四川省2023年高三上学期理数学模拟试卷（4套含答案）

高三上学期理数一模试卷一、单选 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1．设全集，若集合满足．则（）A．B．C．D．2．若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（）A．B．C．3D．－33．已知直线：，：，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知，是两个不同的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（）A．B．4C．D．7． 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 在区间上的图象为（）A．B．C．D．8．已知等差数列的前项和为，若，且，则（）A．0B．1C．2022D．20239．已知点在直角的斜边上，若，，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．设，若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（）A．B．C．D．11．已知定义在上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知，，，则（）A．B．C．D．二、填空题13．已知，若，则．14．某智能机器人的广告费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表：广告费用（万元）2356销售额（万元）28314148根据上表可得回归方程，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为万元．15．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为．三、双空题16．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则，的取值范围为．四、解答题17．已知数列的前项和为，若，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．18．自《“健康中国2030”规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入到绿色运动“健步走”行列以提高自身的健康水平与身体素质．某调查小组为了解本市不同年龄段的市民在一周内健步走的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，部分结果如下表所示，其中一周内健步走少于5万步的人数占样本总数的，45岁以上（含45岁）的人数占样本总数的．一周内健步走万步一周内健步走＜5万步总计45岁以上（含45岁）9045岁以下总计附：0.1500.1000.0500.0252.0722.7063.8415.024，其中．（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；（2）现从样本中45岁以上（含45岁）的人群中按一周内健步走的步数是否少于5万步用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中一周内健步走步数不少于5万步的人数为，求的分布列及数学期望．19．如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．20．已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．（1）求椭圆的方程；（2）若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．21．已知函数，其导函数为．（1）证明：当时，函数有零点；（2）若对任意正数，且，总存在正数使得．试探究与的大小，并说明理由．22．在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于A，两点，求的值．23．已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，若正数，，满足，证明：．1．B2．D3．A4．D5．C6．A7．D8．A9．D10．B11．B12．C13．14．15．16．；17．（1）解：因为，故，故即.而，故，故，故，且，故，所以为等比数列，且首项为2，公比为2，从而.（2）解：，故，故，所以，所以.18．（1）解：一周内健步走万步一周内健步走＜5万步总计45岁以上（含45岁）903012045岁以下503080总计14060200，所以有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；（2）解：由题意知，从45岁及以上的市民中按分层抽样法抽取一周内健步走的步数不少于5万步的市民6人，一周内健步走的步数少于5万步市民的2人；从这8人随机抽取2人，则的所有取值为0，1，2.，，；所以分布列为012数学期望.19．（1）证明：由正方形的性质知：，又平面，平面，∥平面，，平面，平面，∥平面，，平面，平面∥平面，平面，平面；（2）解：平面平面，平面平面，平面，则平面，又，则平面，又，则两两垂直，以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由得：，则，设平面的法向量为，则，取得，又易得平面的一个法向量为，则，又二面角为锐角，则二面角的余弦值为.20．（1）解：由椭圆可得，所以，解得，因为椭圆经过点，故得到，解得，所以椭圆的方程为（2）解：当切线垂直轴时，的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设的横坐标为1，代入椭圆得解得，所以；当切线不垂直轴时，设切线方程为即，所以圆心到切线的距离，得，把代入椭圆方程，整理得设，则，设，则，则，所以，综上所述，，此时，因为，所以直线的斜率为21．