中的边角关系，考查余弦定理的应用，属于简单题.14.已知，，，，如果P点是所在平面内一点，且，那么的值等于________.【答案】13【分析】由条件可得，，可得，由，可得出答案.【详解】，，，，，，，，，又，.故答案为：13.【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知向量，.（1）若，共线，求x的值；（2）若，求x的值；（3）当时，求与夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用向量共线的坐标表示即可求解；（2）分别求出和的坐标，利用向量垂直的坐标表示即可求解；（3）利用向量夹角的公式即可求解.【详解】（1），共线，，解得；（2），且，，解得；（3）当时，，，，，.【点睛】本题主要考查了向量共线、向量垂直。以及向量夹角的坐标表示，属于基础题.16.如图，在三棱锥中，，D、E分别是AB、AC的中点，且平面ABC.（1）求证：平面PDE；（2）求证：平面PDE.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)由线面垂直得出，由分别为的中点以及得出，然后由线面垂直的判定定理证明即可得出结论.【详解】(1)由分别为中点，可得，由面PDE，面PDE，可得平面PDE；(2)由平面ABC，平面ABC，可得，由(1)知，且由题意可得，所以由，且平面PDE，可得平面PDE.【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了线面垂直的性质定理和判定定理的应用，属于一般难度的题.17.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值；（3）若函数在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）最大值为2，最小值为；（3）.【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式对函数化简，再利用周期公式可求出周期；（2）由得，再结合正弦函数的图像和性质可求出函数的最值；（3）由函数在上单调递增，，在上单调递减，，从而可求出实数k的取值范围.【详解】（1）由，得的最小正周期为.（2）因为，所以，所以.从而所以，当，即时，的最大值为2；当，即时，的最小值为.（3）由，得，而函数在上单调递增，，在上单调递减，，所以若函数在上有两个不同的零点，则.【点睛】此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查正弦函数图像和性质的应用，属于基础题18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，.（1）求边c的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）4；（2）.【解析】【分析】（1）运用正弦定理，角化为边，即可得到所求值；（2）运用余弦定理求得，可得，再由面积公式即可得到所求值．【详解】（1），由正弦定理可得，；（2），代入，，解出，，．【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19.已知，.（1）求的值；（2）求的值；（3）若且，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据角的范围，利用平方关系求出，再利用商的关系求的值；（2）直接利用两角和的正切公式求的值；（3）求出，由，利用两角差的正弦公式求解即可.【详解】（1）因为，，故，所以.（2）.（3）因为，，所以.又因为，所以..【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，，，.（1）求证：直线平面PNC；（2）在AB上是否存在一点E，使平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理由；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）E是AB中点，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）PC上取一点F，使，连接MF，NF，证明，，推出，即可得证；（2）E是AB中点，证明，，利用线面垂直的判定定理即可证明平面PDE；（3）证明为点到平面的距离，求出底面积，利用等体积法即可求解.【详解】（1）在PC上取一点F，使，连接MF，NF，因为，，所以，，，，可得且.所以MFNA为平行四边形，即，又平面，所以直线平面（2）E是AB中点，证明如下：因为E是AB中点，底面ABCD是菱形，，所以，因为，所以，即，又平面ABCD，所以，又，所以直线平面PDE（3）直线，且由（2）可知，DE为点A到平面PDC的距离，，，所以.【点睛】本题主要考查了直线与平面平行以及垂直的判断，考查了等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.北京市部分重点中学高一下学期期末考试数学试题（三）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.复数的共轭复数是（）A.B.C.D.2.在下列各组向量中，互相垂直的是（）A.，B.，C.，D.，，3.在中，，，则（）A0B.C.D.4.甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是（）A.B.C.D.5.将一个容量为1000样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（）A.4B.40C.250D.4006.若样本数据，，，标准差为8，则数据，，，的标准差为（）A.8B.16C.32D.647.用6根火柴最多可以组成（）A2个等边三角形B.3等边三角形C.4个等边三角形D.5个等边三角形8.已知直线平面，直线平面，则“直线”是“，且”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是（）A.0B.1C.2D.310.如图，在正方体中，点，分别是棱，上的动点．给出下面四个命题：①若直线与直线共面，则直线与直线相交；②若直线与直线相交，则交点一定在直线上；③若直线与直线相交，则直线与平面所成角的正切值最大为；④直线与直线所成角的最大值是．