第四章三角函数、解三角形第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数、选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1.sin2cos3tan4的值().A.小丁0B.大丁0C.等丁0D.不存在解析sin2>0,cos3<0,tan4>0,sin2cos3tan4<0.
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
A2.3兀cos4）落在角0的终边上，且0€[0,2象限角.A.C.解析因P点坐标为（一…咨驾2）,二？在第三象限.答案C若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为()•A.40兀cmB.80兀cmC.40cm2D.80cm2解析72°=令,..S扇形=1aW=1X牛X202=80兀(&n5'225答案B给出下列命题：第二象限角大丁第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；若sin0=sin6,则a与6的终边相同；若cos偎0,则0是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()•A.1B.2C.3D.4解析由丁第一象限角370°不小丁第二象限角100°,故①错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由冗5冗.冗.5冗丁sin6=sin甘，但6与甘的终边不相同，故④错；当0=兀，cos0=—1<0时既不是第二象限角，乂不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.答案A已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角0终边上一点，且sin0=一军5,贝Uy=().5A.—8B.8C.-4D.425解析根据题怠sin0=一言<0及P(4,y)是角0终边上一点，可知0为第四5象限角•再由三角函数的定义得，jy半，乂-y<0,'y=-8(合题W+y5意)，y=8(舍去).综上知y=—8.答案A6•点P从(1,0)出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动刍弧长到达Q点，则3Q点的坐标为().…2’平B.-乎号g-1-乎C31D.一七-2'2解析设a=zPOQ由三角函数定义可知，Q点的坐标(x,y)满足x=cos7.8.9.10函数y=寸2cosx—1的定义域为y=sina,x=—2,y=•，.Q点的坐标为一；，.答案A填空题若6的终边所在直线经过点Pcos学,sin写，贝Usin6=,tan0=.解析因为6的终边所在直线经过点Pcos3j,sin3j，所以6的终边所在直线为y=—x,则6在第二或第四象限.所以sin6=乎或一-2,tan6=—1.答案乎或一乎-1已知点P(tana,cosa)在第三象限，则角a的终边在第限.解析•点P(tana,cosa)在第三象限，tanaV0,cosaV0..••角a在第二象限.答案二设扇形的周长为8cm,面积为4cm2,则扇形的圆心角的弧度数是1解析由题意得S=2(8—2r)r=4,整理得r2—4r+4=0,解得r=2.乂l=4,l故|o|=-=2(rad).答案2由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影解析1B1~2yA2cosx—1>0,.cosx>2所示)•Lf兀一.兀_.x£2k兀一§,2k：t+3(k€Z).答案2k：t—3,2k：t+3(k£Z)三、解答题11.(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式一360
0,tan5<0,cos8<0,兀⑵右00.一个扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.解设圆的半径为rcm,弧长为lcm,1,』。1「1r1则2，解得，1+2r=4,1=2.圆心角a=~=2.如图，过。作OH±AB丁H,则/AOH=1rad.AH=1sin1=sin1(cm),AB=2sin1(cm).如图所示,A,B是单位圆。上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为4E，-,z\AOB为正三角形.55求sinZCOA;(2)求cosZCOB.4解(1)根据二角函数定义可知sinZCOA=5.vAAOB为正三角形，..ZAOB=60°,3乂sinZCOA=],cosZCOA=~,5•••cosZCOB=cos(ZCOA+60)=cosZCOAcos60—sinZCOAsin600314也3—W3•.——525210第2讲同角三角函数的基本关系与诱导