（1）证明：，当时，，故，由零点存在定理可得当时，函数有零点.（2）解：因为，，整理得到，下证：，即证，令，则，即证：，设，则，故为上的增函数，故，即，故，故，即，所以，故，整理得到：，但，故，所以，所以.22．（1）解：因为直线经过点，倾斜角为，故直线的参数方程为，（t为参数），即，（t为参数）；由可得，即，将代入，可得曲线的直角坐标方程为；（2）解：设A，B两点对应的参数为，将直线l的参数方程代入，即中，得：，整理得，此时，故.23．（1）解：当时，，由可得，则；当时，，由可得显然成立，则；当时，，由可得，则；综上：不等式的解集为；（2）解：，当且仅当即时取等，，则，又，，均为正数，则，当且仅当，即时等号成立，则.高三下学期理数二模试卷一、单选题1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．函数的最小正周期为（）A．B．C．D．3．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．40B．41C．119D．1224．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．0B．C．D．25．设，分别是双曲线的左、右焦点．为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．6．甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（）A．B．C．D．7．已知命题：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题：空间中三个平面，，，若，，，则．则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．8．已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（）A．32B．C．D．89．若奇函数满足，且当时，，则（）A．-1B．C．0D．10．若正三棱锥的高为2，，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径为（）A．B．C．D．311．已知，，，则（）A．B．C．D．12．在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为（）A．B．C．D．二、填空题13．复数（为虚数单位），则|z|的值为．14．已知，则．15．若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为．16．若函数存在极大值点，且，则实数的取值范围为．三、解答题17．某中学为了丰富学生的课余生活，欲利用每周一下午的自主活动时间，面向本校高二学生开设“厨艺探秘”“盆景栽培”“家庭摄影”“名画鉴赏”四门选修课，由学生自主申报，每人只能报一门，也可以不报．该校高二有两种班型－文科班和理科班（各有2个班），据调查这4个班中有100人报名参加了此次选修课，报名情况统计如下：厨艺探秘盆景栽培家庭摄影名画鉴赏文科1班115146文科2班127114理科1班3193理科2班5162附：．0.500.400.250.150.100.050.0250.01000.0050.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63577.879（1）若把“厨艺探秘”“盆景栽培”统称为“劳育课程”，把“家庭摄影”“名画鉴赏”统称为“美育课程”．请根据所给数据，完成下面的2×2列联表：课程报名班型合计“劳育课程”“美育课程”文科班理科班合计（2）根据（1）列联表中所填数据，判断是否有99%的把握认为课程的选择与班型有关．18．已知等比数列的公比为3，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．19．如图，三棱柱中，与均是边长为2的正三角形，且．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆C相交于点P，且．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．21．已知函数，其中，．（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数恰有两个零点，求a的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于A，B两点，求的值．23．已知函数．（1）画出的图象；（2）求不等式的解集．1．C2．C3．B4．C5．A6．B7．D8．A9．B10．D11．A12．D13．14．15．16．17．（1）解：由题意，列联表如下：课程报名班型合计“劳育课程”“美育课程”文科班353570理科班102030合计4555100（2）解：假设：“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科无关.∵，∴根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即没有99%的把握认为“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科有关．18．（1）解：设数列的公比为．∵，，成等差数列，∴．∴∵，∴解得．∴；（2）解：设，则．∴①∴②由①－②得，∴∴．19．（1）证明：取的中点O，连接AO，．∵与均是边长为2的正三角形，∴，，．∴为二面角的平面角．∵，∴．∴，又，，平面，平面，又平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知，，，．以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．则，，，．，，．设平面的一个法向量为．