湘教初中数学九上《专题练习五 相似三角形的性质与判定习题课件

专题练习五　相似三角形的性质与判定类型一　运用相似三角形的性质与判定进行计算1．如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝____．52．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠ADE＝∠C，如果AE＝2，△ADE的面积为4，△ABC的面积为9，那么AB的长为____．3．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD＝4，CD＝9，则AD＝____．364．如图，在△ABC中，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠ABD＝∠ACE＝30°，连接DE.若DE＝5，则BC的长为____．10B5．如图，将Rt△ABC沿着射线BC的方向平移得到Rt△DEF，如果AB＝8，BE＝5，DG＝3，则CE等于()A.eq\f(25,6)B.eq\f(25,3)C.eq\f(25,2)D．不能确定6．(2015·三亚三模)如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为()A．3B．4C．5D．6A7．如图，在直角三角形ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为()A．5B．6C．7D．12C8．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BC的延长线上有一点D，CD＝BC，CE⊥BD于点C，交AD于点E，BE交AC于点F.证明：(1)△BCF∽△DBA；(2)AF＝CF.解：证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠2.∵BC＝CD，EC⊥BD，∴EB＝ED，∴∠1＝∠D，∴△BFC∽△DAB；(2)∵△BFC∽△DAB，∴eq\f(FC,AB)＝eq\f(BC,BD)＝eq\f(1,2)，∴FC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)AC，∴F为AC的中点，即AF＝FC.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°.∵∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C.∵∠AFD＝∠C，∠ADF＝∠DEC，∴△ADF∽△DEC；9．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝6eq\r(3)，AF＝4eq\r(3)，求AE的长．(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8.由(1)知△ADF∽△DEC，∴eq\f(AD,DE)＝eq\f(AF,CD)，∴DE＝eq\f(AD·CD,AF)＝eq\f(6\r(3)×8,4\r(3))＝12.在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE＝eq\r(DE2－AD2)＝6.类型二　比例式或等积式的证明10．如图所示，在△PEA中，B是PA上一点，∠PEB＝∠A，过点P的直线分别交EB，EA于点D，C，且ED＝EC.试说明：PA·CE＝AC·PE.解：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD.∵∠EDC＝∠1＋∠PEB，∠ECD＝∠2＋∠A，而∠PEB＝∠A，∴∠1＝∠2，∴△PED∽△PAC，∴eq\f(PE,ED)＝eq\f(PA,AC)，∴eq\f(PE,CE)＝eq\f(PA,AC)，即PA·CE＝AC·PE.11．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥BD于点O，交CD于点E，交BC的延长线于点F.求证：AO2＝OE·OF.解：证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC，且∠OCD＝∠ODC，∠BCD＝90°.∵OF⊥BD于点O，∴∠F＝∠ODC，∴∠OCD＝∠F.∵∠EOC＝∠COF，∠OCD＝∠F，∴△OCE∽△OFC，∴OC∶OF＝OE∶OC，∴OC2＝OE·OF，∴AO2＝OE·OF.12．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点E，且AC⊥BD.(1)求证：CD2＝BC·AD；(2)点F是边BC上一点，连接AF，与BD相交于点G，如果∠BAF＝∠DBF，求证：eq\f(AG2,AD2)＝eq\f(BG,BD).解：证明：(1)∵AD∥BC，∠BCD＝90°.∴∠ADC＝∠BCD＝90°，又∵AC⊥BD，∴∠ACD＋∠ACB＝∠CBD＋∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBD，∴△ACD∽△DBC，∴eq\f(AD,CD)＝eq\f(CD,BC)，即CD2＝BC·AD；(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠BAF＝∠DBF.∴∠ADB＝∠BAF.∵∠ABG＝∠DBA，∴△ABG∽△DBA，∴eq\f(AG,AD)＝eq\f(AB,BD)，∴eq\f(AG2,AD2)＝eq\f(AB2,BD2).又∵△ABG∽△DBA，∴eq\f(BG,AB)＝eq\f(AB,BD)，∴AB2＝BG·BD，∴eq\f(AG2,AD2)＝eq\f(AB2,BD2)＝eq\f(BG·BD,BD2)＝eq\f(BG,BD).类型三　相似三角形与其他知识的综合运用13．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，BD＝b，CD＝c，∠A＝∠DBC，判断关于x的一元二次方程ax2＋2bx＋c＝0的根的情况是()AA．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个实数根D．没有实数根B14．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，有下列结论：①∠BAE＝30°；②S△ABE＝4S△ECF；③CF＝eq\f(1,3)CD；④△ABE∽△AEF.正确结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个y＝2x15．(2014·湖州)如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为_____________．16．(2014·牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止．设运动时间为t秒．(1)求线段CD的长；(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．(3)当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10.∵CD⊥AB，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(BC·AC,AB)＝eq\f(6×8,10)＝4.8，即线段CD的长为4.8；(2)过点P作PH⊥AC，垂足为H.由题可知DP＝t，CQ＝t，则CP＝4.8－t.∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠HCP＝90°－∠DCB＝∠B.∵PH⊥AC，∴∠CHP＝90°，∴∠CHP＝∠ACB，∴△CHP∽△BCA，∴eq\f(PH,AC)＝eq\f(PC,AB).∴eq\f(PH,8)＝eq\f(4.8－t,10)，∴PH＝eq\f(96,25)－eq\f(4,5)t，∴S△CPQ＝eq\f(1,2)CQ·PH＝eq\f(1,2)t(eq\f(96,25)－eq\f(4,5)t)＝－eq\f(2,5)t2＋eq\f(48,25)t.存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100.理由如下：∵S△ABC＝eq\f(1,2)×6×8＝24，且S△CPQ∶S△ABC＝9∶100，∴(－eq\f(2,5)t2＋eq\f(48,25)t)∶24＝9∶100，整理得：5t2－24t＋27＝0，解得：t＝eq\f(9,5)或t＝3.∵0≤t≤4.8，∴当t＝eq\f(9,5)秒或t＝3秒时，S△CPQ∶S△ABC＝9∶100；(3)①若CQ＝CP，则t＝4.8－t，解得：t＝2.4；②若PQ＝PC，∵PQ＝PC，PH⊥QC，∴QH＝CH＝eq\f(1,2)QC＝eq\f(t,2).∵△CHP∽△BCA，∴eq\f(CH,BC)＝eq\f(CP,AB)，∴eq\f(\f(t,2),6)＝eq\f(4.8－t,10)，解得；t＝eq\f(144,55)；③若QC＝QP，过点Q作QE⊥CP，垂足为E，同理可得：t＝eq\f(24,11).综上所述：当t为2.4秒或eq\f(144,55)秒或eq\f(24,11)秒时，△CPQ为等腰三角形．