公式
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、选择题cos=(ia.2B.,3~2~解析20ttcos=cos6tt=cos—31—22兀=cosTt兀=—cos^=3i2,故选c.答案C2.已知tan0=2,则sin*2*0+sin0cos0—2coS0=()•A.—43b.5C・-4d.5解析由丁tanM2,贝Usin20+sin0cossin20+sin(cos卜2cos200—2cos20=sin2Hcos20tan20+13.^sina+cosa若…=1,sina—cosa2贝Utan2.a=()•A.B.C.d.3tan2+15.辞tan0—222+2—24解析a=—3,所以tan2a=sina+cosa1tana+11由=S，得=S，所以tansina—cosa2tana—122tana31—tan2a4答案B4.已知f(cosx)=cos3x,贝Uf(sin30）的值为（)•D.A.0解析f(cosx)=cos3x,•••f(sin300)=f(cos600)=cos180°=—1.答案C5.若sin9,cosA.1+成C.1土寸50是方程4x2+2m料m0的两根，WJm的值为（）.-1-V5.-1-.5解析sin0+cosm2'sin9cos9=m4'乂(sinm2彳=0+cos0)2=1+2sin0cos0m1+2,解得：e1±寸5,乂△=4n2—16m0,mKO或m4,e1一逃.答案B6.若&=sin7+sin令+•..+sin筋n€,it-N),则在Si,S2,S100中，正数的个数是)•解析C.86D.100由sin7=—sin罕,sin%=-sin-sinV，sin7兀~7=sin86（个）.故选C.答案C、填空题7.已知cosa5石，且a是弟一象限的角，贝Utan（2兀一a）=13解析由a是第二象限的角，得sina=寸1—cos2a=三tana=4=13cosa12则tan(2兀一a)=—tana12=5.14兀--~7~=0,所以S13=&4=0.同理S27=S28=S41=S42=S55=$6=$9=$0=$3=序4=S97=激=0,共14个，所以在S1,&,•••,S100中，其余各项均大丁0,个数是100—14=8.解析原式=cosa2一1+—l+sinacosa2cosasina9.=cosa0.已知sin解析——2——Psincosa厂2+cosa,且依题意得sina—cosa=sin1p—=cosIa1a+sin—cosaEcos2a则的值为Ttsina—41aTT-=sina2，乂(sina+coso)2+(sina—coso)2=2,即2,(sina+coso)+22=2,故(sina+coso)2=4；乂0,2,因此有sina+10cos厂"27,所以sincos2a=.5a—4f(x)=asin(好R+bcos(cos2a—sin2a业……2sina—cosa=—\/2(sina+coso)=—^~^.x+9+4(a,b,a,6均为非零实数)，若f(2012)已知a为第二象限角,贝Ucosa寸1+tan2a+sina=6,贝Uf(2013)=解析f(2012)=asin(2012兀+o)+bcos(2012兀+9+4=asina+bcos阡4=6,..asina+bcos片2,..f(2013)=asin(2013ho)+bcos(2013士食+4=一asina—bcos阡4=2.答案2解答题,.1+tan兀+a厂11已知1+tan2…=3+2皿,求cos2(兀一a)+sin^2~+a-cos言+a+2sin2(a一兀)的值.解析由已知得储白3+2旧.,•tan2+2汞=y=业4+2/22+争2二cos2(兀一a)+sin3^+兀，，c•aCOS~2+a+2sin=COS2a+(—COSa)(—sina)+2sin2a=cos2a+sinacosa+2sin2acos2a+sinacosa+2sin2a—sin2a+cos2a21+tana+2tana"：21+tana已知sin(3^+"2sin驾+a,求下列各式的值:sina—4cosa(1)5sina+2cosa'(2)sin2a+sin2&TOC\o"1-5"\h\z…、'r3兀°解法一■由sin(3士由=2sin~^+a,得tana=2.⑴原式=tana—42—41.5tana+25X2+26(2)原式=sin2a+2sinccossin2a+2sinocos也sin2a+cos2atan2a+2tana8tan2a+15.