由得令，得．设平面的一个法向量为．由得令，得．∴．∴所求锐二面角的余弦值为．20．（1）解：由题意，双曲线的焦点为，，双曲线与椭圆C有相同焦点且在第一象限交点为P，又，，．，．．椭圆C的方程为．（2）解：设，，则．四边形OAED为平行四边形，，．点A，B，E均在椭圆C上，，，．，．．由消去y，得．显然．，．．，因为，所以，即，所以，即.．21．（1）解：，∵，，∴当时，恒成立，函数在上单调递增．当时，当时，；当时，．函数在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）解：函数恰有两个零点，等价于方程有两个不等的实数解．∵，，，令，则．令，则．∴当时，；当时，．∴函数在上单调递增，在上单调递减．∵，∴方程有唯一解．∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．等价于方程有两个不相等的实数解．构造函数，则．∵，∴当时，；当时，．∴函数在上单调递增，在上单调递减．∵，；，．∴只需要，即．构造函数，则．∴当时，；当时，．函数在上单调递减，在上单调递增．∵，当时，恒成立．∴a的取值范围为．22．（1）解：依题意，∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为．∵直线的极坐标方程为，∴．∵，．∴直线的直角坐标方程为．（2）解：由（1）知，点在直线上，∴直线的参数方程为（为参数），代入得，．设，是上述方程的两根，∴，，．∴．23．（1）解：由题得，．函数的图象为：（2）解：函数的图象向左平移2个单位长度后得到函数的图象，的图象与的图象如图所示．当时，由解得，．由图象可知不等式的解集为．高三下学期理数二模试卷一、单选题1．已知复数，则z的虚部是（）A．B．C．D．2．集合，，则（）A．B．C．D．3．已知满足约束条件，则目标函数的最小值是（）A．1B．2C．11D．无最小值4．表示生物体内碳14的初始质量，经过t年后碳14剩余质量（，h为碳14半衰期）．现测得一古墓内某生物体内碳14含量为，据此推算该生物是距今约多少年前的生物（参考数据）．正确选项是（）A．B．C．D．5．执行如图所示程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．D．6．小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩（北京冬奥会吉祥物）随机放入3个不同袋子中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是（）A．B．C．D．7．已知是定义域为的偶函数且，则函数零点个数是（）A．6B．5C．4D．38．已知抛物线的焦点为F，点，点P为该抛物线上一动点，则周长的最小值是（）A．B．3C．D．9．在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题，命题为等腰三角形．则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．如图，在直角梯形中，，D为边中点，将沿边折到．连接得到四棱锥，记二面角的平面角为，下列说法中错误的是（）A．若，则四棱锥外接球表面积B．无论为何值，在线段上都存在唯一一点H使得C．无论为何值，平面平面D．若，则异面直线所成角的余弦值为11．已知，则a，b，c大小关系是（）A．B．C．D．12．如图所示，正方体棱长为2，点P为正方形内（不含边界）一动点，角平分线交于点Q，点P在运动过程中始终满足．①直线与点P的轨迹无公共点；②存在点P使得；③三棱锥体积最大值为；④点P运动轨迹长为．上述说法中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．已知的展开式中二项式系数和为32，则项系数是．14．若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率是．15．已知正实数，称为的算术平均数，为的几何平均数，为的希罗平均数．为的边上异于的动点，点满足且，则正数的希罗平均数的最大值是．16．已知函数，则下列说法中正确的是．①一条对称轴为；②将图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；③若，则；④若函数在区间上恰有2个极大值点，则实数的取值范围是．三、解答题17．已知对于任意函数在点处切线斜率为，正项等比数列的公比，且，又与的等比中项为2．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．18．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是，中点，平面平面．（1）证明：；（2）若，平面平面，且，求直线l与平面所成角的余弦值．19．2022年12月6日全国各地放开对新冠疫情的管控，在强大的祖国庇护下平稳抗疫三年的中国人民迎来了与新冠变异毒株奥密克戎的首次正面交锋．某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源．从全市中小学生中随机抽取了100名抗原 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：疼痛指数人数（人）10819名称无症状感染者轻症感染者重症感染者其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者．（1）统计学中常用表示在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取名学生，记事件：该名学生为有症状感染者，事件：该名学生为重症感染者，求似然比的值；（2）若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数近似的服从正态分布，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为，求的分布列及数学期望．