null第七节 二重积分第七节 二重积分特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.1.曲顶柱体的体积一、二重积分的概念和性质柱体体积=底面积 × 高null播放求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．null步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似
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示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积分割求和极限2.二重积分的定义2.二重积分的定义null积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素即null 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为则面积元素为3.二重积分的性质3.二重积分的性质下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D的面积. 性质2 线性性质 这里A为D的面积. 性质1null性质4性质3 区域可加性 推论1推论2null性质5 估值性质 证所以于是null性质6(二重积分的中值定理) 证由性质5知, 即得证. 二、二重积分的计算如果积分区域为D ：1.在直角坐标系下计算二重积分二、二重积分的计算X-型区域null应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,null积分区域为：一般地，—— 先对 y 积分，后对 x 积分的累次积分记为null如果积分区域为：—— 先对 x 积分，后对 y 积分的累次积分Y-型区域null解法1先画出积分区域 D，将 D 向 y 轴投影，先 x 后 y ,例1null解法2先 y 后 x, 将 D 向 x 轴投影,null解 先画出积分区域 D ，先 y 后 x,将 D 向 x 轴投影，例2null解例3先求两曲线的交点先对 y 积分， null解例4null解例5先 x 后 y ,两曲线的交点null解例5两曲线的交点选择积分次序的原则： 若选择先 y 后 x ,(1)积分容易； (2)尽量少分块或不分块. 麻烦.null解例6null 例7解积分区域为将 D 向 y 轴投影, 改写为null解设则例8交换下面积分的次序:null设将 D 向 y 轴投影,null例9交换下面积分的次序:利用对称性简化二重积分的计算利用对称性简化二重积分的计算设积分区域D关于y 轴对称，(1) 若f(x,y)关于 x 是奇函数，则有(2) 若f(x,y)关于x 是偶函数，则有null设积分区域D关于x 轴对称，(1) 若f(x,y)关于 y 是奇函数，则有(2) 若f(x,y)关于x 是偶函数，则有注意：不仅要考虑区域的对称性，还要考虑函数的奇偶性.利用对称性简化二重积分的计算null例10 设有平面区域解null解选(A).null例11 求二重积分解区域D分别对称于x轴和y轴， 2.在极坐标系下计算二重积分2.在极坐标系下计算二重积分在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分： 1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时, D的 边界用极坐标表示较为简单； 直角坐标与极坐标的转换关系为： null所以面积元素为null二重积分化为极坐标下二次积分的公式区域特征如图null解例12在极坐标系下,null例13解区域D关于y 轴对称，用极坐标，nullnull例14解直接做麻烦, 化为极坐标,null例15解所以在极坐标系下, 圆方程为 直线方程为null解计算二重积分例16由区域的对称性和函数的奇偶性，可只考虑第一象限部分，null解法1例17null所以null解法2例17用直角坐标系，先对 x 积分，null所以null例18解练习：练习：P317 习题八
null求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．null求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．null求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．null求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．null求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．null求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．
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