法二由已知得sina=2cosa.2cosa—4cosa_1⑴原式=5X2cosa+2cos6卜sin2a+2sinocosasin2a+sin2a8(2)原式=Ma+c、=.2J.2=§sina+4sina是否存在如一^,2,代（0,兀）使等式sin（3佐o）=q^cos]—6,寸3COS（—o）=—^2COS（止食同时成立？若存在，求出a,6的值；若不存在，请说明理由.解假设存在角a,6满足条件，sin咛2sinB,则由已知条件可得3cos厂2cos3由①2+②2，得sin2a+3coS2『2.sin2a=2，.•sina=i^.,:貌—初］,..质］当a=『寸，由②式知cos6=乎，一一兀…—乂（0,兀）二6=6，此时①式成立；当a=-4寸，由②式知cosA乎，TOC\o"1-5"\h\z.兀_…*.乂代（0,兀）...6=g,此时①式不成立，故舍去.存在a=4,片g荷足条件.一…一-兀已知函数f(x)=tan2x+4.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；兀..a.....⑵设&0,4，右f2=2cos2a,求a的大小.解(1)由2x+p2+kgk£Z,得x冬;+站，k£Z.所以f(x)的定义域为x€R|x^8+站，k£Z,f(x)的最小正周期为成⑵由f2=2cos2%得tana+4=2cos2a,.1项sina+4=2(cos2a—sin20),cosa+4sin计cosa.、整理得:=2(cosa+sinc)(cosa—sino).cosa—sina因为a€0,4,所以sina+cos护0.11因Jt(cosa—sinc)2=2，即sin2『分.由a€0,4，得2a€0,?.所以2a=6，即a=衫.第3讲三角函数的图象与性质一、选择题1.函数f(x)=2sinxcosx是().最小正周期为2兀的奇函数最小正周期为2兀的偶函数最小正周期为兀的奇函数最小正周期为兀的偶函数解析f(x)=2sinxcosx=sin2x./.f(x)是最小正周期为兀的奇函数.答案C.一.…L兀兀一，一一、“，I,已知函数f(x)=sin(x+。+<3cos(x+。既一~22是偶函数，M0的值为()•TOC\o"1-5"\h\z兀兀兀A.0B.RC=D.o643•..一...TT解析据已知可得f(x)=2sinx+9+3，若函数为偶函数，则必有9+3=E+兀.兀兀…一兀兀一......S(keZ),乂由丁既—2，2，故有眺三=弓，解得ar,经代入检验付合题2££326意.答案B一、…兀兀函数y=2sin^x-3(00,0<拆兀，直线x=4^^x=亨呈函数f(x)=sin(sx+(D图象的两条相邻的对称轴，贝U4=().A.4B.3C.2葺，一，一.一_、...一.……一….5兀兀一解析由题怠可知函数f(x)的周期T=2X——日=2%故3=1,.••f(x)=sin(x+(D,令x+4=k计2(kCZ),将x=4代入可得4=k计4(kCZ),''0<(|<.兀忙4-答案A、填空题7.定义在R上的函数f(x)既是偶函数乂是周期函数，若f(x)的最小正周期是兀,一.兀.一.5兀....一且当x€0,s时，f(x)=sinx,则f或的值为.235兀.兀3解析f3=f—3=f3=sin3—2-答案书8.函数\/2sinx+-4+2x2+xf(x)=一云耳洞一的最大值为M最小值为m则阱e解析(构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，_x+sinx_,…f(x)=1+,f(x)—1为奇函数，贝Umv1=—(呻1),所以阶ny=2x+cosx2.答案211已知函数f(x)=2(sinx+cosx)—^|sinx—cosx|，则f(x)的值域是.1,1角牛析f(x)=2cosx,=sinxsinxsinAsinB,则z\ABC为钝角三角形；—…一一，,一八，一.……兀右a+b=0,则函数y=asinx—bcosx的图象的一条对称轴方程为x=4.其中是真命题的序号为.解析①m2k^+3；k€Z)?tan厂顼3,而tana=*73?/a=2k：t+§«£Z),.,.①正确.•.•f(x+笑沪|2cos(x+it1|=|—2cosx—1|=|2cosx+1|丰f(x),②错误..cosAcosB>sinAsinB,.cosAcosB—sinAsinB>0,即cos(A+B)>0,-00,函数f(x)=—2asin2x+6+2a+b,少x€0,§时，一50,求g(x)的单调区|可.解(1)x€0,2，..2x+：e6,?..c,兀厂1』十-..sin2x+^£—o，1,乂-a>0,62，..—2asin2x+g[—2a,a]..•f(x)€[b,3a+b],乂一5vf(x)v1,•-b——5,3a+b—1,因此a=2,b=—5.⑵由⑴得a=2,b=—5,.-.f(x)=-4sin2x+g—1,.