34 数学通讯——2Oo9年第9期(上半月) ·复习参考 ·
活跃在高考中的函数零点的问题
李连方
(浙江湖州 中学 ，313000)
函数和方程 的理论是高 中新课标 教材
中新增的知识点 ，从几年高考的命题来看 ，它
已成为高考命题的一个新亮点．在高中阶段，
函数零点的问题可以和二次 函数 的根 的分
布、三次函数的图象或导数的极值等进行“交
汇”编制试题，所以其试题综合性较强，本文
就函数零点在高中数学中的求解
方法
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加以
探讨．
1．利用函数图象
例 1 设定义域为 R的函数
)=j F ≠2
}1 (z一2)，
若关于z的方程f。(z)+af(x)+b—p有三
个不 同的实根 1，z2， 。，求 z + 37；+ z；
的值．
分析
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设 t一，( )，则原方程可化为 t
+at+b一0，由于原方程有三个不同的根，则
函数 y=t和函数Y一 _厂(z)的图象应该有三
个 交点，则由函数 Y—t的图象得t= 1，注意
到 ( )一 关于直线 z一 2对称 ，则
『工 厶 I
可得到三个根分别为z 一 1，z。一2， 。一3，
所 以 z}+z；+zj一 14．
O I
反思 在“数”中构“形”是数学问题求
解的重要方法 ，也是重要的思维方法．由零点
的概念可知 ，函数 一 厂( 丁)的零点 ㈢ 方程
，( )一0的根 臼 函数 Y一 ( )的图象与 z
轴的交点的横坐标．所以函数零点问题的求
解往往蕴涵着“数形结合”的数学思想方法，
在解决有关函数零点的个数问题时，可以借
助函数的图象的生动和直观性来寻找零点的
个数，通过“形”的几何特征发现“数”与“形”
之间新的关系，从而将代数问题转化为几何
问题．
例2 (2006年湖北卷)关于 的方程
(z 一1) 一} 一1}+k=0，给出下列四个
命题：
① 存在实数 k，使得方程恰有 2个不同
的实根；
② 存在实数 k，使得方程恰有 4个不同
的实根；
③ 存在实数k，使得方程恰有 5个不同
的实根；
④ 存在实数 k，使得方程恰有 8个不同
的实根．
其中真命题的序号是 ．
分析 据题意 ，可令
f z 一1 J—t(t≥0) ①
则方程化为
一 t+k一 0 ②
作出函数Y— f 。一1 I的图象，结合函
数的图象可知 ：
(1)当￡=0或t>1时，方程 ①有 2个
不等的根；
(2)当0
2c>2b，求证：
厶
函数 厂(z)在区间(O，2)内至少有一个零点．
· 分析 由 厂(1)一一 一得 口+b+ c=
‘
一
，化简得 3a-4--2c+ 2b一 0．
厶
由于 3口> 2c> 26，则必有 口> 0，厂(1)
< 0．
又 f(O)一 f，
f(2)= 4a+2b+c— a～c．
若 f≤0，由于a>0，则 (2)> 0，故有
厂(1)·厂(2)< 0，所 以函数 (z)在区间(1，
2)内至少有一个零点；
若c>0，则 厂(O)>0，故 (0)· (1)<
o，所以函数 厂(z)在区间(O，1)内至少有一
个零点． ．
因此 函数 厂( )在 区间(0，2)内至少有
一 个零点．
反思 在“形”中觅“数”，用数来研究
形，体现数学的严谨性和科学性．教材中给出
了连续函数的零点存在性定理：如果函数 Y
=_厂(z)在区间[n，6]上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有 ，(口) r(6)< 0，那么函
数 Y=厂(z)在区间(n，6)内有零点．教材虽
然没有给出连续函数的定义，但以通俗易懂
的图象语言表述了该定理，降低了定理的抽
象程度，是“以数助形”的典范．
例 4 (2OO6年福建文)已知二次函数
厂( )=2x。一lOx，是否存在自然数m，使得
方程 ，(z)+ ：0在区间( ，m+1)内有
工
且只有两个不等的实数根?若存在，求出所有
m的值；若不存在，说明理由．
分析 由方程 厂(z)十 一 0得 2x 一
lOx +37—0，令 g(z)=2 一lOx。+37，
得其导函数g ( )一 6x 一20x一2x(3x一
1o)，所以当z∈ (一。。，o)U( ，+。。)时，
g ( )> 0，即g(z)在(一Cx。，0)和( ，+cx。)
上递增；当 ∈ (o， )时，g (z)< 0，即
g(z)在(o， )上 减．而g(竽)==：一 1<
0， 的两相邻整数对应的函数值 g(3)一 1
> 0，g(4)：5> 0，由零点存在定理和函数
的单调性可知 ，函数 g( )在(3， )和( ，
4)内各有一个根．
因此所求m 一 3．
3．利用极值与单调性
例 5 (2OO6年福建理)已知函数 厂(z)
一 一 。+8x，g(z)：61nx+ ．问：是否存在