其中，所有正确命题的序号是（）A.①④B.②④C.①②④D.②③④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.在空间中，若直线与无公共点，则直线的位置关系是________；12.棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是__．13.已知23名男生的平均身高是170.6cm，27名女生的平均身高是160.6cm，则这50名学生的平均身高为__cm．14.样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是__，第75百分位数是__．15.为了考察某校各班参加 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法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据由小到大依次为__．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为，求．17.在锐角中，角，，所对的边分别是，，，已知，．（Ⅰ）能否成立？请说明理由；（Ⅱ）若，求．18.某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照，，，，，，，，，分组，绘成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）分别求出抽取的20人中得分落在组和内的人数；（Ⅲ）估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数．19.某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动，为了了解学生的运动状况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试，如表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个分钟）学生编号12345跳绳个数179181170177183踢毽个数8276797380（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？（Ⅱ）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的概率；（Ⅲ）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定？20.如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面⊥平面，.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：平面⊥平面；(Ⅲ)在线段上是否存在点，使得⊥平面？说明理由.21.在边长为2正方形中，点，分别是，上的动点，将，分别沿，折起，使，两点重合于点．（Ⅰ）若点，分别是，的中点（如图），①求证：；②求三棱锥的体积；（Ⅱ）设，，当，满足什么关系时，，两点才能重合于点？答案解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.复数的共轭复数是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用共轭复数的定义直接得到.【详解】根据共轭复数的定义可得复数的共轭复数是.故选A.【点睛】本题考查共轭复数定义，属基础题.2.在下列各组向量中，互相垂直的是（）A.，B.，C.，D.，，【答案】A【解析】【分析】求出两向量的数量积，根据两垂直向量的数量积关系进行判断．【详解】若两个向量、垂直，则，对于选项A，，满足条件；对于选项B，，不满足条件；对于选项C，，不满足条件；对于选项D，，不满足条件；故选：A【点睛】本题主要垂直向量的数量积关系、向量数量积的坐标表示，属于基础题．3.在中，，，则（）A.0B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理且得，再由，得，得，得，可求的值．【详解】由余弦定理得：，又，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4.甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】基本事件总数，甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率．【详解】甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，基本事件总数，甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考査古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.将一个容量为1000样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（）A.4B.40C.250D.400【答案】D【分析】直接利用频率的定义求解即可．【详解】一个容量为1000的样本分成若干组，某组的频率为0.4，该组的频数为：．故选：．【点睛】本题考查频数的求法，解题时要认真审题，属于基础题．6.若样本数据，，，标准差为8，则数据，，，的标准差为（）A.8B.16C.32D.64【答案】B【详解】【分析】由已知结合方差的性质即可直接求解．【解答】解：由方差的性质可知，，因为样本数据，，，标准差为8，即方差为64，则数据，，，的方差为，，即标准差为16故选：．【点评】本题主要考查了方差性质，的的简单应用，属于基础试题．7.用6根火柴最多可以组成（）A.2个等边三角形B.3等边三角形C.4个等边三角形D.5个等边三角形【答案】C【分析】用6根火柴，要使搭的个数最多，就要搭成立体图形，即三棱锥．【详解】要使搭的个数最多，就要搭成三棱锥，这时最多可以搭4个一样的三角形．图形如下：故选：C．【点睛】本题考查三棱锥，本题要打破思维定势，不要只从平面去考虑，要考虑到立体图形的拼组，属于基础题．8.