初中数学规律题题型与解题基本方法初三

初中数学规律题题型与解题方法（一）数列或数式的找规律一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为：a+（n-1）b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，（n-1）b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+（n-1）b。强调：均匀变化的数列规律可用待定系数法来求一次函数的解析式来求解。例：4、10、16、22、28、……，求第n位数。分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+（n-1）×6＝6n-2（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。举例说明：2、5、10、17、……，求第n位数。分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×（n-2）=2n-1，总增幅为：［3+（2n-1）］×（n-1）÷2＝（n+1）×（n-1）＝n2-1。所以，第n位数是2+n2-1=n2+1。此解法虽然较烦，却是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出。强调：增幅不均匀变化的数列规律可尝试用待定系数法来求二次函数的解析式来求解，一定要验证。（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，……。序列号：1，2，3，4，5，……。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3或2n、3n或2n、3n有关。例如：1，9，25，49，（），（），的第n为（2n-1）2（三）看例题：A：2、9、28、65、……，增幅是7、19、37、……，增幅的增幅是12、18， 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 与3有关，即：n3+1；B：2、4、8、16，……，增幅是2、4、8、……，答案与2的乘方有关，即：2n。（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例：4、16、36、64、？、144、196，…？（第一百个数是多少）同除以4后可得新数列：1、4、9、16，…，很显然是位置数的平方。（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。三、基本步骤：1、先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。2、如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律；3、如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律；4、最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题四、【典型例题】例1、观察下列算式：……用你所发现的规律写出的末位数字是__________。例2、观察下列式子：；；；；……请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来__________。五、【过关练习】1、观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。①5，9，13，17，，。②4，5，7，11，19，，。③10，20，21，42，43，，，174，175。④60，63，68，75，，。⑤45，1，43，3，41，5，，，37，9。⑥4，9，19，34，54，，，144。⑦6，1，8，3，10，5，12，7，，。⑧0，1，1，2，3，5，，。⑨180，155，131，108，，。⑩5，15，45，135，，。2、你能很快算出吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成10?+5，即求的值（为自然数），你试分析这些简单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出结论（在下面空格内填上你的控索结果）。（1）通过计算，控索规律：可写成；可写成可写成；可写成；……可写成；可写成（2）从第（1）的结果，归纳、推测得：（3）根据上面的归纳、推测，请算出：3、观察下列几个算式，找出规律：1＋2＋1=4；1＋2＋3＋2＋1=9；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16；1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25；……利用上面规律，请你迅速算出：①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1=。②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋的计算公式吗？4、给出下列算式：，，，，…，观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律是。5、研究下列算式，你会发现有什么规律？；；；……请将你找出的规律用公式表示出来：。6、如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写：所表示的数：。所表示的数：。7、已知下列等式：①13＝12；②13＋23＝32；③13＋23＋33＝62；④13＋23＋33＋43＝102；……由此规律知，第⑤个等式是．第n个等式是．8、将1，，，，，，……，按一定规律排成右表：试找出-在第行第个数9、观察等式：①，②，③，…按照这种规律写出第n个等式：．10、将1至1001个数如下图的格式排列。用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于（1）1986；（2）2529；（3）1989是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。11、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是。02842462246844m612、观察下列各式：，，，…，根据观察计算：＝．（n为正整数）13、阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b=n，可以使：（a+c）⊕b=n+c，a⊕（b+c）=n－2c，如果1⊕1=2，那么2010⊕2010=．14、下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是。15、一组按规律排列的数：，，，，，……请你推断第9个数是．16、观察下列各式；①、1+1=1×2；②、2+2=2×3；③、3+3=3×4；……请把你猜想到的规律用自然数n表示出来。17、观察下面的几个算式：①、1+2+1=4；②、1+2+3+2+1=9；③、1+2+3+4+3+2+1=16；……根据你所发现的规律，请你直接写出第n个式子18、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2017个数是。19、有一列数：，……，第9个数是。20、计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997．（二）图形找规律★“图形找规律”的一般步骤：①?寻找数量关系；②用代数式表示规律；③验证规律。例1、用火柴棒按下图的方式搭三角形?????⑴填写右表：??⑵照这样的规律搭建下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？★练习：1、四棱柱有几个顶点、几条棱、几个面？五棱柱呢？十棱柱呢？n棱柱呢？2、问题1、若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有几种拼法？问题2、若按右图方式摆放桌子和椅子：⑴一张桌子可坐6人，2张桌子可坐??????人。⑵按照上图方式继续排列桌子，完成下表：问题3、如果按图3的方式将桌子拼在一起：⑴2张桌子拼在一起可坐多少人？3张呢？n张呢？⑵教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐人。⑶在⑵中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐人。?3、探索图表的规律：下面是2000年八月份的日历：?⑴日历中的绿色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？⑵这个关系对其它这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？⑶这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？⑷你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示。⑸你还能提出那些问题？CAFDEBG4、如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．5、图3-4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3-4②；再分别连结图3-4②中间的小三角形三边的中点，得到图3-4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。①③②……（1）将下表填写完整 图形编号 1 2 3 4 5 … 三角形个数 1 5 9 …（2）在第n个图形中有____________________个三角形（用含n的式子表示）。例2、如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算：。练习：1、把棱长为的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个，……，按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是。1122、观察下列图形并填表。 个数 1 2 3 4 5 6 … 周长 5 8 11 14 … 3、用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案：（1）第4个图案中有白色地面砖块；（2）第个图案中有白色地面砖块。第三个第二个第一个 ……4、下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有个棋子，每个图案棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与之间的关系可以用式子来表示。5、如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子。…第5题图6、如图，，第6题过上到点的距离分别为1、3、5、7、……的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1、S2、S3、S4、……则第一个黑色梯形的面积；观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积．