•兀…c,7兀』g(x)=fx+2=—4sin2x+~g-1=4sin2x+£—1,6乂由igg(x)>0,得g(x)>1,TOC\o"1-5"\h\z项，，一项1..4sin2x+公—1>1,..sin2x+公>~,6，62_兀_兀_5Tt2k7t+R<2x+z<2k：t+£,k£Z,666其中当2kTt+6<2x+事2S+2，k£Z时，g(x)单调递增，即k2x<牌+言，kez,-兀•■-g(x)的单调增区|可为Ek：t+6,k€Z.5乂•.•少2k：t+2<2x+6<2k：t+k£Z时，g(x)单调递减，即k60)的最小正周期为兀，则该函数的图像()A.关丁点—,0对称B一，汗,一C.关丁点—,0对称D解析由已知，3=2,所以f(x)=sin.图像关丁点—,0中心对称，故选A.3答案A.关丁直线x=三■对称4■Tt.关丁直线x=；对称32x+-3，因为f言=0,所以函数2.要得到函数ycos(2x1)的图像，只要将函数ycos2x的图像(3.A.向左平■移1个单位C.向左平■移1个单位2解析因为ycos(2x1)cos(2(x故选C.答案CB.向右平■移1个单位D.向右平■移1个单位2：),所以将ycos2x向左平■移1个单位,函数f(x)=Asin(」x+]A>0,w>0,|(H<2的部分图,.一-—-江.、象如图所示，则将y=f(x)的图象向右平移&个单位后，得到的图象对应的函数解析式为()•A.y=sin2xC.y=sin2x+等B.y=cos2x一兀D.y=sin2x—会311兀兀3兀一2兀,解析由所给图象知a=1,4丁=节一6=~4,t=兀，所以3=t=2,由.一兀.兀，I兀兀J一，I兀—一,、》_一兀一■一sin2X6+4=1,|《＜2得§+4=2，解得4=g,所以f(x)=sin2x+6，则f(x)兀…一，，,一一，兀=sin2x+6的图象向右平移6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y=.-兀兀一―兀，，E_sin2x—6+6=sin2x—甘，故选D.答案D4.将函数y=sin2x的图象向左平■移数，则4的最小值为MQ0）个单位，所得图象对应的函数为偶函()•7tA-6TtB-37tC-4TtD.衫解析将函数y=sin2x的图象向左平■移4个单位，得到函数y=sin2（x+4）=，•一一，-一、.…兀-，山、，兀sin（2x+24）的图象，由题意得2—^+k^CZ）,故4的最小值为4.答案C5.如图，为了研究钟
表
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与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P（x,y）.若初始位置为P0¥3,2,当秒针从P0（注：此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）.P(玷)A.y=sin30t+6B-y=sin_60t-6C.y=sin—兀Tt~t+—30t十6D.兀jtV=sin—孙—3解析由题意可得，函数的初相位是Tt....._.排除B,D.乂函数周期是60（秒）且秒一2兀兀一it...针按顺时针旋转，即T=；=60,所以棚|=和，即3=一和，故选C.3113030答案C6.电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asin(3t+4)(A>0,兀，，一，…一~一…，1一，3>0,0<4<五）的图像如图所小，则当t=液秒电流强度是（）A.-5安B.5安C.5：'3安D10安解析由函数图像知A=10,T411T-—T___—__.2300300100—12..T=渥=••3=100兀.503I=10sin(100兀t+4).乂.•点佥，10在图像上,..10=10sin1100兀XTTT+4300兀.，兀.，兀3+4=~2，•,4—"6,..一...兀..J10sin10眼"补,1…•少t=液时，1=10sin100兀答案A、填空题,_兀一，一兀…一已知函数f(x)=sin(3x+4)3>0,一~2<"2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2寸2,WJ3=.解析由已知两相邻最高点和最低点的距离为对2,而f(X)max—f(X)min=2,由勾股定理可得2=—2^/2―=2,•，.T=4,•，.3=~r~=五.已知函数f(x)=3sinsx—&(co>0)和g(x)=2cos(2x+©+1的图象的对称轴完全相同，若x£0,2,贝Uf(x)的取值范围是.解析寸仅)与g(x)的图象的对称轴完全相同，二f(x)与g(x)的最小正周期相等，-_一_.一项一一一兀兀，c兀，5兀1.3>0,.3=2,・f(x)=3sin2x—6,/00,3>0)的一个周期内，当x=M时有最9大值2，当x=穿时有最小值—2，若4e。