高教版高数下册答案第6章 习题解答

第六章 向量代数与空间解析几何 习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 6-1 1．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ. 2．求点 与 轴， 平面及原点的对称点坐标． 解： 关于 轴的对称点为 ，关于 平面的对称点为 ，关于原点的对称点为 . 3．已知点 ，求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）． 解：分别为 . 4．过点 分别作平行于 轴的直线和平行于 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？ 解：平行于z轴的直线上面的点的坐标： ；平行于xOy面的平面上的点的坐标为 . 5．求点 到原点、各坐标轴和各坐标面的距离． 解：到原点的距离为 ，到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ,到z轴的距离为 . 6．求证以 、 、 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形． 证明： , ，即 ，因此结论成立. 7．在 坐标面上，求与三个点 等距离的点的坐标． 解：设yoz坐标面所求点为 ，依题意有 ，从而 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， 联立解得 ，故所求点的坐标为 . 8．在 轴上求与点 ，点 等距离的点． 解：设所求 轴上的点为 ，依题意： EMBED Equation.3 ， 两边平方得 ，故所求点为 . 习 题 6-2 1．若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形． 证： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 与 平行且相等, 结论得证. 2．求起点为 ，终点为 的向量 与 的坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式． 解： = = , = 3．求平行于 的单位向量． 解：与 平行的单位向量为 . 4．求 使向量 与向量 平行． 解：由 得 得 . 5．求与向量 平行，模为10的向量 的坐标表达式． 解： ,故 . 6．已知向量 ， ，试求： （1） ； （2） ． 解：（1） ; （2） . 7．已知两点 、 ，求向量 的模、方向余弦和方向角． 解： 因为 , 所以 , ,从而 , , . 8．设向量的方向角为 、 、 ．若已知 ， ．求 ． 解： , ,由 得 .故 或 . 9．设 ， ， ，求向量 在 轴上的投影和在 轴上的分向量． 解： .故向量 在x 轴上的投影 ，在y轴上的投影分量为 . 10． ， ， ，求 （1） ， ， ；（2） ， ， ， ． 解：依题意， ， ， ，故 ， ， . ， ， ， . 11． ， ，求 ， 及 与 的夹角余弦． 解：（1） EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 . . 12．已知 ，求 ． 解： EMBED Equation.3 ，∴ EMBED Equation.DSMT4 . 13．证明下列问题： （1）证明向量 与向量 垂直； 证：1） , ，即 与 垂直. （2）证明向量 与向量 垂直． 2） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 14．求点 的向径 与坐标轴之间的夹角． 解：设 与 、 、 轴之间的夹角分别为 ，则 , , . , , . 15．求与 平行且满足 的向量 ． 解：因 , 故可设 ，再由 得 ，即 ，从而 . 16．求与向量 ， 都垂直的单位向量． 解： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 17．求以点 、 和 为顶点的三角形的面积以及 边上的高 ． 解： ,三角形 的面积为 18．已知向量 ， ，证明 ． 解 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 19．证明：如果 ，那么 ，并说明它的几何意义． 证： 由 , 有 , 但 ，于是 ,所以 . 同理 由 , 有 ,从而 . 其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等. 20．已知向量 和 ，计算下列各式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解： （1） . (2) ，故 EMBED Equation.3 . （3） . （4）由（3）知 . 习 题 6—3 1、求下列各平面的方程： （1）过点 且以 为法向量的平面； （2）过三点 的平面； （3）过点 且与平面 平行的平面； （4）通过x轴和点(4( (3( (1)的平面； （5）过点 ，且垂直于平面 和 的平面. （6）6 过原点及点 ，且与平面 垂直的平面； 解（1）：平面的点法式方程为 . （2）设所求平面方程为 ,将 的坐标代入方程，可得 ，故所求平面方程为 . （3）依题意可取所求平面的法向量为 ,从而其方程为 即 . （4）平面通过x轴( 一方面表明它的法线向量垂直于x轴( 即A(0( 另一方面表明它必通过原点( 即D(0( 因此可设这平面的方程为By(Cz(0(又因为这平面通过点(4( (3( (1)( 所以有(3B(C(0( 或C((3B ( 将其代入所设方程并除以B (B(0)( 便得所求的平面方程为y(3z(0( （5） 取法向量 所求平面方程为化简得: （6）6设所求 解 设平面为 由平面过点 知平 由平面过原点知 ， EMBED Equation.3 ，所求平面方程为 2、 求平行于 而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程. 