相似三角形经典题型

相似三角形知识点与经典题型知识点1相关相似形的看法(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)假如两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比率，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2比率线段的相关看法〔1〕假如采纳同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是am，bn或写成a:bm:n．注：在求线段比时，线段单位要一致。〔2〕在四条线段a,b,c,d中，假如a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比率线段，简称比率线段．注：①比率线段是有次序的，假如说a是b,c,d的第四比率项，那么应得比率式为：bd．②在比率式ac(a：bcac：d)中，a、d叫比率外项，b、c叫比率内项,a、c叫比率前项，b、bdd叫比率后项，d叫第四比率项，假如b=c，即a：bb：d那么b叫做a、d的比率中项，此时有b2ad。〔3〕黄金切割：把线段AB分成两条线段AC,BC(ACBC)，且使AC是AB和BC的比率中项，即AC2ABBC，叫做把线段AB黄金切割，点C叫做线段AB的黄金切割点，此中AC51AB2≈0.618AB．即ACBC51简记为：长＝短＝51ABAC2全长2注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3比率的性质〔注意性质立的条件：分母不可以为0〕〔1〕根天性质：①a:bc:dadbc；②a:bb:cb2ac．注：由一个比率式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比率式，如了可化为a:bc:d，还可化为a:cb:d，c:da:b，b:da:c，b:ad:cb:a，d:bc:a．adbc，除d:c，c:ad:b，ab，交换内项)c(d〔2〕更比性质(交换比率的内项或外项)：acdc，交换外项)bdb(adb．同时交换内外项)c(a〔3〕反比性质(把比的前项、后项交换)：acbd．bdac〔4〕合、分比性质：acabcd．bdbd注：实质上，比率的合比性质可扩展为：比率式中等号左右两个比的前项，后项之间badc发生相同和差变化比率仍建立．如：acac等等．bdabcdabcd〔5〕等比性质：假如acem(bdfn0)，那么acema．bdfnbdfnb注：①此性质的证明运用了“设k法〞〔即引入新的参数k〕这样可以减少未知数的个数，这类方法是相关比率计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母能否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：acea2c3ea2c3ea；此中b2d3f0．bdfb2d3fb2d3fb知识点4比率线段的相关定理1.三角形中平行线分线段成比率定理:平行于三角形一边的直线截其余两边(或两边的延长线)所A得的对应线段成比率.由DE∥BC可得：ADAE或BDEC或ADAEDBECADEAABACDEBC注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其余两边订交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对．．．．．．．．．．．．应成比率.②三角形中平行线分线段成比率定理的逆定理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比率.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比率式证平行线.③平行线的应用：在证明相关比率线段时，辅助线常常做平行线,但应依据的原那么是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.AD2.平行线分线段成比率定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比率.BEAD∥BE∥CF,CF可得ABDE或ABDE或BCEF或BCEF或ABBC等.BCEFACDFABDEACDFDEEF注：平行线分线段成比率定理的推论：平行线均分线段定理：两条直线被三条平行线所截，假如在此中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。知识点5相似三角形的看法对应角相等，对应边成比率的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽〞表示，读作“相似于〞．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比率．注：①对应性：即两个三角形相似时，必定要把表示对应极点的字母写在对应地址上，这样写比较简单找到相似三角形的对应角和对应边．②次序性：相似三角形的相似比是有次序的．③两个三角形形状相同，但大小不必定相同．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．两者的差别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比率．知识点6三角形相似的等价关系与三角形相似的判判定理的预备定理相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一ABC有ABC∽ABC．②对称性：假设ABC∽A'B'C'，那么A'B'C'∽ABC．③传达性：假设ABC∽A'B'C，且A'B'C∽ABC，那么ABC∽三角形相似的判判定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其余两边构成的三角形与原三角形相似．定理的根本图形：AEAADEBCCDEBB(1)(2)(3)ABC(或两边延长线)订交，所DC用数学语言表述是：DE//BC，∴ADE∽ABC．知识点7三角形相似的判断方法、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比率的两个三角形相似．、平行法：平行于三角形一边的直线和其余两边(或两边的延长线)订交，所构成的三角形与原三角形相似．、判判定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．、判判定理2：假如一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比率，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比率且夹角相等，两三角形相似．、判判定理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比率，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比率，两三角形相似．、判断直角三角形相似的方法：(1)以上各种判断均适用．