实数m，使得Y一厂(王)的图象与Y—g(．r)的
图象有且只有三个不同的交点?若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由．
分析 函数 Y一 ，(z)的图象与 Y—
g(驯 的图象有且只有三个不同的交点，即方
程 h(z)一 g(z)一 厂(z)一 0有且只有三个
根，则函数 (^z)的图象与 轴的正半轴有且
只有三个不同的交点．
，由h( )= z 一8x+61nx+m(z> O)，
得 ，^( )一2x--8+旦 ：
，
当 z∈ (0，1)U (3，+。。)时 ，h ( )> 0，故
h(z)在(O，1)和(3，+。。)上是增函数；当
∈ (1，3)时，h ( )<0，^( )是减函数．所以
(^ )极大值= h(1)= 一 7，h(z)极小值= h(3)
一 + 61n3— 15．
又因为当z充分接近0时，h( )<0，当
z充分大时，^( )>0．所以要使h(z)的图象
与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只
须 h( )极大值一m一7> 0且h(z)握小值= +
61n3— 15< 0，得 7< < 15— 61n3．
所以，存在实数 t，使得函数 Y一 厂(z)
36 数学通讯一-- 2009年第9期(上半月) ·复习参考 ·
与 ．)，一 g( )的图象有且只有三个不 同的交
点， 的取值范围为(7，15—61n3)．
反思 以形研究数 ，用数研究形 ，相互
结合 ，互为补充，能使问题变得直观、简洁，思
路清晰．但由于众多的函数的图象非常复杂 ，
很难精确地画出其图象，此时必须借助“导
数”这一有力的工具，求出函数的单调性、极
值、最值等，勾画出函数的示意图，正所谓：
“数与形，本是相倚依 ，焉能分作两边飞．
数缺形时少直觉，形少数时难入微”．
例6 已知函数 _厂( )一盯。+ 一3x
在z一±1处取得极值，若过点 P(1， )(m
≠一2)可作函数 Y一 _厂( )的图象的三条切
线，求实数m的取值范围．
分析 易得 ( )一 一3x，其导函数
为f (z)一3x。～3，设其切点坐标为( 。，z；
一 3x。)，得 切线方程 为 一 (zj一 3x。)一
(3x：一3)(z—z。)，将点P(1， )代人得 一
(z：一 3x。)一 (3xj一 3)(1一z。)，化简得
方程
m 一 一2x +3x 一3 ①
则由题意知，方程 ① 有三个根，则可转
化为两函数y= 和Y—g( )一一2z +3z。
一 3的图象有三个不同的交点．
g ( )一一6x +6z一一6x(x～1)，所以
函数 g(z)在(O，1)递增 ，在(一o。，O)和(1，
十。。)递减，所以 g( )极小值一 g(O)一一3，
g( )极大值一 g(1)：一 2，又当 z充分小时 ，
g( )> o，当 z充分大时，g( )< o．所以要
使 y—g( )与Y一埘的图象有三个不同的
交点，必须且只须 一3< ”z<一2．
4．利用二次函数的表达形式
例 7 设二次函数 厂( )一 甜。+ +
c(a>o)，方程 ( )一 一0的两根 1， 2满
1
足0< l 0，．’厂(z)> z．
又厂(z)一 1===( — 1)[以( — 2)+
1
1]，而 0< z1<。 2< ，
所以，当 ∈ (0，X1)时， —z1< 0，
n( —z2)+1：aEx+(1--一z2)]>0，
故 厂( )一z1< 0，从而 厂(z)< z1．
所以有 < (z)< ．
反思 二次函数与方程是高考中永远
的主题，本题巧妙地将二次函数的表现形式
从一般式变为零点式(交点式)，从而顺利地
为作差比较法中的因式分解作 了铺垫．
5．利用参数分离法
例 8 (2oo7年广 东‘理)已知 a是实数，
函数 厂( )：2ax。+2x一3一口，如果函数Y
一 ，( )在区间[一1，1]上有零点，求a的取
值范围．
分析 当a：0时，不符合题意，所以a
≠o，又_厂( )在[一1，1]上有解等价于(2x。一
1)口一 3—2x在[一 1，1J上有解，即土 一
“
在[一1，1]上有解，问题转化为求函
数 一 在[一1，lJ上的值域．
设 t一 3—2x，z∈[一1，1]，则 t∈C1，
5]，y一告(t+÷)一3．
设g(￡)一￡+÷，则g (￡)一1一专，￡∈
[1，√7)时，g (￡)0，此时函数 g(￡)
单调递 增，又 g(1)： 1，g( )= 一 3，
g(5)一{，故Y∈ 一3，1]，所以 ∈
一 3，1]．
所以实数 a的取值范围是 ≥ 1或a≤
3
一T ‘
反思 参数分离法是解决参数取值范
围问题的重要手段，它将函数存在零点问题
合理地转化为函数的值域问题，从而顺利、简
洁地解决了问题．
(收稿 日期 ：2009—04—28)
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