解: 设平面为 EMBED Equation.3 由所求平面与已知平面平行得 化简得 令 代入体积式 EMBED Equation.3 或 所求平面方程为 或 . 3、求下列各直线的方程： （1）通过点 和点 的直线； （2） 过点 且与直线 平行的直线. （3）通过点 且与 三轴分别成 的直线； （4）一直线过点 ，且和 轴垂直相交，求其方程. （5）通过点 且与两直线 和 垂直的直线； （6）通过点 且与平面 垂直的直线. 解：（1）所求的直线方程为： 即： ，亦即 . （2）依题意，可取 的方向向量为 ，则直线 的方程为 . （3）所求直线的方向向量为： ，故直线方程为： . （4）因为直线和 轴垂直相交, 所以交点为 取 所求直线方程 （5）所求直线的方向向量为： ，所以，直线方程为： . （6）所求直线的方向向量为： ，所以直线方程为： . 4、求直线 的点向式方程与参数方程. 解 在直线上任取一点 ,取 解 .所求点的坐标为 ,取直线的方向向量 EMBED Equation.3 ,所以直线的点向式方程为： 令 则所求参数方程: 5、求下列各平面的方程： （１）通过点 ，且又通过直线 的平面； （２）通过直线 且与直线 平行的平面； （３）通过直线 且与平面 垂直的平面； （4）. 求过点 与直线 垂直的平面方程. 解：（１）因为所求的平面过点 和 ，且它平行于向量 ，所以要求的平面方程为： , 即 . （２）已知直线的方向向量为 ， 平面方程为： ,即 （３）所求平面的法向量为 ， 平面的方程为： ，即 . （4）.所求平面的法向量为 ，则平面的方程为： , 即 . 6、分别在下列条件下确定 的值： （1）使 和 表示同一平面； （2）使 与 表示二平行平面； （3）使 与 表示二互相垂直的平面； （4）使直线 与平面 平行； （5）使直线 与平面 垂直. 解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则： 即： ，解之得 ， ， . （2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则： ，所以 ， . （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则： 所以： . （4）欲使所给直线与平面平行，则须： 即 . （5）欲使所给直线与平面垂直，则须： ，所以： . 7、求平面 与 的夹角； 解：设 与 的夹角为 ，则 . 8、验证直线 ： 与平面 ： 相交，并求出它的交点和交角. 解： EMBED Equation.3 直线与平面相交.又直线的参数方程为： 设交点处对应的参数为 ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，从而交点为（1，0，-1）. 又设直线 与平面 的交角为 ，则： ， EMBED Equation.3 . 9、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦. （1） 与 ；（2） 与 . 解：（1）将所给的直线方程化为标准式为： 二直线平行.又点 与点（7，2，0）在二直线上， 向量 平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为： ，从而平面方程为： ，即 . （2）因为 ，所以两直线不平行，又因为 ，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为 ， 二直线所决定的平面的方程为： .设两直线的夹角为 ，则 . 10、判别下列直线与平面的相关位置： （1） 与 ；（2） 与 ； （3） 与 ； （4） 与 . 解（1） EMBED Equation.3 ，而 ，所以，直线与平面平行. （2） EMBED Equation.3 ,所以，直线与平面相交，且因为 ， 直线与平面垂直. （3）直线的方向向量为： ， EMBED Equation.3 ，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点 ，显然点在 也在平面上（因为 ），所以，直线在平面上. （4）直线的方向向量为 ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 直线与平面相交但不垂直. 11、 求点 到平面 的距离. 解：利用点到平面的距离公式可得 . 12、求点 到直线 的距离. 解：直线的标准方程为： 所以p到直线的距离 . 13、求点 在平面 上的投影. 解： 过点 作已知平面的垂线，垂线的方向向量就是已知平面的法向量 ，所以垂线方程为 ，此垂线与已知平面的交点即为所求投影.为了求投影，将垂线方程化为参数方程 ，代入平面方程求得 ，故投影为 . 14、求直线 在平面 上的投影直线的方程． 解：应用平面束的方法．设过直线 的平面束方程为 即 这平面与已知平面 垂直的条件是 ,解之得 代入平面束方程中得投影平面方程为 ，所以投影直线为 . 15、求通过平面 和 的交线且满足下列条件之一的平面： （1）通过原点； （2）与 轴平行；（3）与平面 垂直. 解： （1）设所求的平面为： 欲使平面通过原点，则须： ，即 ，故所求的平面方程为 即： . （2）同（1）中所设，可求出 .故所求的平面方程为 即： . （3）如（1）所设，欲使所求平面与平面 垂直，则须： 从而 ，所以所求平面方程为 . 习 题 6—4 1、一动点移动时，与 及 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点 ，所求的轨迹为 ，则 亦即 从而所求的轨迹方程为 . 