Taylor公式的应用--王斌;

电州大学学报 综合版 年第 期 “ 公式的应用 王 斌 摘 要 方 面的应用 关锐词 本文通过例子说明 了 公式在证 明等式和 不 等式以及求机限等 公式 子式和 不子式 极限 高阶导数 若函数 在含有 。 的某个 区间 内具有直到 十 阶的导数 , 当 任 时 , 有 公 式 ‘ 。 一 。 其中 为余项 ”〔 ‘ 二矛 ‘ 一 。 乙 二 , 乙 二 蛋些 粤 一 。 · 。 ’ 任 一 。 ‘ ” , 右介于 。 与 之间 , 这时 。 称为拉格朗 日型余项 。 。 〔 一 。 “ 〕称为皮亚诺型余项 这个公式建立了函数与高阶导数之间的关系 , 是应用高阶导数的局部性研究函数在区间 上整体性态的重要工具 , 所以在涉及到既有函数又有它的高阶导数的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 , 都可试用 拓 公式解决 。 公式的应用很广泛 , 在应用时要注意条件“ 必须在区间 内具有 阶导数 ” , 这时 才能写成 阶 展开式 。 现列举两方面的典型应用 。 。证明等式和不等式 证明等式和不等式是 比较复杂的 , 但若已知条件中有高阶导数时 , 我们将考虑用 公式来证明 。 例 , 设区间 , , 任给 任 , 有 即 工 , 任给 任 时 , 有 二 一 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 本题中有条件 代 》一 , 说明 具有二阶导数 , 所以可用 的一阶 公式证 之 。 证 在区间 上任取一点 。任 , 已知在区间 上存在二阶导数 , 根据 公式 , 任给 〔 , 在 。 的一阶 公式为 ‘ 份‘ , 、 、 。 , ‘ 一 。 一 、 、“ ’ 。 , ”‘·。 ,‘一。 , 前“ 一 。 ’““ , 士 勺 。 乙 ’月 ’ 已知 。, , 即任给 任 , 有 厂, 、 、 。 ‘ , 。 , , 、 ‘· , 一“·。 , “ ·。 ,‘一 , 前 一 。 ’“ 行夕 士 勺 “ 乙 ’ ’ 已知 伐 二 , 即任给 任 , 有 。二 二 。 ‘ 。 一 一。 一 ‘ 二 。 。 一 ‘ ·。》 令 , 。 , , 二。 一 ‘ 。二。 一 有 二 例 , 若 气 在〔 , 〕上存在 , 则存在 任 , , 使得 ‘ 一‘一 一 ‘, 攀 矗 一 , ‘一 。 》成立 。 证明 作辅助函数 。二 , 一 一 〔。 》一 一 , 〔、厂一矗 只要以 、卜 。 , 即刻就可定出 由 。、 知存在 一 ’其中 是使 。 的常数 , 母 行 , 使 ‘ 、。 而 , 。 ‘ 。 一 ‘ 。夸 一 〔一 , , 。宁 , , 下万 一 二丁 又牛一乙 匕 又 仁· , 〕存在 , 所以 二 具有二阶导数 , 声 二 可以写成二阶 , 公式 , 这里把 。在夸附 近按 公式展开 则必存在某个 。 警 · 。 , 使 产 。 、 , 是 。 是一 。、 一干, ￡ 。 半 即 , 妥 ‘ 、飞了宁 飞一 尹 ‘ 甲『 ’ ‘ 、飞犷 定一 气 、 , 一 、 , 一万二一 十 ‘ 二下 一育一 “ 乙 乙 乙 再将此式代入 劫的表达式中得 ‘ 专 旅 一 “ ‘ 一 月 万 咭一 ‘ 石 又 ‘ 一 所以 一 肺 故有 ‘ 一 二 》一 、·、一 一 ‘ 宁 》一 且 一 当 一 时有 一 “众一 月任 屏一曰 , , , 气尸 、 ‘ 二、 一 。。 一 一 ’ 吐鱼、一 一二一 一乙、 。 、 , 气。 、 , ,即 气、、一 、十 一 共卜竺 十气井三 一一 ’ 一 ‘ , · 、 一 , 利用 公式不但可以证明等式 , 而且还可以证明不等式 。 例 若函数 二 在 〔。, 〕上二次可微 , 且 。、一 , , · 、 簇 , 证明 , , 、二 , 镇瞥于区间〔。一 一一 ’ , 一 “ 一 “ 一一 , 一 ‘ 护 ‘ 一 一 、 , 一 、上声 一 ’ 一 、‘ , ’ 、一 ’一 ’ 一 月 ’一 、别 ’ 刁 ’一、 ‘ 〕上成立 。 分析 本题给出了二阶导数有界 , 所以考虑用 公式证之 。 证 设 。任 〔 , 〕, 应用 公式 , 将 》在 。 处展开 。 。 , , “ · , “ ·。 , 十“ ·。 ,‘ 一。 , 一云 ”‘, , 一。 , 登介于 与 。 之间 月奋一 分别取 一 有 。 一 。厂 , 。 。 之 。 一 、, , 一 二 。。 ‘ ·。川 一 二 。 两式相减得 夸川 一 笼 。 。 之 土 , , , 。 , , “ ·。 , 万“ , , , ·。 , 十百“ ‘, ‘ , 一。 因 即 二 。 簇 · 所以 , 。 ,、答一 瞥一 。 一瞥 ·。 一。 〕一瞥 ·。 一 。 又 由 。任 〔 , 〕知 。 一 。 簇 一 。 一 , , ,于是有 ‘〔 毛岑 ” ’“ 一 ““产 ’ 由 。 的任意性知 , 故对 任 , 〕, ‘ 》 成立 。 例 , 设 、在〔 , 二次可导 , 且 ‘ 。 , ‘》一 。, 则存在 任仁 , 〕, 使得 ‘ 。。、 李 响二 一 “ 、一 、 ,“ 弓 , ’一 一 ” ’“ , 分析 本题已知条件为 》在〔 , 叼二次可导 , 所以考虑用一阶 公式证之 。 证明 , 函数 在 , 点的一阶 公式分别为 , ‘, 、 》十 ‘ 一 》 二子 一 乙 〔, 介于 与 之间 ‘ 十 , 》 、 一 、 二二 一 代 介于 与 之间白 孟 、沪尸‘、 几口吞二 取 , 及 已知条件 几 一 上边两式变为 , , 。 , 一 、 。 , 碑攀 刃丁 吸一不甲 ‘ 坟 竺华 “ “ 。, 一 、 · , ‘“ , 十前卜万一 ’ ‘ 式中 介于 · 与宁之间 , 。介于宁与 之间 。 两式相减得 ‘、 一 一 ‘互子竺〔一、一 一 〕一 。 即 ‘ 一 一‘气空 · 。 一 一 、二互亏丝 一 卜 · 。 取 即 。, 即‘。 , 即 。, , , 且 任任 , 所以有 、‘ 一 一 、怜竺 · 即 ,‘一 ,李万击砰 ‘ ‘ 一‘一 ,“任‘一 , 注 本题可以不用 公式证明 , 但比较复杂 。 求权限 求极限的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 比较多 , 也比较繁杂 , 但有些间题利用 公式就比较简明 。 例 求委姗 一 一。 声丫 分析 本题是“ 式求解 。 一 ”型未定式 , 可以利用罗比塔法则求极限 , 但 比较复杂 , 现利用 公 解 由 一 合 。‘ , ·‘ ·一六一 。‘ , 得 ‘ ,一 告 ‘ , 一 告 。‘ , ·‘ ‘·‘ ,一‘ 一六 ·‘ ·‘ , 一‘ 一告 ·‘ , 从而有 一‘ ·‘ 一 一‘ 十合 十音 ·‘ ‘ , 又当 一“ 时 , 一‘ 一 ‘一。一 ,一音 故 毛立 一 一‘ 专 告 ·‘ ‘ 一 砂 一 工 、 李 只 又 “ 一 一 一 一 生 生 。 ‘ 、 , 卜丫 扩 —十 、召绪扩 一下 一一 寸 为已毖扩 —, , ,一二一 “ 一二, 一 飞丁艺 艺 乙二 于 十于一 ’ ‘ 一 例 求协 一 一誓 毛 分析 求解 。 一 李 不翅足 一 齐、少 ”型未定式的极限 , 可以应用罗 比塔法则求解 , 这里我们用 公式来 解 由一 一兴若 。 一 一 一 上 寸 门 十 只万 ‘十 “ 乙 里 ‘ , ‘ 、 , , , ‘ 、 。 、 土一 不 , 十 又丁 一 不丁 “ 十 一 一二 “ 乙 乙 三 乙 乙 护一︸ 一 二二 十东一卜 又 , ,乙 于是 , 。 一 一誓 一誓轰 。 一 一 一誓省 。 一 一鑫 心 。 一 一 ﹄一夕︸一 心一日名一‘ 一月一︺八 所以 阳 刀 — 一 二下 , 一卜 气 ’乙 福 丫二扩一 一一二石二万 一 一 一 三 习什入 ’ 十咖澳其一八 例 求去呱 报了干刃一 夕反矿二刃 分析 本题是 “ 一 、 ”型未定式的极限 , 且是两个开六方根函数的差 , 用通分或有理化的 方法都是 比较复杂的 , 所以这里我们用 公式求之 。 解 、互职。 别又店干反万一 石下二反万 一 二、 涯 一 漂由 的 展开式得 粤一 粤一 , , 、 ’ 刃十 气刃 一 , 气气丁 一勺 一 十 , 气万 萝 十 一尹一 , 、 月 下二 一 二二 下 州卜万二育万下 十 又入 乙 一 乙分 一 一 月 下丁 七 、 气一 一 夕十 , 气 育 一勺 、 , , 、一 一 少‘ 十 , 、 , 气二丁 一 夕气二 一 乙少心 一 一 生 , 一一一一一一撅撅 ‘扣一卜矗一条一死居孰万 。 夕 所 以 撅 一 撅 一 〔十矗 · 六一条 儡 。 扣一 舒条 儡十 。 夕〕一争湍 一‘劳 则 , 占呱 李矛干反万一 夕矛二反亏 一 二、 撅 一 撅一“呱〔告晶 一 赤, 〕 一韶愚 · ‘呱赤再物 含 。 赤, 一告 通过以上例题可知 , 公式有着较广泛的应用 , 正确的应用 公式使我们的证 明和计算题变得简明快捷 。 参考文献 中央广播电视大学杂志编辑部 数学 吉林人民出版社 蔡瑞清等 高等数学竞赛指南 北京理工大学 出版社 张仁他等 高等数学复习与题解 化学工业出版社出版 堑江诚夫等编 徽积分学讲解 四 川人民出版社出版