已知直线平面，直线平面，则“直线”是“，且”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的性质及判定以及充分必要条件判断即可．【详解】直线平面，直线平面，则“直线”能推出“，且”，是充分条件，反之“，且”，直线m与平面不一定垂直，不是必要条件，故选：A【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定以及充分必要条件，属于基础题．9.关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直的定义，线面垂直的定义，面面垂直的性质定理判断每个命题的真假即可．【详解】如果两个平面垂直，两平面内的直线并不都相互垂直，从而判断命题①不正确；如果两个平面垂直，另一个平面内，必有无数条直线和这个平面垂直，从而判断命题②正确；如果两个平面垂直，当其中一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时，这条直线与另一个平面平行，所以并不是平面内的所有直线都和另一个平面垂直，从而判断命题③不正确；根据面面垂直的性质定理可判断命题④正确，正确命题个数为2．故选：C【点睛】本题考查了面面垂直、线面垂直和线线垂直的定义，面面垂直的性质定理，考查了推理能力，属于基础题．10.如图，在正方体中，点，分别是棱，上的动点．给出下面四个命题：①若直线与直线共面，则直线与直线相交；②若直线与直线相交，则交点一定在直线上；③若直线与直线相交，则直线与平面所成角的正切值最大为；④直线与直线所成角的最大值是．其中，所有正确命题的序号是（）A.①④B.②④C.①②④D.②③④【答案】D【解析】分析】利用平面的性质，以及直线与平面所成角，判断选项的正误即可．【详解】在正方体中，点，分别是棱，上的动点．①如果点在，在时，直线与直线平行，可得直线与直线共面，但直线与直线不相交，①不正确；②因为空间3个平面两两相交有3条交线，要么互相平行，要么相交与一点，因为直线与直线相交，所以则交点一定在直线上，所以②正确；③若直线与直线相交，则直线与平面所成角的正切值最大值，应该是，与重合，此时直线与平面所成角的正切值最大为，所以③正确；④直线与直线所成角的最大值就是，与重合时取得，夹角是，所以④正确；故选：．【点睛】本题考查命题的真假的判断，空间几何体的直线与直线的位置关系的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，判断能力．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.在空间中，若直线与无公共点，则直线的位置关系是________；【答案】平行或异面【解析】【分析】根据直线与直线的位置关系直接判断【详解】与无公共点，与可能平行，可能异面．【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维的培养，属基础题．12.棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是__．【答案】【解析】【分析】取中点，连结、，可得是二面角的平面角，再由余弦定理求解．【详解】如图，三棱锥的棱长都相等，取中点，连结、，三棱锥各棱长均相等，即、均为等边三角形，，，是二面角的平面角，设棱长，则，．即棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是．故答案为：．【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，熟练掌握正四面体的性质、二面角的定义、余弦定理的应用是解答此题的关键，属于中档题．13.已知23名男生的平均身高是170.6cm，27名女生的平均身高是160.6cm，则这50名学生的平均身高为__cm．【答案】【解析】【分析】由已知数据利用平均数的定义直接求解即可．【详解】由题意可知(cm).故答案为：165.2【点睛】本题主要考查了一组数据的平均分的求解，属于基础题．14.样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是__，第75百分位数是__．【答案】(1).5(2).7【解析】【分析】先把样本数据从小到大排列，由，得到该组数据的第50百分位数是第5个数与第6个数的平均数；由，得到第75百分位数第8个数．【详解】样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，，该组数据的第50百分位数是，，第75百分位数是7．故答案为：5；7．【点睛】本题考查第50百分位数和第75百分位数的求法，考査百分位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.为了考察某校各班参加书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据由小到大依次为__．【答案】4，6，7，8，10【解析】【分析】由已知结合平均数及方差公式，分析数据特点即可求解．【详解】设5个数据分别为，，，，，由题意可得，，，由于5个数的平方和为20，则必为，由可得或4，由可得或6，故样本数据为4，6，7，8，10．故答案为：4，6，7，8，10【点睛】本题主要考查了平均数及方差公式在实际问题中的应用，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为，求．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）先设，再根据向量共线定理即可求解即可；（2）由已知结合向量数量积的定义及数量积的坐标表示即可求解．【详解】解：（1）设，由题意可得，存在实数，使得，即，，，，所以，，由可得，即或（舍，所以，（2）设，所以，又因为，故即，因为，所以，故，当，时，，当，时，．【点评】本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的定义及性质的简单应用，属于中档试题．17.在锐角中，角，，所对的边分别是，，，已知，．（Ⅰ）能否成立？请说明理由；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）不成立，理由见解析；（Ⅱ）8．【解析】【分析】（Ⅰ）利用反证法，结合三角形的性质即可判断；（Ⅱ）根据余弦定理即可求出．