2、 求下列各球面的方程： （1）圆心 ，半径为 ； （2）圆心在原点，且经过点 ； （3）一条直径的两端点是 ；（4）通过原点与 解：（1）所求的球面方程为： （2）由已知，半径 ，所以球面方程为 （3）由已知，球面的球心坐标 ， 球的半径 ，所以球面方程为： （4）设所求的球面方程为： 因该球面经过点 ，所以 解之得 所求的球面方程为 . 3、求下列旋转曲面的方程： （1）将 坐标面上的抛物线 绕 旋转一周所生成的旋转曲面； 解： (旋转抛物面) . （2）将 坐标面上的双曲线 分别绕 轴和 轴旋转一周所生成的旋转曲面． 解： 绕 轴旋转得 绕 轴旋转得 . 4、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？ （1） ；（2） （3） ；（4） 解：（1） 平面上椭圆 绕 轴旋转而成；或者 平面上椭圆 绕 轴旋转而成 （2） 平面上的双曲线 绕 轴旋转而成；或者 平面上的双曲线 绕 轴旋转而成 （3） 平面上的双曲线 绕 轴旋转而成；或者 平面上的双曲线 绕 轴旋转而成 （4） 平面上的直线 绕 轴旋转而成或者 平面上的直线 绕 轴旋转而成. 5、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？ （1） ；（2） ；（3） ；（4） . 解：（1） 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面； （2） 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； （3） 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面； （4） 在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面. 6、指出下列曲面的名称，并作图： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ； （5） ；（6） ；（7） ； （8） ；（9） ；（10） . 解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面； （7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面. 7、 画出下列各曲面所围立体的图形： （1） 与三个坐标平面所围成；（2） 及三坐标平面所围成； （3） 及 在第一卦限所围成；（4） 所围. 解：（1）平面 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面 与平面 及三坐标平面所围成； （3）坐标面 、 及平面 、 和圆柱面 在第一卦限所围成； （4）开口向上的旋转抛物面 与开口向下的抛物面 所围.作图略. 8、画出下列曲线在第一卦限内的图形 （1） ；（2） ；（3） 解：（1）是平面 与 相交所得的一条直线； （2）上半球面 与平面 的交线为 圆弧； （3）圆柱面 与 的交线.图形略. 9、分别求母线平行于 轴及 轴而且通过曲线 的柱面方程. 解：消去 坐标得 ，为母线平行于 轴的柱面； 消去 坐标得： ，为母线平行于 轴的柱面. 10、求在 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）. 解： ； ； . 11、试求平面 与椭球面 相交所得椭圆的半轴与顶点. 解：将椭圆方程 化简为： ，可知其为平面 上的椭圆，半轴分别为 ，顶点分别为 . 12 、将下面曲线的一般方程化为参数方程 （1） ； （2） 解：（1）原曲线方程即： ，化为 ； （2） . 13、指出下列方程所表示的曲线 （1） （2） ； （3） ； （4） ； （5） . 解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线. 14、求螺旋线 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程. 解： ； ； . 15、 求曲线 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量 后得 在 面上的投影为 它是中心在原点，半径为 的圆周. （2）因为曲线在平面 上，所以在 面上的投影为线段. （3）同理在 面上的投影也为线段. 16、 求抛物面 与平面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程. 解： 交线方程为 ，（1）消去 得投影 （2）消去 得投影 ，（3）消去 得投影 . 习 题 6—7 飞机的速度： 假设空气以每小时32公里的速度沿平行 轴正向的方向流动，一架飞机在 平面沿与 轴正向成 的方向飞行，若飞机相对于空气的速度是每小时840公里，问飞机相对于地面的速度是多少？ 解：如下图所示，设 为飞机相对于空气的速度， 为空气的流动速度，那么 就是飞机相对于地面的速度. 所以, 千米／小时. 本章复习题A 一 、判断正误: 1、 若 且 ，则 ； ( ) 解析 = =0时，不能判定 或 ．例如 ， ， ，有 ，但 ． 2、 若 且 ，则 ； ( ) 解析 此结论不一定成立．例如 ， ， ，则 ， ， ，但 ． 3 、若 ，则 或 ； ( ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4、 ． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律． 二、选择题: 1 、 当 与 满足（ D ）时，有 ； ； ( 为常数)； ∥ ； ． 解析 只有当 与 方向相同时，才有 ． (A)中 ， 夹角不为0，(B)，(C)中 ， 方向可以相同，也可以相反． 