7、搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管．8、十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：正十二面体正八面体长方体四面体（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 7 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______________。（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________。（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值。9、直线上有2010个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点。10、观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……，从第1个球起到第2005个球止，共有实心球个．11、有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是。ABCP0P1P2P3第14题图12、如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．第13题……13、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2017个小正方形，则需要操作的次数是次。14、电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=AC=BC=6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2016与点P2017之间的距离为_________．15、一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为。1条2条3条16、如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴根. ……n=3n=4n=5（第18题）……17、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第个图形中，互不重叠的三角形共有个（用含的代数式表示）。18、已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示）．（1）当n=5时，共向外作出了个小等边三角形。（2）当n=k时，共向外作出了个小等边三角形（用含k的式子表示）．19、观察图形，并完成下列表格： 序号 1 2 3 … n 图形 … （此空不填） 的个数 8 24 … 的个数 1 4 … 20、如图用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：（1）第4个图案中有白色地面砖__________块；（2）第n个图案中有白色地面砖__________块．21、观察下面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有________个正方形。22、右上图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了块石子．23、如图，都是由若干盆花组成的形如三角形的图案，则组成第个图案所需花盆的总数是____________．*******************24、下面由火柴棒拼出的一列图形中，第个图形由个正方形组成，通过观察可以发现：（1）第4个图形中火柴棒的根数是；（2）第个图形中火柴棒的根数是；25、将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到条折痕．如果对折n次，可以得到条折痕．26、按如下规律摆放三角形：则第（4）堆三角形的个数为_____________；第（n）堆三角形的个数为________________.27、下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依次规律，第5个图案中白色正方形的个数为；第n个图案中白色正方形的个数为____________________。…第1个第2个第3个28、、用同样大小正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，第n个图案中正方形的个数是……n=3n=2n=129、用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片张；（2）第n个图案中有白色纸片张.30、观察如下图的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：…………①1=12；②1+3=22；③1+3+5=32；④；⑤；（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。31、如果依次用分别表示图（1）、（2）、（3）、（4）中三角形的个数，那么；如果按照，上述规律继续画图，那么与之间是：，又。32、观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（）……第1个第2个第3个A、；B、；C、 ；D、33、古希腊着名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”．从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（）4=1+39=3+616=6+10图7…A、13=3+10； B、25=9+16；C．36=15+21；D、49=18+3135、在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是　　．36、把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2017，2018，2019，2020这四个数中______________可能是剪出的纸片数.37、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有个小圆．第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形…38、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含的代数式表示）．（1）（2）（3）39、下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为．（1）（2）（3）…………40、王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n个“中”字形图案需根火柴棒.41、如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是．42、观察：，，，，…，根据你发现的规律，第7个单项式为；第个单项式为。43、观察下列一组数：，，，，……，它们是按一定规律排列的．那么这一组数的第k个数是．44、一组按一定规律排列的式子：-，，-，，…，（a≠0）则第n个式子是_（n为正整数）．45、有一列数…，那么第7个数是，第n个数是．46、正整数按图8的规律排列．请写出第20行，第21列的数字．（第47题）输入+3输出为偶数为奇数第一行第二行第三行第四行第五行第一列第二列第三列第四列第五列1251017…4361118…9871219…1615141320…2524232221………图847、如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……，第2017次输出的结果为___________．48、若，，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．49、计算并观察下列每组算式：，，；（2）已知25×25=625，那么24×26=；（3）从以上的过程中，你发现了什么规律？你能用语言叙述这个规律吗？请用代数式把这个规律表示出来.50、先观察图形，阅读相关文字后，再回答问题。两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有6个交点；……问题：10条直线相交，最多有几个交点？n条直线最多有几个交点？图3.1.151、用同样规格的黑、白两色的正方形方块铺成如图3.1.1图，用n的代数式表示出第n幅图中黑色正方形块数有，白色正方形块数有。52、请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：　　　　　。53、如图1，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积。然后分别取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积。用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（　）A、；B、；C、；D、54、观察下列各式：，…请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来　　　　　。55、图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为__________。56、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出　　个“树枝”．第（n）个图一共有个树枝。57、如图3是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_______________。58、一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是___________．59、学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律。如图，在同一时刻，身高为的小明（AB）的影子BC的长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m。（1）请你在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；　　（2）路灯灯泡的垂直高度GH＝　　　；（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下路程的到B2处时，求影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的到B3处时……，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到Bｎ处时，其影子BｎCｎ的长　　　　　m。（直接用n的代数式表示）60、如图5，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…。（1）“17”在射线　　　　　上；（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律；（3）“2018”在哪条射线上？