【详解】（Ⅰ）不成立，理由如下：，，，，，这与为锐角三角形矛盾；（Ⅱ）因为，由余弦定理可得，，整理可得，解得或，当时，，为钝角，与题意不符合，．【点睛】本题主要考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力及应用意识，考查化归与转化等思想方法，属于常考题．18.某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照，，，，，，，，，分组，绘成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）分别求出抽取的20人中得分落在组和内的人数；（Ⅲ）估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分别为2人和3人；（Ⅲ）平均数为56，中位数为，众数为50．【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出．（Ⅱ）由频率分布直方图的性质能求出得分落在内的人数和得分落在内的人数．（Ⅲ）由频率分布直方图的性质得能估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和所有参赛选手得分的众数．【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得：，解得；（Ⅱ）由频率分布直方图能求出：得分落在内的人数为：，得分落在内的人数为：；（Ⅲ）估计所有参赛选手得分的平均数为：，设所有的参赛选手得分的中位数为，则，解得，则所有参赛选手得分的众数估计值为：．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查平均数、中位数和众数的求法，考查运算求解能力，考查识图能力，属于常考题．19.某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动，为了了解学生的运动状况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试，如表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个分钟）学生编号12345跳绳个数179181170177183踢毽个数8276797380（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？（Ⅱ）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的概率；（Ⅲ）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定？【答案】（Ⅰ）高一、高二各有196、140人；（Ⅱ）；（Ⅲ）高二年级学生的踢毽的成绩更稳定．【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用抽样关系式的应用求出结果．（Ⅱ）计算每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的人数，然后利用古典概型的应用求出结果．（Ⅲ）平均值和方差的公式直接计算，然后进行比较，可得结果．【详解】（Ⅰ）高一年级的学生人数为．高二年级的学生人数为．（Ⅱ）设“该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75”为事件，由表中的数据可知：高二年级选出的5名学生中每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的共有3人，所以从5人中任选一人，事件发生概率为，由此估计从高二年级的学生中任选一人，事件发生的概率为．（Ⅲ）由表中的数据可以估计：高二年级的学生每分钟跳绳的个数的平均数为．高二年级的学生每分钟跳绳的个数的方差为．高二年级的学生每分钟踢毽的个数的平均数为．高二年级的学生每分钟踢毽的个数的方差为，由于，所以高二年级学生的踢毽的成绩更稳定．【点睛】本题考查的知识要点：概率的应用，平均数和方差公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面⊥平面，.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：平面⊥平面；(Ⅲ)在线段上是否存在点，使得⊥平面？说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）存在点N符合题意【解析】【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD．由此能证明CD∥平面ABFE．（Ⅱ）推导出AE⊥DE，AB⊥AD，从而AB⊥平面ADE，进而AB⊥DE，由此能证明DE⊥平面ABFE，从而平面ABFE⊥平面CDEF．（Ⅲ）取CD的中点N，连接FN，推导出四边形EDNF是平行四边形，从而FN∥DE，由DE⊥平面ABFE，能证明FN⊥平面ABFE．【详解】证明：(Ⅰ)在五面体中，因为四边形是正方形，所以.因为平面,平面，所以平面.(Ⅱ)因为,，所以，所以，即.因为四边形是正方形，所以.因为平面⊥平面，平面平面，所以⊥平面.因为,所以⊥.因为所以⊥平面因为，所以平面⊥平面.(Ⅲ)在线段上存在点，使得⊥平面.证明如下：取的中点，连接.由（Ⅰ）知,,,所以.因为所以.所以四边形是平行四边形.所以.由(Ⅱ)知，⊥平面，所以.【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．21.在边长为2的正方形中，点，分别是，上的动点，将，分别沿，折起，使，两点重合于点．（Ⅰ）若点，分别是，的中点（如图），①求证：；②求三棱锥的体积；（Ⅱ）设，，当，满足什么关系时，，两点才能重合于点？【答案】（Ⅰ）①证明见解析；②；（Ⅱ）当，满足，或时，，两点才能重合于点．【解析】【分析】（Ⅰ）①运用线面垂直的判定和性质，先证平面，即可得证；②判断为直角三角形，求得面积，再判断为棱锥的高，运用棱锥的体积公式，计算可得所求值；（Ⅱ）分别讨论：（1）当，不是端点，即，时，，两点重合于，，，有且只有共线和不共线两种情况．分别讨论，可得，的关系式；（2）当，中有一个与重合时，另一个也与重合，可得．【详解】解：（Ⅰ）①证明：由题