第二章习题1.设)(),(21xFxF为两个分布函数，问：（1）)()(21xFxF+是否分布函数？（2）)()(21xFxF是否分布函数？给出证明。解：(1)不是，因为2)()(021≤+≤xFxF或2)]()([lim21=++∞→xFxFx（2）是。因)(),(21xFxF分别单调不降故)()(21xFxF单调不降；因1)(0≤≤xFi，0)(lim=−∞→xFix，2,1,1)(lim==+∞→ixFix，容易得到1)()(011≤≤xFxF，0)()(lim21=−∞→xFxFx，1)()(lim21=+∞→xFxFx。因)(),(21xFxF分别右连续故)()(21xFxF右连续。2.一批晶体管中有个9个合格品和3个不合格品，从中任取一个安装在电子设备上。若取出不合格品不再放回，求取得合格品前已取出的不合格品个数的分布律和分布函数。解：X0123p3/49/449/2201/220⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=3,132,220/21921,22/2110,4/30,0)(xxxxxxF注意区间的左闭右开！3.做一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，求：（1）n次试验中成功次数X的分布律；（2）在n次成功之前已经失败次数Y的分布律；（3）首次成功时试验次数Z的分布律。解：{}()nkppCkXPknkkn...,2,1,0,1)1=−==−或),(~pnBX{}()...2,1,0,1)21=−==−+kppCkYPknkkn{}()...2,1,1)31=−==−kppkZPk4.一批产品共有25件，其中5件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取4次，设X为其中的次品数，若（1）每次取出的产品仍放回；(2)每次取出的产品不再放回。写出两种情况下X的分布律。解：（1）()4,3,2,1,0*)2(4254205===−kCCCkXPkk5.临床观察
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明，某药物产生副作用的概率为0.002。现在900个患者服用该药物，求至少有３例患者出现副作用的概率．解：设出现副作用的患者数为X，则X~B(900,0.002)，因为试验重数900够大，而出现副作用的概率0.002很小．故可认为X近似服从泊松分布P(1.8)2694.0!8.1}3{3≈≈≥∑+∞=kkkXP6.随机变量X的分布函数为RxBarctgxAxF∈+=,)(求：（1）系数A，B；（2）X落在区间（－1，1）的概率；（3）X的概率密度。解：7.从一批子弹中任意抽出5发试射，若没有一发子弹落在靶心2厘米以外，则接受该批子弹。设弹着点与靶心的距离X（厘米）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=−其他,030,)(2xAxexfx试求：(1)系数A；（2）X的分布函数F(x);（3）该批子弹被接受的概率。解：441~4,,5()(0.2)(0.8),0,1,2,3,4kkkXBPXkCk−⎛⎞⎜⎟⎝⎠===故分布律为（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤−−=−<==∫∫−−−−∞−3,130,11120,0)()(09922xxeedtteexdttfxFxxtx（3）该批子弹被接受的概率为594)11(}5{−−−−==eeYP8.在长为L的线段上随机选取一点，将其分为两段，求短的一段与长的一段之比小于1/4的概率？解：9.一电子信号在(0,T)时间内随机出现，设Ttt<<<100，(1)求信号在区间（10,tt）内出现的概率；(2)已知信号在0t时刻前没有出现，求它在（10,tt）内出现的概率。解：设电子信号出现的时间为X，则X~U(0,T)(1)P{10tXt<<}=Ttt01−(2)00100101001}{}{}|{tTttTtTTtttXPtXtPtXtXP−−=−−=><<=><10.两台新的电子仪器寿命分别为21,XX，)36,42(~1NX，)9,45(~2NX,若需连续使用仪器46小时，问选用哪一台仪器较好？解：3707.0)33.0(1)34546(1}46{2514.0)67.0(1)64246(1}46{21≈−≈−−=>≈−≈−−=>ΦΦΦΦXPXP选用第二台仪器比较好11.设测量误差)10,0(~2NX，求在100次独立重复测量中至少有3次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值。解：设100次独立重复测量中测量误差的绝对值大于19.6的次数为Y，计算05.0)96.1(22))1006.19()1006.19((1}6.19|{|1}6.19|{|=−=−−−−−=≤−=>ΦΦΦXPXP则Y~B(100,0.05),近似服从参数为5的泊松分布于是8753.0!5}3{35≈≈≥∑+∞=−kkkeYP12.设某型号电视机的有效使用时间X（年）服从参数(失效率)为0.125的指数分布。现在某人购买了一台该型号的旧电视，求它还能使用4年以上的概率．解：设该电视已使用了a年,所求为5.04125.011}4{}|4{−×−−=−=>=>+>eeXPaXaXP13.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布。求相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；解：⎪⎩⎪⎨⎧≥−=−==−<=≤=−−0,1!0)(1}0)({10,0}{)(0teettNPttTPtFttTλλλ可见T服从参数为λ的指数分布
浙公网安备 33021202002483