，号，贝U函数解析式f(x)=TOC\o"1-5"\h\z2922.解析首先易知A=!由丁x=W~时f(x)有最大值1,当x=藉时f(x)有最2929—4兀兀、一2兀-^1.…兀,1小值—2，所以T=9—9X2=~3,3=3.乂2Sin3X9+4=§,0,，解得4=%■，故f(x)=1sin3x+j.2626.1c兀答案-sin3x+—6解答题已知函数f(x)=J3sin2x+2cos2x.g(x)..—.It、.一.…(1)将f(x)的图像向右平移仍个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数的图像，求g(x)的解析式；⑵求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.次,、》厂cos2x+1解(1)依题意f(x)=J3sin2x+22一=d§sin2x+cos2x+1一.一.兀.=2sin2x+—+16一一兀_兀兀将f(x)的图像向右平移衫个单位长度，得到函数f1(x)=2sin2x一衫+—+1=2sin2x+1的图像，该函数的周期为兀，若将其周期变为2兀，则得g(x)=2sinx+1.⑵函数f(x)的最小正周期为T=兀，,兀兀兀当2k兀一—<2x+-^<2k兀+—(k€Z)时，函数单调递增，-一，一一兀兀■一解得k兀一—0),函数f(x)=mn的取大值为6.⑴求A;.…一一一(2)将函数y=f(x)的图象向左平■移衫个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩15兀…短为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在0,为上的值域.解(1)f(x)=mn=V3Asinxcosx+Acos2x"31-项=A2sin2x+2cos2x=Asin2x+&.因为A>0,由题意知A=6._r—一一-兀⑵由(1)知f(x)=6sin2x+g.…亦》、一、一一将函数y=f(x)的图象向左平移为个单位后得到y=6sin2x+仍+g=6sin2x+3的图象；,,一」一，，，1，再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=兀，，一一6sin4x+3的图象.…rr.,、一・.兀因此g(x)=6sin4x+3.因为x£0,24,所以4x+*37T,一5兀故g(x)在0,24上的值域为[—3,6].已知函数f(x)=2>/3sin2+4cos|+4—sin(x+兀)求f(x)的最小正周期；1T一…―，....若将f(x)的图象向右平■移么个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,兀上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)=^/3sinx+2+sinx=gcosx+sinx=2^cosx+；sinxc•，项=2sinx+R,3所以f(x)的最小正周期为2兀.1T一――，(2)v将f(x)的图象向右平■移6个单位，得到函数g(x)的图象，,、.卫一.-项.玉..g(x)=fx—6=2sin[x—6+3]一..项=2sinx+6..•x£[0,兀J..x+多67r,.••当x+：=2，即x=3s寸，sinx+6=1,g(x)取得最大值2..亦7亦….1T1当x+6=亏，即x=兀时，sinx+甘=—2g(x)取得取小值一1.设函数f(x)=¥2cos2x+4+sin2x.求f(x)的最小正周期；1设函数g(x)对任总x€R,有gx+,=g(x),且少x€0,]时，g(x)=2一f(x).求g(x)在区间[―兀，0]上的解析式.解(1)f(x)=*cos2x+4+sin2x=-22cos2x8琴-sin2xsin^+1-黄*11—=2-2$in2x,故f(x)的最小正周期为Tt.，S…1一…1…(2)少x€0,2时，g(x)=2—f(x)=]sin2x,故当x£-项,0时，x+非0,2.由丁对任息x€R,gx+2=g(x),1从而g(x)=gx+2=^sin2x+211._=2$in(4t2x)=—2sin2x.当xe-tt,—2时，x+k0,2.11■一从而g(x)=g(x+32sin[2(x+兀)^2sin2x.综合①、②得g(x)在［—g0］上的解析式为1.-厂兀1.c厂兀c—^sin2x,x€—2，0.2Sin2x,x€—务2，g(x)=第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切、选择题1.已知锐角a满足cos2a=cos7t„.a，贝usin2a等丁(1a.2解析由cos27ta得(cosa—sina)(cosa+sina)=,2"2(cos+sina)由a为锐角知cosa+sina丰0...cosa—sin号平方得1—sin2..sin2a1=2.