第八节 在直角坐标系下二重积分的计算
本节和下一节，我们要讨论二重积分的计算方法，其基本思想是将二重积分化为两次定积分来计算，转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分. 本节先在直角坐标系下讨论二重积分的计算.
内容分布图示
l 利用直角坐标系计算二重积分
★ 关于积分限的确定 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6 ★ 例7
★ 交换二重积分次序的步骤
★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10
★ 例 11 ★ 例 12 ★ 例13
★ 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 ★ 例 14
★ 例 15 ★ 例 16 ★ 例 17
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题6-8 ★ 返回
内容提要：
一、区域分类
型区域：
. 其中函数
在区间
上连续. 这种区域的特点是：穿过区域且平行于y轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点.
型区域：
. 其中函数
在区间
上连续. 这种区域的特点是：穿过区域且平行于
轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点.
二、 二重积分的计算
假定积分区域
为如下
型区域:
.
则有
(8.2)
类似地，如果积分区域
为
型区域：
.
则有
(8.3)
特别地，当区域
为矩形区域
时，有
三、交换二次积分次序的步骤
一般地，交换给定二次积分的积分次序的步骤为：
（1） 对于给定的二重积分
先根据其积分限
画出积分区域D（图6-8-14）
（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限
（3） 写出结果
四、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算
利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重积分的计算. 在例5中我们就应用了对称性来解决所给的问题. 如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数
的奇偶性和积分区域D的对称性两方面. 为应用方便，我们总结如下：
1. 如果积分区域D关于y轴对称，则
(1) 当
时，有
.
(2) 当
时，有
其中
2．如果积分区域D关于x轴对称，则
(1) 当
时，有
.
(2) 当
时，有
其中
注：进一步，我们还可给出积分区域D关于原点对称和关于直线
对称的情况（见光盘）.
例题选讲：
二重积分的计算
例1（讲义例1）计算
其中D是由直线
及
所围成的闭区域.
例2 计算
, 其中
是由直线
、
和
所围成的闭区域.
例3 （讲义例2）计算二重积分
其中D是由抛物线
及直线
所围成的闭区域.
合理选择二次积分的次序以简化二重积分的计算是我们常常要考虑的问题，其中，既要考虑积分区域的形状，又要考虑被积函数的特性.
例4（讲义例3）计算
其中D由
及y轴所围.
例5（讲义例4）计算
其中D为
.
例6 计算二重积分
, 其中区域
是由
围成的矩形.
例7（讲义例5）求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.
例8 交换二次积分
的积分次序.
交换二次积分次序的步骤
例9（讲义例6）交换二次积分
的积分次序.
例10（讲义例7）证明
, 其中a、b均为常数, 且
.
例11（讲义例8）交换二次积分
的积分次序.
例12 交换二次积分
的积分次序.
例13 计算积分
利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算
例14（讲义例9）计算
其中积分区域
由曲线
与
所围成.
例15 计算
其中
例16（讲义例10）计算
其中区域
例17 证明不等式
其中
课堂练习
1.变换下列二次积分的次序:
2.求
其中D是以(0, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的三角形.
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