(2)假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比率中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比率中项。A如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，那么AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。BDC知识点8相似三角形常有的图形、下边我们来看一看相似三角形的几种根本图形：〔1〕如图：称为“平行线型〞的相似三角形〔有“A型〞与“X型〞图〕AAEDDECABBCE(1)DC(2)B(3)如图：此中∠1=∠2，那么△ADE∽△ABC称为“斜交型〞的相似三角形。〔有“反A共角型〞、“反A共角共边型〞、“蝶型〞〕AAD1E4EE1AD1D2C2C2BBCB〔3〕如图：称为“垂直型〞〔有“双垂直共角型〞、“双垂直共角共边型〔也称“射影定理型〞〕〞“三AAE垂直型〞〕EBDEBCACDC(D)B如图：∠1=∠2，∠B=∠D，那么△ADE∽△ABC，称为“旋转型〞的相似三角形。、几种根本图形的详尽应用：1〕假设DE∥BC〔A型和X型〕那么△ADE∽△ABC〔2〕射影定理假设CD为Rt△ABC斜边上的高〔双直角图形〕那么Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；〔3〕满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判断△ADC∽△ACB．〔4〕当ADAE或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．ACAB知识点9：全等与相似的比较：三角形全等三角形相似相似判断的预备定理两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两角对应相等两边及夹角对应相等(SAS)两边对应成比率，且夹角相等三边对应相等(SSS)三边对应成比率直角三角形中向来角边与斜边对应相等直角三角形中斜边与向来角边对应成比(HL)例知识点10相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比率．相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角均分线的比都等于相似比．相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比率、角相等，也可用来计算周长、边长等．知识点11相似三角形中相关证〔解〕题规律与辅助线作法、证明四条线段成比率的常用方法：线段成比率的定义三角形相似的预备定理利用相似三角形的性质利用中间比等量代换利用面积关系、证明题常用方法归纳：1〕整体思路:“等积〞变“比率〞，“比率〞找“相似〞找相似：经过“横找〞“竖看〞找寻三角形，即横向看或纵向找寻的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，可以构成三角形，并且有可能是相似的，那么可证明这两个三角形相似，而后由相似三角形对应边成比率即可证的所需的结论.找中间比：假设没有三角形(即横向看或纵向找寻的时候一共有四个字母也许三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，那么需要进行“转移〞(或“替代〞)，常用的“替代〞方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。①am,cm(m为中间比)②am,cm',nn'bndnnbndn③am,cm''(mm',nn'或mm'')bndnnn增加辅助线：假设上述方法还不可以见效的话，可以考虑增加辅助线(平时是增加平行线)构成比率.以上步骤可以不停的重复使用，直到被证结论证出为止.注：增加辅助平行线是获取成比率线段和相似三角形的重要门路。平面直角坐标系中平时是作垂线〔即得平行线〕构造相似三角形或比率线段。〔5〕比率问题：常用办理方法是将“一份〞看着k;对于等比问题，常用办理方法是设“公比〞为k。〔6〕．对于复杂的几何图形，平时采纳将局部需要的图形〔或根本图形〕“分别〞出来的方法办理。知识点12相似多边形的性质相似多边形周长比，对对付角线的比都等于相似比．相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．相似多边形面积比等于相似比的平方．注意：相似多边形问题常常要转变为相似三角形问题去解决，所以，熟练掌握相似三角形知识是基础和要点．知识点13位似图形相关的看法与性质及作法定义：假如两个图形不但是相似图形，并且每组对应极点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.注：〔1〕位似图形是相似图形的特例，位似图形不但相似，并且对应极点的连线订交于一点.2〕位似图形必定是相似图形，但相似图形不必定是位似图形.3〕位似图形的对应边相互平行或共线.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注：位似图形拥有相似图形的全部性质.画位似图形的一般步骤：1〕确立位似中心〔位似中心可以是平面中任意一点〕2〕分别连接原图形中的要点点和位似中心，并延长〔或截取〕.3〕依据的位似比，确立所画位似图形中要点点的地址.4〕按序连接上述获取的要点点，即可获取一个放大或减小的图形.①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上〔图形边上或极点上〕。②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段以外，称为“外位似〞〔即同向位似图形〕③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似〞〔即反向位似图形〕〔5〕在平面直角坐标系中，假如位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k〔k>0〕,原图形上点的坐标为〔x,y〕,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky),反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),经典例题透析种类一、相似三角形的看法．判断对错：两个直角三角形必定相似吗？为何？两个等腰三角形必定相似吗？为何？两个等腰直角三角形必定相似吗？为何？两个等边三角形必定相似吗？为何？两个全等三角形必定相似吗？为何？思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比率.要说明不相似，那么只要否认此中的一个条件.解：(1)不必定相似.反例直角三角形只确立一个直角，其余的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不必定相似.不必定相似.反例等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.