null 第四章 线性方程组的理论 第四章 线性方程组的理论第三节 向量组的线性相关性本节要点：
掌握n维向量组的线性组合
掌握向量组线性相关、线性无关的定义
及判别定理null一、向量组的线性组合（线性表示） P90
1、概念引例：对同维数向量定义 : 由同维数的向量所构成的集合
称为向量组null再如null 定义1 对于给定的向量组
P90 若存在一组数 ，使得
则称向量 可由向量组 线性表示。
或向量 是向量组 的线性组合。null【例1】零向量是任意向量组的线性组合
因为：对任意向量组 都有即取k1= k2=…= km=0,则有P91null【例2】证明任一个n维向量 都可由n维向量组
线性表示。证明：所以，取k1=a1, k2=a2, …, kn=an,则有 P91null【例3】线性方程组 有解的充要条件是 可由 线性表示 null证明：使方程组null2、已知分量的向量组的线性组合判别法：若该方程组有解，可得一个线性方程组。若该方程组无解，null定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是P91null【例5】设问 能否由 线性表示。 解：设null由解得k1=1 k2=1 k3= -1null问 取何值时，
(1) 可由 线性表示，且表达式唯一
(2) 可由 线性表示，但表达式不唯一
(3) 不能由 线性表示解：设【例5】设有三维向量P116:4null即且，方程组有唯一解null原方程组有无穷多解。null原方程组无解。且null二、线性相关、线性无关 P92将齐次线性方程组Am×nX=O 写成向量形式 若方程组只有零解，若方程组有非零解，null1、概念nullnullnullnull【例7】证明：n维单位向量组 线性无关 因为P92null【例8】 证明：由一个向量 构成的向量组线性相
关的充要条件是证明：存在一组不全为零的数k，即k≠0，使P93null【例9】证明：由两个向量 构成的向量组
线性相关的充要条件是 成比例。
（即 或 ）P93例：
向量组线性相关向量组线性无关null2、已知向量组 的分量，判断
的线性关系重要题型nulla) 设存在一组数k1， k2，… ,km，使解该方程组,
若方程组有非零解，则线性相关;
若方程组仅有零解，则线性无关。null【例10】判断向量组 的线性关系解：设存在一组数k1， k2， k3，使即由有非零解即存在不全为零的数k1， k2， k3，使null证明：不妨设k1≠0,则有3、重要定理null 设向量组 中至少有一个向量可
由其余向量线性表示取k1=-1,则k1 ，k2，…， km不全为零，使null【例12】 设 是任一个n维向量，证明
向量组 线性相关证明：推论2.2 含有零向量的向量组必然线性相关。 null矩阵A的秩小于向量个数m则向量组 A线性相关的充要条件是P94null【例13】null【例14】nullP94null推论3.2n个n维向量线性无关的充要条件是P94null证明：【例15】设向量组【例15】设向量组解：05：数3null问k取何值时：
（1） 线性相关
（2） 线性无关【例16】设向量组三个三维向量解：则
当k=0或k=-3时：当k≠0且k≠-3时：null故由定理3，必线性相关。例：m＝4，n＝3，线性相关。nullP95证明：所以 R(A)=m因为向量组A线性无关,显然R(A) ≤R(B)所以 R(B)
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