2、下列平面方程中，方程( C )过 轴； (A) ； (B) ； (C) ； (D) ． 解析 平面方程 若过 轴，则 ，故选C． 3 、在空间直角坐标系中，方程 所表示的曲面是( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面 ，垂直于 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于 轴或 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面． 4、空间曲线 在 面上的投影方程为( C )； (A) ； (B) ； (C) ；(D) 解析 曲线 与 平面平行，在 面上的投影方程为 ． 5 、直线 与平面 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为 ； (D) 夹角为 ． 解析 直线的方向向量 ={2，1，-1}，平面的法向量 ={1，-1，1}， =2-1-1=0，所以， ⊥ ，直线与平面平行． 三、填空题: 1、若 ， ，则 ， 0 ； 解 EMBED Equation.3 = = ， EMBED Equation.3 = =0． 2、与平面 垂直的单位向量为 ； 解 平面的法向量 ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为 = = ，所以，与平面垂直的单位向量为 ． 3、过点 和 且平行于 轴的平面方程为 ； 解 已知平面平行于 轴，则平面方程可设为 ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有 得 ，即 ． 4、过原点且垂直于平面 的直线为 ； 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 ={0，2，-1}平行，取直线方向向量 = ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为 ． 5、曲线 在 平面上的投影曲线方程为 解: 投影柱面为 ，故 为空间曲线在 平面上的投影曲线方程． 四、解答题: 1、 已知 ， ，计算(a) ； (b) ； (c) ； 解: (a) = EMBED Equation.3 . (b) ， ， 所以 EMBED Equation.3 ． (c) ，所以 EMBED Equation.3 ． 2、已知向量 的始点为 ，终点为 ，试求：(1)向量 的坐标表示； (2)向量 的模；(3)向量 的方向余弦； (4)与向量 方向一致的单位向量． 解: (1) ；(2) ； (3) 在 三个坐标轴上的方向余弦分别为 ； (4) ． 3、设向量 ， ，求与 和 都垂直的单位向量. 解： 令 ， ， 故与 、 都垂直的单位向量为 . 4、向量 垂直于向量 和 ，且与 的数量积为 ，求向量 解： 垂直于 与 ，故 平行于 ，存在数 使 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 因 ，故 ， EMBED Equation.3 . 5、求满足下列条件的平面方程： (1)过三点 ， 和 ；(2)过 轴且与平面 的夹角为 ． 解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为 ，即 ． 解2： 用点法式． ， ，由题设知，所求平面的法向量为 ， 又因为平面过点 ，所以所求平面方程为 ，即 ． 解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量 ，再根据点法式公式写出平面方程也可． 因为 ，所以 解得 ，于是所求平面方程为 ，即 ． （2）因所求平面过 轴，故该平面的法向量 垂直于 轴， 在 轴上的投影 ，又平面过原点，所以可设它的方程为 ，由题设可知 （因为 时，所求平面方程为 又 ，即 ．这样它与已知平面 所夹锐角的余弦为 ，所以 ），令 ，则有 ，由题设得 ， 解得 或 ，于是所求平面方程为 或 ． 6、 一平面过直线 且与平面 垂直，求该平面方程； 解法1： 直线 在平面上，令 =0，得 ， =4，则（0，- ，4）为平面上的点． 设所求平面的法向量为 = ，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 ={1，5，1}， ={1，0，-1}，则直线的方向向量 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = ={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即 ={-5，2，-5}• = =0， 因为所求平面与平面 垂直，则 = =0，解方程组 所求平面方程为 ，即 ． 解法2： 设所求平面 为 ，即 ， 其法向量为 ，由题意知所求平面 与平面 垂直，故 ， 解得 ，则所求平面 的方程为 ．另外，容易验证 不是所求的平面方程． 7、求既与两平面 和 的交线平行，又过点 的直线方程. 解法1： ， ， ，从而根据点向式方程，所求直线方程为 ，即 . 解法2：设 ，因为 ，所以 ；又 ，则 ，可解 ，从而 ．根据点向式方程，所求直线方程为 ，即 . 解法3：设平面 过点 ，且平行于平面 ，则 为 的法向量，从而 的方程为 ，即 ．同理，过已知点且平行于平面 的平面 的方程为 ．故所求直线的方程为 ． 8、 一直线通过点 ，且垂直于直线 ，又和直线 相交，求该直线方程； 解： 设所求直线的方向向量为 ，因垂直于 ，所以 ；又因为直线过点 ，则所求直线方程为 ，联立 由①，令 ，则有 代入方程②有 可得 ，代入③解得 ， 因此，所求直线方程为 ． 9、 指出下列方程表示的图形名称： (a) ；(b) ；(c) ； (d) ；(e) ； (f) ． 