所以两个等腰三角形中有两边对应成比率，两底边的比不必定等于对应腰的比，所以等腰三角形不必定相似.必定相似.在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中设AB=a，A′B′=b，那么BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b∴∴ABC∽A′B′C′必定相似.由于等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以两个等边三角形必定相似.必定相似.全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形必定相似，且相似比为1.贯穿交融【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？ 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：全等.由于这两个三角形相似，所以对应角相等.又相似比为1，所以对应边相等.所以这两个三角形全等. 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 升华：由上可知，在特别的三角形中，有的相似，有的不必定相似.两个直角三角形，两个等腰三角形不必定相似.两个等腰直角三角形，两个等边三角形必定相似.两个全等三角形必定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等.【变式2】以下可以相似的一组三角形为()A.全部的直角三角形B.全部的等腰三角形C.全部的等腰直角三角形D.全部的一边和这边上的高相等的三角形分析：依据相似三角形的看法，判断三角形能否相似，必定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等，其余的角能否对应相等不行知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中全部三角形都是由90°、45°、45°角构成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.种类二、相似三角形的判断2．以以下图，中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC订交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再依据平行线找相似三角形.解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD，AD∥BC，△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.△BEF∽△CDF∽△AED.当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.总结升华：此题中△BEF、△CDF、△AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不但要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，假设次序颠倒，那么相似比成为本来的倒数.3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，那么△ABC和△EDF相似吗？为何？思路点拨：△ABC和△EDF都是直角三角形，且两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边能否对应成比率.解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.由勾股定理得.在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.由勾股定理，得.在△ABC和△EDF中，，，，∴，∴△ABC∽△EDF(三边对应成比率，两三角形相似).总结升华：此题易错为只看3，6，4，10四条线段不行比率就判断两三角形不相似.利用三边判断两三角形相似，应看三角形的三边能否对应成比率，而不是两边.(2)此题也可以只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判断两三角形相似.4．以以下图，点D在△ABC的边AB上，满足如何的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.思路点拨：此题属于研究问题，由相似三角形的鉴别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可依据相似三角形的鉴别方法找寻一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC.条件一：∠1=∠B.条件二：∠2=∠ACB.条件三：，即.总结升华：此题的研究钥匙是相似三角形的鉴别方法.在研究两个三角形相似时，用分析法，可先假设△ACD∽△ABC，而后找寻两个三角形中边的关系或角的关系即可.此题易错为出现条件四：.不吻合条件“最小化〞原那么，由于条件三能使问题建立，所以出现条件四是错误的.贯穿交融【变式1】：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ不可以用两个角对应相等判断．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而与PQ能否垂直，所以BP=3PC，所以可用对应边成比率夹角相等的方法来判断．详尽证明过程以下：证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2∵=3，∴=4又∵BC=2DQ，∴=2在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，∴△ADQ∽△QCP．【变式2】如图，弦和弦订交于内一点，求证：.思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转变为比率式，从而找到应证哪两个三角形相似时圆中间同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵巧应用.证明：连接，.在.同∴∽.【变式3】：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC．所以考虑用三边对应成比率的两个三角形相似．证明：在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线，DE=AB，即=．同理=．∵EF为△ABC的中位线，EF=BC，即=．∴==．∴△DFE∽△ABC．总结升华：此题证明方法许多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的两边成比率，即=，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证出△DEF∽△ABC．种类三、相似三角形的性质5．