答案A2若1+cos2a1一2'则tan2a等丁()•A.4B.C.43D.解析22cosacosa1广2'•tan2tana『2,-tan2a=2——43'故选D.1cos2asin2a2sinocosasin答案D3.已知a6都是锐角，若sin6=，贝Ua+6=()•TtA.彳B.3tt~4解析由所以cosa=p1—sina=2「551—sin=^10^.所以cos(a+6)=cosa-cos6—sin-sin6=一一.兀所以a+6=-.4.已知sin辞cosM40<，贝Usin卜cos349的值为()•B.C.33D.解析•.'sin奸cos4一3..(sin0+cos。2=1+sin20=;,'sin2A*乂990<«4，..sin偎cos0..'sin卜cos.答案B1L5.右tan咛lg(10a),tanA1ga,且A.1B.110C.1或*tana+tan6解析tan(a+食=1?二1—tanotan6—sin卜cos02=-\1—sin2M a+片4，则实数a的值为()•D.1或101lg10a+lga:1=1?lg2a+lga=0,所1—lg10alg-以lga=0或lga=—1,-,1即a=1成而.答案C6.已知cos一布+sin则sin7兀—+—的值是（）.D.解析cos兀..a——+sin433V?2sin3+-^cos=%3?sin5Tta+-所以sin7tt~6=—sin45.答案C、填空题解析Tt1一-兀a+—=一a€0,=,43,兀兀Ttae0,2，a+—€—447.已知cos贝Ucosa=3tt4，二sin2「23.故cos=cos=cos7t+嘉cos4兀+二—4-4■+sina[7t]aTt+7sin77t1一一一=—x卜+^^x323.22.224+2=68.设a为锐角，若cosTta+64=5,-兀，，山、，sin2a+12的值为TOC\o"1-5"\h\z，一冗4解析•.•a为锐角且cosa+-=三,65.，项厂项登—一,53,,66，3,..sina+6—5.兀.sin2a+12顼=sin2计6Tt=sin2a+6cosTt4—cos2Tta+6sinTt4I—.Tt=2sin计6cos项a+62coSTta+6一1乎2x52-112.27.217.225—50=50"止172答案顶~函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是.解析f(x)=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+/sin2x+-4,•••f(x)min=1-辨.答案1—也方程x2+3ax+3a+1=0(a>2)的两根为tanA,tanB,且A,B€一$2,贝UA+B=.解析由题意知tanA+tanB=—3a<—6,tanAtanB=3a+1>7,..tanA<0,tanB<0,tanA+tanB—3atan(A+B)===1.3jt41-tanAtanB1-3a+1A,B€-项2,项2，..A,B€兀--2’0，3jtA+B€(-务。），..A+B=-一4.答案解答题已知函数f(x)=sin2x+3+sin2x—3+2coSx—1,x€R.33(1)求函数f(x)的最小正周期；.…一-…一一.…(2)求函数f(x)在区间—^,4上的取大值和取小值.7t7t解(1)f(x)=sin2xcos^+cos2xsm§+sin2xco林一cos2x.兀，C•Csin^+cos2x=sin2x+cos2x=浆sin2x+；.~…2tt所以，f(x)的取小正周期T=—=tt.(2)因为f(x)在区间一:，8上是增函数，在区间8，4上是减函数.乂f—4=-1,f8=寸2,f4=1,故函数f(x)在区间一：，4上的最大值为寸2,最小值为—1.一.3、化…兀.°兀3“兀兀已知sina+cos咛~5-,a€0,4,sin6—4=氐].(1)求sin2a和tan2a的值；⑵求cos(a+2日的值.29解(1)由题息得(sina+cosc)=E，—即1+sin2a=W,sin2a=£.55乂2a€0,§,cos2a=1一sin22咛-,tan2o==sin2a4cos2「3厂卫卫c兀LC项.C卫3(2)..既4,2,6—4^0,4,sin6—4=-,jt..cos6—44=5,一-一兀一兀一兀24丁是sin2p4=2sin阡4cos6—4=云.「.-c项……24乂sin26—4=—cos2.6,.cos2.6=—25,十―兀.