解： (a) 绕 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕 轴旋转的锥面． (d) 母线平行于 轴的两垂直平面： ， ． (e) 母线平行于 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于 面的平面所截得到的圆，半径为 ，圆心在（0，0，2）处． 10、求曲面 与 所围立体在 平面上的投影并作其图形． 解： 将所给曲面方程联立消去 ，就得到两曲面交线 的投影柱面的方程 ， 所以柱面与 平面的交线 所围成的区域 即为曲面 与 所围立体在 平面上的投影(图略)． 本章复习题B 1、设 ， ， ，求以 和 为邻边的平行四边形的面积. 解： EMBED Equation.DSMT4 . 2、设 ， ，求 . 解： 由已知可得： ， 即 ， ． 这可看成是含三个变量 、 及 的方程组，可将 、 都用 表示，即 ，从而 ， . 3、求与 共线，且 的向量 ． 解 由于 与 共线，所以可设 ，由 ，得 ， 即 ，所以 ，从而 ． 4、 已知 ，求 ，使 且 ． 解法1: 待定系数法．设 ，则由题设知 及 ，所以有 由①得 ④，由②得 ⑤，将④和⑤代入③得 ，解得 ，于是 或 ． 解法2: 利用向量的垂直平行条件，因为 ，所以 ∥ ．设 是不为零的常数，则 ， 因为 ，所以 ，解得 ，所以 或 ． 解法3: 先求出与向量 方向一致的单位向量，然后乘以 ． ， ， 故与 方向一致的单位向量为 ．于是 ，即 或 ． 5、求曲线 的参数式方程. 解： 曲线参数式方程是把曲线上任一点 的坐标 都用同一变量即参数表示出来，故可令 ，则 ． 6、求曲线 在 面上及在 面上的投影曲线的方程． 解： 求在 面上的投影的方程，即由的两个方程将消去，即得关于 面的投影柱面的方程 则在 面上的投影曲线的方程为 ． 同理求在 面上的投影的方程，即由的两个方程消去 ，得关于 面的投影柱面的方程 ，则在 面上的投影曲线方程为 ． 7、已知平面 过点 和直线 ，求平面 的方程． 解法1： 设平面 的法向量为 ，直线 的方向向量 ，由题意可知 ， 是直线 上的一点,则 在 上，所以 ,故可取 EMBED Equation.DSMT4 ．则所求平面的点法式方程为 ，即 为所求平面方程． 解法2： 设平面 的一般方程为 ，由题意可知， 过点 ，故有 , （1） 在直线 上任取两点 ，将其代入平面方程，得 , （2） , （3） 由式（1）、（2）、（3）解得 ,故平面 的方程为 . 解法3： 设 为 上任一点．由题意知向量 、 和 共面，其中 为直线 上的点， 为直线 的方向向量．因此 EMBED Equation.DSMT4 ， 故平面 的方程为 ，即 为所求平面方程． 8、求一过原点的平面 ，使它与平面 成 角，且垂直于平面 ． 解： 由题意可设 的方程为 ，其法向量为 ，平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，由题意得 ，即 （1） 由 ，得 ，将 代入（1）式得 ,解得 或 ，则所求平面 的方程为 或 ． 9、求过直线 ： 且平行于直线 ： 的平面 的方程． 解法1： 直线 的方向向量为 EMBED Equation.DSMT4 ，直线 的对称式方程为 ，方向向量为 ，依题意所求平面 的法向量 且 ，故可取 ，则 ，又因为 过原点，且 在平面 上，从而 也过原点，故所求平面 的方程为 ． 解法2： 设所求平面 为 ，即 ， 其法向量为 ，由题意知 ，故 ， 得 ，则所求平面 的方程为 ．另外，容易验证 不是所求的平面方程． 10、求过直线 ： 且与球面 相切的平面方程 解： 设所求平面为 ，即 ，由题意：球心 到它的距离为1，即 解得： 或 所求平面为： 或 11、求直线 ： 在平面 ： 上投影直线 的方程，并求直线 绕 轴旋转一周而成的曲面方程. 解： 将直线 ： 化为一般方程 ，设过直线 且与平面 垂直的平面方程为 ，则有 ，即 ，平面方程为 ，这样直线 的方程 把此方程化为： ，因此直线 绕 轴旋转一周而成的曲面方程为： 即 . 12、求过点 且平行于平面 ： ，又与直线 EMBED Equation.DSMT4 相交的直线L的方程． 解法1： 用点向式方程.因为直线L平行于平面 ，故直线 的方向向量 垂直于平面 的法向量 ，从而得 ①，又直线 的方向向量为 ， 是直线 上一点， 是直线 上一点，根据题设：直线 与直线 相交，所以 及 共面，因此 ，即 ②， 将①和②联立解得 ，由此得 ，于是所求直线方程为 ． 解法2： 用一般式，即先求出过 的两个平面，将其方程联立便得 的方程． 直线 在过点 且平行于平面 的平面 上，平面 的方程为 ， 即 ，直线 又在过点 及直线 的平面 上，平面 的法向量可取为 ，故平面 的方程为 ，即 ，于是所求直线方程为 13、求直线 ： 与直线 ： 的公垂线的方程 解： 的方向向量 而 的方向向量 于是公垂线 的方向向量 ，过 与 的平面 的法向量 . 也可取法向量 ，以 代入 方程，可得 上的点 ，于是平面 方程 ，即 再求 与 的交点 ， 的参数方程为 ， ， ，代入上述平面方程，得： ， ，再代回 的参数方程得 ， ， ，于是 EMBED Equation.3 ，兼顾公垂线 的方向向量 ，于是可产生公垂线 的方程为 . 14、求点 到直线 ： 的距离 . 解法1：直线 的方向向量为 ，在 上任取一点 ，则 ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，故 ，又 ， EMBED Equation.3 解法2：将直线 的方程由一般式化为标准式得 ，故过点 与直线 垂直的平面 的方程为 ， 即 ，直线 的参数式方程为： ， ， ，将上式代入平面 的方程，得： ，解得： ，所以直线 的交点为 2，于是点 到直线 的距离为 . 