中考数学一轮复习课件第4章三角形第16课《三角形的基础知识》（含答案）

第四章三角形第16课　三角形的基础知识1.三角形的边、角关系：(1)三角形任意两边的和__________第三边，三角形任意两边的差__________第三边；(2)三角形三个内角的和等于________°.直角三角形的两个锐角__________．(3)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的__________．一、考点知识2.等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角__________(简写成“__________”)．(2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高__________，简称__________．(3)是轴对称图形，有__________条对称轴(腰与底边不等的等腰三角形)．大于小于180互余和相等等边对等角互相重合三线合一一3．等腰三角形的判定：有_____边相等的三角形是等腰三角形．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也__________(简写成“__________”)．4．等边三角形的性质：(1)等边三角形的三条边都________．三个内角都______，并且每一个内角都等于__________°.(2)是轴对称图形，有__________条对称轴．(3)等边三角形的中线、角平分线、高各有__________条．5．等边三角形的判定：三边都__________的三角形是等边三角形．三个角都__________的三角形是等边三角形；有一个角是60°的__________是等边三角形．两相等等角对等边相等相等相等相等相等相等相等等腰三角形【例1】如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝AC，CD平分∠ACB.求∠ADC的度数．【考点1】等边对等角，三角形的内角与外角二、例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 与变式解：∵在△ABC中，∠A=70°，AB=AC，∴∠B=∠ACB==55°.又∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠ACD=27.5°.∵∠ADC为△BCD的外角，∴∠ADC=∠B+∠DCB=82.5°【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，求∠ABD的度数．解：∵在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，∴∠ABC=∠C==70°.又∵BD=BC，∴∠BDC=∠C=70°.∵∠BDC为△BAD的外角,∴∠ABD=∠BDC－∠A=30°.【考点2】等边三角形的性质【例2】如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，过顶点B作直线BF∥DE，边BC与BF所夹锐角∠CBF＝20°，求∠α的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠A=60°.∴∠DBF=60°+20°=80°.∵BF∥DE，∴∠ADE=∠DBF=80°.在△ADE中，∠AED=180°－80°－60°=40°，∴∠α=∠AED=40°.【变式2】如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°.∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°.∴∠F=90°－∠EDC=30°.（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2.∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4.【考点3】等腰三角形三线合一【例3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D为BC边的中点，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF.求AE＋AF的值．解：连接AD，∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC.∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°.∴∠BAD＝45°，∠CAD＝45°.∴AD＝BD＝CD.∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠ADF＝90°，又由AD⊥BC,得∠BDE＋∠ADE＝90°.∴∠BDE＝∠ADF.在△BDE和△ADF中，∠B＝∠DAF＝45°，BD＝AD，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF.∴BE＝AF.∴AE＋AF＝AE＋BE＝AB＝4.【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M是AB上一点．求证：AM2＋BM2＝2CM2.解：过C作CD⊥AB于点D，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝45°，∠ACD＝∠BCD＝45°.∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD.∴AD＝BD，BD＝CD.即AD＝BD＝CD.∵CD⊥AB，∴DM2+CD2=CM2.∴在Rt△CMD中，AM2+BM2=(AD-DM)2+(BD+DM)2=2(DM2+CD2)=2CM2.A组1.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果底边是4cm时，那么腰是________cm；(2)如果腰是8cm时，那么底边是________cm；(3)如果一边的长为7cm时，那么另外两边的长分别是__________________________．三、过关训练3．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(　　)A．2个B．3个C．4个D．5个2．有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则能组成三角形的个数最多有(　　)A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个DC7cm，4cm或5.5cm，5.5cm274．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点．求∠BDC的度数．解：∵D点是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠CBD=∠ABC,∠BCD=∠ACB.∵∠ABC+∠ACB=180°－40°=140°，∴∠DBC+∠DCB=70°.∴∠BDC=180°－70°=110°.5．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°.求∠A的度数．解：∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACD=2∠ACE=120°.∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=35°，∴∠A=∠ACD－∠B=85°.B组6．如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，求∠AED的度数．解：延长DE交AB于点F，∵AB∥CD∴∠C+∠B=180°∵∠C＝120°，∴∠B=60°．∵BC∥DE，∴∠AFD=∠B=60°.∴∠AED=∠A+∠AFD=80°.7.如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，OB＝OC.求证：AO⊥BC.解：延长AO交BC于点D，∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO.∴∠BAO＝∠CAO，即∠BAD＝∠CAD.∴AD⊥BC，即AO⊥BC.8．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点．过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F.(1)求证：EO＝FO；(2)若CE＝4，CF＝3，求EF的长．解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2.∵MN∥BC，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴OE=OC.同理可得OF=OC.∴OE=OF.（2）CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠1=∠2，∠4=∠5.∴∠2+∠4=90°.∴∠ECF=∠2+∠4=90°.在Rt△ECF中，由勾股定理,得EF=.C组9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其右侧作等边三角形APQ.当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B.(1)求点B的坐标；(2)求证：当点P在x轴上运动(P不与O重合)时，∠ABQ为定值．解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C，∵A（0，2），△AOB为等边三角形，∴AB=OB=OA=2，∠BAO=60°.∴BC=，OC=AC=1，即B（，1）.（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，∵∠PAQ=∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB，在△APO和△AQB中，AP＝AQ,∠PAO＝∠QAB,AO＝AB，∴△APO≌△AQB（SAS）.∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立.∴当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90°.