20．已知椭圆左右焦点分别为，上顶点为C，，过点作的垂线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8．（1）求椭圆E的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程；（2）已知点为椭圆E上一动点，过点P作E的切线其斜率记为k，当直线斜率存在时分别记为，探索是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数．（1）为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数有两个不同的极值点，证明：．22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C交于点A，B．求证：．23．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）函数最小值为，求的最小值．1．C2．B3．A4．C5．B6．D7．A8．C9．D10．B11．D12．C13．1014．215．316．①③17．（1）解：由题意，∴；由题可得，所以或（舍）所以，；（2）解：由题可知，所以，，所以，，即.18．（1）证明：取中点G，连接，，∵E，G分别是，中点，∴且，又∵且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴EF∥平面，∵平面，平面平面，∴．（2）解：由三棱柱为直棱柱，∴平面，∴，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴，故以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，又，则，解得，所以，，则，，设平面法向量为，所以，即，取，得，由（1）知直线，则l方向向量为，设直线l与平面所成角为，则，则，所以直线l与平面所成角的余弦值为．19．（1）解：由题意得：，，，，，，，.（2）解：，，则，可能的取值为，；；；；的分布列为：0123数学期望.20．（1）解：∵，∴为正三角形，∴为的中垂线∴，∴与周长相等，由椭圆的定义知，即∴，∴E标准方程为；（2）解：设切线方程为，由题意知，，由①，过点得代入①得②，又点在椭圆上，∴代入②，得，将代入，得，再将代入，整理得，由，得．∴．21．（1）解：依题意得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以，又，当且仅当时取“=”，所以．（2）解：由（1）知当时单调递减，无极值点，不满足条件．当时，令，得，则，所以其两根为，由韦达定理得，又∵，∴，满足条件，令，则，∴，∴，要证只需证，即证，即证，即，令，即证，令，，则，所以在单增，，故结论得证．22．（1）解：将直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程为．∵∴直线l的极坐标方程为∴由曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为.（2）证明：将代入得设点A、B对应的参数为，则∵∴.∴.23．（1）解：时，，当时，，当时，，，由图可知：当时，或，所以的解集为；（2）解：由图可知，∴，由柯西不等式得，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为12.高三理数零诊考试试卷一、单选题1．已知全集，集合，．则（）A．B．C．D．2．已知复数z满足，则（）A．B．C．D．3．某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温，得到如下图表：某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温根据图表判断，以下结论正确的是（）A．8月每天最高气温的平均数低于35℃B．8月每天最高气温的中位数高于40℃C．8月前半月每天最高气温的方差大于后半月最高气温的方差D．8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差4．若，则（）A．B．C．D．5．函数在上的图象大致是（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．20B．40C．70D．1127．中国古代数学名著《九章算术》中“均输”一章有如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少．”意思是“今有竹9节，下部分3节总容量4升，上部分4节总容量3升，且自下而上每节容积成等差数列，问中间二节容积各是多少？”按此规律，中间二节（自下而上第四节和第五节）容积之和为（）A．B．C．D．8．甲、乙、丙、丁4名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A，B，C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区去服务．则甲不在A小区、乙不在B小区服务的概率为（）A．B．C．D．9．如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（）A．B．C．4D．610．已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A为一个顶点，D，F，F分别是所在棱的中点．则满足直线的图形个数是（）A．1B．2C．3D．411．已知函数．给出以下几个结论：①若对任意，均有，则的最小值为2；②若对任意，均有，则的最小值为5；③若在区间上的极小值点有且仅有2个，则．其中，正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12．设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．