15.求两直线 ： 与 ： 之间的最短距离 解法1：过 作平面 ，过 的平面方程为 ，即 ， 要此平面平行于 ，则此法向量 须垂直于 ，即 ，而 ，则 ，解得： ，从而平面 的方程为 ，容易得到直线 上一点 ，点 到平面 的距离为 即为 与 之间的距离. 解法2：容易得到直线 上的一点 ，直线 上的一点 ，于是 ，可求 得直线 与直线 的方向向量分别为 ， ，两直线公垂线的方向向量为 ，直线 与 之间的距离为 EMBED Equation.3 . 空所流动与飞机飞行速度的关系 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.3 ��� _1207914162.unknown _1264586209.unknown _1265564674.unknown _1347008830.unknown _1347008880.unknown _1347889336.unknown _1347897763.unknown _1347897967.unknown _1347898211.unknown _1348245928.unknown _1365751058.unknown _1365751297.unknown _1365751368.unknown _1365751431.unknown _1365751142.unknown _1364791589.unknown _1365751031.unknown _1353675420.unknown _1348249984.unknown _1347898305.unknown _1347898388.unknown _1347898511.unknown _1347898532.unknown _1347898439.unknown _1347898345.unknown _1347898238.unknown _1347898275.unknown _1347898231.unknown _1347898100.unknown _1347898136.unknown _1347898183.unknown _1347898123.unknown _1347898000.unknown _1347898073.unknown _1347897991.unknown _1347897806.unknown _1347897933.unknown _1347897956.unknown _1347897909.unknown _1347897785.unknown _1347897799.unknown _1347897774.unknown _1347889451.unknown _1347897715.unknown _1347897741.unknown _1347897749.unknown _1347897658.unknown _1347897666.unknown _1347897678.unknown _1347891989.unknown _1347897650.unknown _1347896344.unknown _1347891544.unknown _1347891561.unknown _1347889394.unknown _1347889430.unknown _1347889369.unknown _1347008929.unknown _1347889197.unknown _1347889302.unknown _1347889318.unknown _1347889209.unknown _1347008970.unknown _1347009943.unknown _1347889157.unknown _1347889165.unknown _1347889135.unknown _1347009950.unknown _1347009938.unknown _1347009941.unknown _1347009917.unknown _1347008934.unknown _1347008968.unknown _1347008932.unknown _1347008919.unknown _1347008924.unknown _1347008927.unknown _1347008922.unknown _1347008911.unknown _1347008914.unknown _1347008883.unknown _1347008853.unknown _1347008864.unknown _1347008871.unknown _1347008878.unknown _1347008873.unknown _1347008876.unknown _1347008868.unknown _1347008858.unknown _1347008861.unknown _1347008856.unknown _1347008844.unknown _1347008849.unknown _1347008851.unknown _1347008846.unknown _1347008836.unknown _1347008840.unknown _1347008833.unknown _1270409423.unknown _1270411556.unknown _1272880708.unknown _1277619484.unknown _1347008819.unknown _1347008823.unknown _1347008828.unknown _1347008826.unknown _1347008821.unknown _1277623948.unknown _1347008816.unknown _1282152406.unknown _1277620554.unknown _1272880729.unknown _1277578556.unknown _1277584085.unknown _1277585572.unknown _1277583601.unknown _1272880741.unknown _1272880715.unknown _1270412005.unknown _1272832103.unknown _1272878498.unknown _1272878505.unknown _1272879314.unknown _1272878501.unknown _1272878496.unknown _1270412752.unknown _1272832101.unknown _1272832102.unknown _1272832099.unknown _1272832100.unknown _1272832098.unknown _1270412017.unknown _1270411659.unknown _1270411890.unknown _1270411643.unknown _1270410535.unknown _1270411046.unknown _1270411200.unknown _1270411420.unknown _1270411154.unknown _1270410831.unknown _1270410934.unknown _1270410570.unknown _1270409821.unknown _1270410056.unknown _1270410129.unknown _1270409887.unknown _1270410004.unknown _1270409689.unknown _1270409772.unknown _1270409530.unknown _1265567887.unknown _1265569985.unknown _1265570690.unknown _1265570764.unknown _1265571570.unknown _1270409310.unknown _1265571630.unknown _1265571532.unknown _1265571549.unknown _1265571511.unknown _1265570731.unknown _1265570106.unknown _1265570668.unknown _1265569994.unknown _1265569855.unknown _1265569919.unknown _1265569953.unknown _1265569890.unknown _1265569391.unknown _1265569741.unknown _1265569752.unknown _1265569607.unknown _1265568542.unknown _1265564685.unknown _1265564692.unknown _1265564695.unknown _1265567656.unknown _1265564694.unknown _1265564689.unknown _1265564690.unknown _1265564688.unknown _1265564679.unknown _1265564683.unknown _1265564684.unknown _1265564680.unknown _1265564677.unknown _1265564678.unknown _1265564676.unknown _1265377616.unknown _1265560323.unknown _1265564662.unknown _1265564666.unknown _1265564671.unknown _1265564673.unknown _1265564667.unknown _1265564664.unknown _1265564665.unknown _1265564663.unknown _1265564646.unknown _1265564656.unknown _1265564658.unknown _1265564659.unknown _1265564657.unknown _1265564654.unknown _1265564655.unknown _1265564647.unknown _1265564642.unknown _1265564644.unknown _1265564645.unknown _1265564643.unknown _1265562062.unknown _1265564640.unknown _1265564641.unknown _1265564638.unknown _1265564639.unknown _1265563777.unknown _1265561109.unknown _1265389479.unknown _1265390264.unknown _1265390506.unknown _1265560294.unknown _1265560312.unknown _1265398206.unknown _1265560283.unknown _1265399297.unknown _1265397650.unknown _1265390369.unknown _1265390407.unknown _1265390418.unknown _1265390271.unknown _1265389914.unknown _1265390119.unknown _1265389966.unknown _1265389820.unknown _1265380987.unknown _1265381145.unknown 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