2018_2019学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.3四种命题间的相互关系课件新人教A版选修2_1

第一章常用逻辑用语1.1　命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 及其关系1.1.3　四种命题间的相互关系*自主预习学案在商品大战中，广告成了一道美丽的风景线．几乎所有的广告商都熟悉这样的命题变换艺术：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．初听起来，是几句赞美语，然而它的实际效果可大哩！原来这句话，变成等价命题就是“不拥有的人们不幸福”．哪个家庭不希望幸福呢？掏钱买就是了．瞧！商家就通过这样巧妙的命题变换达到了目的．本节我们将学习命题的四种形式及其相互之间的关系．四种命题的真假关系(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是____________．(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性____________．逆否命题　没有关系　(3)一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：真　真　假　真　假　真　假　假　1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是 (　　)A．若q不正确，则p不正确 B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确 D．若p正确，则q正确[解析]　其等价命题为原命题的否命题，“若p正确，则q正确．”故选D．D　2．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 (　　)A．1　　　　 B．2　　　　C．3　　　　 D．4[解析]　易知原命题正确，则其逆否命题也正确，原命题的逆命题“若a>－6，则a>－3”不正确，其否命题也不正确，故选B．B　3．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是 (　　)A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[解析]　一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论都加以否定，并且加以互换位置，故选D．D　4．写出命题“若x∈A∪B，则x∈A或x∈B”的逆否命题为__________________________________.5．命题“已知不共线向量e1、e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为　已知不共线向量e1、e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0　，是______命题(填“真”或“假”).[解析]　互为逆否的命题为等价命题，同真同假．若x∉A且x∉B，　则x∉A∪B　真　互动探究学案命题方向1　⇨四种命题间的相互关系　　　　　下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是 (　　)A．0　　　　　　　　 B．1C．2 D．3典例1B　[思路分析]　①中命题的否命题为“若x＋y≠0，则x，y不互为相反数”，易知为真命题．②中，当a＝2，b＝－3时，a2<b2，则原命题为假命题，故它的逆否命题为假命题．③中命题的否命题为“若x>－3，则x2－x－6≤0”．当x＝4>－3时，x2－x－6＝16－4－6＝10>0，故它的否命题为假命题．④中命题的逆命题为“若两个角相等，则这两个角为对顶角”．易知为假命题．『规律总结』　1.命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的；2．研究命题及其关系时，首先要将命题写成“若p，则q”形式，再依据相关概念作出判断．〔跟踪练习1〕设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是 (　　)A．原命题为真，逆命题为假 B．原命题为假，逆命题为真C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题[解析]　因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3，故选A．A　命题方向2　⇨原命题与逆否命题的等价应用　　　　　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a<2”的逆否命题的真假.[思路分析]　判断这个命题的逆否命题的真假，可先写出它的逆否命题再判断，也可以利用互为逆否命题的等价性来判断．典例2[ 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 解答]　解法一：原命题的逆否命题为：“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，∵a≥2，∴4a－7>0，即抛物线与x轴有交点．∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．命题的结论中涉及至少、至多、存在等词语的证明时，往往可以考虑反证法．反证法是从否定结论开始，把否定的结论作为条件，连同原有的条件进行逻辑推理，直到推出矛盾，从而肯定原命题的结论，达到证明目的．反证法证明命题的真假　　　　　用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.[思路分析]　依题意写出已知、求证，再用反证法，即否定结论，把假设和已知条件结合起来，推出矛盾．典例3　　　　　命题“若a，b都是奇数，则a＋b是偶数”的否命题是 (　　)A．若a，b都不是奇数，则a＋b是偶数　　　　　　　　B．若a，b都是奇数，则a＋b不是偶数C．若a，b都不是奇数，则a＋b不是偶数 D．若a，b不都是奇数，则a＋b不是偶数[错解1]　B典例4[辨析]　在写一个命题的否命题时，只对结论否定是不正确的．应该对条件和结论同时否定，即“若p，则q”的否命题为“若¬p，则¬q”．[错解2]　C[辨析]　“都是”的否定错误，a，b是否为奇数，包含四种情况，从而“都是”的否定应为“不都是”．[正解]　D1．与命题“若x∉A∩B，则x∉A∪B”等价的命题是 (　　)A．若x∈A∩B，则x∈A∪B B．若x∈A∩B，则x∉A∪BC．若x∉A∩B，则x∈A∪B D．若x∈A∪B，则x∈A∩B[解析]　互为逆否的两个命题为等价命题．D　2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是 (　　)A．互为逆命题　　　　　 B．互为否命题C．互为逆否命题 D．以上都不正确[思路分析]　研究命题之间的关系，将命题写成“若p则q”形式，然后依据四种命题的定义解答．[解析]　设p为“若A，则B”，那么q为“若¬A，则¬B”，r为“若¬B，则¬A”．由于q和r的条件和结论互换，故q和r互为逆命题．A　3．下列说法正确的是 (　　)A．命题“若x2＝4，则x＝2”的否命题是真命题B．命题“若a＋是有理数，则a是无理数”的逆命题是真命题C．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”为假命题D．命题“若x＝y，则tanx＝tany”的逆否命题是假命题[解析]　命题“若x2＝4，则x＝2”的否命题是“若x2≠4，则x≠2”是真命题．A　4．(2017·济南二中测试)原命题“圆的内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是 (　　)A．原命题是真命题 B．逆命题是假命题C．否命题是真命题 D．逆否命题是真命题[解析]　原命题是假命题，所以逆否命题是假命题，逆命题“等腰梯形是圆的内接四边形”是真命题，所以否命题是真命题．故选C．C　5．下列说法__________(填“正确”或“不正确”).x2≠y2⇔x≠y或x≠－y．[解析]　“x2≠y2⇔x≠y或x≠－y”的逆否命题：“x＝y且x＝－y⇔x2＝y2，可以看出，x＝y且x＝－y⇒x2＝y2，但x2＝y2推不出x＝y且x＝－y，所以其逆否命题不正确．故原命题不正确，即x2≠y2⇔x≠y或x≠－y不正确．故填不正确．不正确　*