B．C．D．二、填空题13．在的展开式中，的系数为，则．14．给出两个条件：①，；②当时，（其中为的导函数）．请写出同时满足以上两个条件的一个函数．（写出一个满足条件的函数即可）15．已知数列满足．若对任意，（且）恒成立，则m的取值范围为．16．如图所示的三棱锥中，为等腰直角三角形，且，侧棱，，则经过该三棱锥四个顶点的球的表面积为．三、解答题17．某地区对高 一年级 小学一年级数学20以内加减练习题小学一年级数学20以内练习题小学一年级上册语文教学计划人教版一年级上册语文教学计划新人教版一年级上册语文教学计划 学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：良好及以下优秀合计男450200650女150100250合计600300900附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中，．（1）计算并判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从该地区高一所有学生中，采取随机抽样的方法每次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取3次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的3名学生的体测等级为“优秀”的人数为，求的分布列和数学期望．18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若点D在边BC上，，且，求面积的最大值．19．如图①，为边长为6的等边三角形，E，F分别为AB，AC上靠近A的三等分点，现将沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，且二面角的大小为120°（如图②）．（1）在PC上是否存在点H，使得直线平面PBE？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．（2）求直线PC与平面PBE所成角的正弦值．20．给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（1）求的通项公式；（2）令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．若，，求实数的取值范围．21．已知函数．（1）当时，函数有三个零点，求m取值范围；（2）若，求a的取值范围．22．数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当时，（1）求E的极坐标方程；（2）已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的面积的最大值．23．已知，，且，证明：（1）；（2）．1．C2．A3．D4．A5．D6．C7．A8．B9．B10．B11．D12．C13．14．（答案不唯一）15．16．17．（1）解：依题意，的观测值，故有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系．（2）解：依题意，体测结果等级为“优秀”的概率为，的取值有0，1，2，3，则，，，，则的分布列为：0123P所以的数学期望．18．（1）解：由已知，得，根据正弦定理，得，即，由于，，所以，为锐角，所以．（2）解：由，得，则，所以，所以，，则，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以．即面积的最大值为．19．（1）解：满足条件的点H存在，且为PC上靠近P的三等分点．在PC上取靠近P的三等分点H，连接AP，FH，如图，则AP是平面PAB与平面PAC的交线，依题意，，则有，又平面PBE，平面PBE，因此直线平面PBE，所以在PC上是存在点H，为PC上靠近P的三等分点，使得直线平面PBE.（2）解：取BC中点G，连接AG，交EF于点D，连接PD，因，依题意，，，则为二面角的平面角，即，且平面，而平面，则平面平面，在平面内过P作于O，又平面平面，因此平面，在平面内过O作，显然Ox，AD，OP两两垂直，分别以向量，，的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，所以，，，，设平面PBE的一个法向量为，由，令，得，设直线PC与平面PBE所成角为，则，所以直线PC与平面PBE所成角的正弦值为．20．（1）解：选①，设递增等差数列的公差为，由，，，有，化简得．则，，所以的通项公式为．选②，设递增等差数列的公差为，由，，，有，化简得，即，解得，则，所以的通项公式为．选③，设递增等差数列的公差为，由是与的等差中项，得，即，则有，化简得，即，解得，则，所以的通项公式为．（2）解：由是以2为首项，2为公比的等比数列，得，由（1）知，即有，则，于是得，两式相减得：，因此，又，不等式，等价于，于是得，恒成立，令，则，则时，，即数列递增，当时，，即数列递减，当时，，则，所以实数的取值范围是．21．（1）解：当时，，则，则时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增．所以，时，取得极大值；时，取得极小值．又，，所以，有三个零点时，．（2）解：由得，，．令，则，又设，则，则时，即单调递增；时，即单调递减，所以在处取得极大值，且极大值．①若，即时，此时，则即单调递减，又，则时，，单调递增；时，，单调递减，可知在处取得极大值，且极大值（也即是最大值），所以，则时，符合条件．②若，即时，此时，故存在，使在区间上，，故即单调递增，又，则在区间上，，故在区间上，单调递减，则，不满足条件，综上所述，a的取值范围是．22．（1）解：将，代入曲线E，得，即，所以，E的极坐标方程为；（2）解：不妨设，，即，，则的面积，由于，令，则，，则，故当时，，即的面积的最大值为．23．（1）证明：因为，，，则，，因此，当且仅当，时取等号，所以成立．（2）证明：因，，且，则，因此，当且仅当且，即，时取等号，所以成立．