△ABC∽△DEF，假设△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的别的两边的长度吗？试说明原由.思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，所以需分三种状况进行谈论.解：设另两边长是xcm，ycm，且x 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1：如上左图，构造全等三角形，丈量CD，获取AB=CD，获取河宽.方案2：思路点拨：这是一道丈量河宽的实质问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比率式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然前面向不变，连续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？解：∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠ABO=∠DCO=90°又∵∠AOB=∠DOC∴△AOB∽△DOC∴∵BO=50m，CO=10m，CD=17m∴AB=85m答：河宽为85m．总结升华：方案2利用了“〞型根本图形，实质上丈量河宽有很多方法，可以用“〞型根本图形，借助相似；也可用等腰三角形等等.贯穿交融【变式1】如图：小明欲丈量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后挪动，直到他自己影子的顶正直好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，小明的身高是1.6m，他的影长是2．图中△ABC与△ADE能否相似?为何?求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m∴∴DE=16m答：古塔的高度为16m.【变式2】：如图，阳光经过窗口照耀到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？思路点拨：光辉AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.那么，利用边的比率关系求出BC.解：作EF⊥DC交AD于F.由于AD∥BE，所以又由于，所以，所以.由于AB∥EF，AD∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m.所以m.种类五、相似三角形的周长与面积8．：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB订交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．思路点拨：利用△ADE∽△BCE，以及其余相关的条件，可以求出△BCE的面积．△ABC的边AB上的高也是△BCE的高，依据AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面积．最后利用△AEF∽ABC，可求出△AEF的面积．解：∵DA∥BC，△ADE∽△BCE．S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．∵AE︰BE=1︰2，S△ADE︰S△BCE=1︰4．S△ADE=1，∴S△BCE=4．S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2，S△ABC=6．∵EF∥BC，△AEF∽△ABC．AE︰AB=1︰3，S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．S△AEF==．总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．贯穿交融【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比率尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴.【变式2】如图，：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、不重合)，Q点在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；解：(1)∵S△PQC=S四边形PABQ∴S△PQC：S△ABC=1：2∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC∴S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2∴CP2=42×，∴CP=.(2)∵S△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周长)=6∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC∴，即：解得，CP=种类六、综合研究9．如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E，(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)请你研究在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？假如能，求出AP的长；假如不能，请说明原由.解：(1)∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D又∵PE⊥BP，∴∠APB+∠DPE=90°，又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE，∴△ABP∽△DPE∴，即∴(2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得∵，∵均吻合题意，故AP=1或4.总结升华：求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和线段作为三角形的边，利用相似三角形的知识解决.解决第(2)小问时要充分发掘运动变化过程中点的特别地址，再转变为详尽的数值，经过建立方程解决，表达了数形结合的思想.10．如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.设BP=，△PEF的面积为，求与的函数分析式和的取值范围；当P在BC边上什么地址时，值最大.解：(1)∵BC=2，BC边上的高AD=1∴△ABC的面积为1∵PF∥AC，∴△BFP∽△BAC∴，∴同理△CEP∽△CAB∴，∴∵PE∥AB，PF∥AC，∴四边形PFAE为平行四边形∴.(2)∴当时，即P点在BC边的中点时，值最大.总结升华：建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从以下几方面考虑：从面积公式下手；从相似三角形的性质下手；将面积的比转变为相似比的平方；从同底或等高低手，将面积比转变为底之比或高之比.