…7乂22，tt,..sin2A25,个21+cos2a4c兀乂cos厂2=5，aC0,4,_5--cosa=,sina=苓.cos(a+2印=cosocos2阡sinosin20—瓯乂24也Z_也5—5X—25—5X25一—25-函数f(x)=6cos2-y+V3sin3x—3(w>0)在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形.求3的值及函数f(x)的值域；若f(x0)=853,且xo€-孚3，求f(x0+1)的值.解(1)由已知可得，f(x)=3cos^x+寸3sinsx—FT・Tt=23sin3x+S,3乂正三角形ABC的高为2寸3,从而BC=4,一一、…一2江江所以函数f(x)的周期T=4X2=8,即一=8,3=734函数f(x)的值域为［一2寸3,2何83⑵因为f(xo)=5,5由(1)有f(x0)=20sin<0兀8寸3了+3=5，即sin7x0兀4+———十35'由x°e27x0兀厂3,知才+3^项2'曲、jjx^项所以cos4+3=「，r-<0兀兀故f(x0+1)=2/3sin茸+4+3asin6；.八-八厂兀,tan6=一三，6£方，兀3乙sin2一a=cosa.+6)Ttsin(a=cos?-a+Tt=cos~~a+-6L7X0兀兀=23sin—+3+日L<0兀兀7X3兀兀=23sin—+3cos4+cos-^+3sin4=2例|x乎+fx普=誓.(1)①证明两角和的余弦公式C(a+w:cos(a+6)=cosacos6—sin②由G.+6)推导两角和的正弦公式S(…):sin(a+6)=sinacos6+cos4厂3(2)已知cosa=—a€兀，万兀求cos(a+6).解(1)证明①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆。，并作出角a,6与一6,使角a的始边为Ox轴非负半轴，交。。丁点P1,终边交O。丁点B；角6的始边为OP，终边交O。丁点P3,角一6的始边为OP,终边交O。丁点R.则R(1,0),P2(cosa,sina),P3(cos(a+6),sin(a+6)),P4(cos(—6),sin(—6)).由RR=P2P4及两点间的距离公式，得[cos(a+6)—1]+sin(a+6)=[cos(—6)—cosa]+[sin(—6)—sina]2,展开并整理，得2—2cos(a+6)=2—2(cosacos6—sinasin6).cos(a+6)=cosacos6—sinasin6.②由①易得，cos~2—a=sina,=cos兀,c、•兀.,c、2—acos(—6)—sin~2—asin(—6)=sinacos6+cosasin6.sin(a+6)=sinacos6+cosasin6.(2).•a€cosa=一匚,54二sinc厂兀.c110布.6ett,tan6=—3,31010cos(a+6)=cosacos6—sinasin6-5-碧--3x票誓.第6讲正弦定理和余弦定理、选择题在△AB®,『60°,A『＜3,BJ寸2,那么A等丁().A.135°B.105°C.45°D.75°BCAB.232解析由正弦正理知不=赢飞，即方=--60—，所以sinA=%,乂由题知，B&AB,•.A=45.答案C已知a,b,c是△ABCH边之长，若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,贝U角C的大小为().A.60°B.90°C.120°D.150°解析由(a+b—c)(a+b+c)=ab,得(a+b)—c=ab,c2=a2+b2+ab=a2+b2—2abcosC,-1-—--cosC=—2,--C=120答案C在^ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数歹0,且a=1,b=寸3，贝USabc=（）•TOC\o"1-5"\h\zAa/2B点C.乎D.2解析.A,B,C成等差数列，..A+C=2B,.・旧=60°.乂a=1,b=V3，•湍A=Si^B’sinA=aSbL§=隽岸2，1.一3.A=30,..C=90..•Szabc=万X1X\[3=2答案C)•在z\ABC中，AC=V?,BC=2,B=60°,见JBC边上的高等丁(姬瓯V3+媚V3+顿A.2B.2C.2D.4解析设AB=c,BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2=c2+BC2—2BCccos60,即7=c2+4—4ccos60,即c—2c—3—0,•c—3(负值舍去).乂h=csin60=3x呼=普3,故选B.c,且a=入，b=寸3入（入＞0）,答案B.在zXABC^,角A、B、C的对边分别为a、b、TOC\o"1-5"\h\zA=45°,则满足此条件的三角形个数是（）A.0B.1C.2D.无数个解析直接根据正弦定理可得Sin―A=Sin—B，可得sinB=—=0."":45—=¥6>i,没有意义，故满足条件的三角形的个数为答案A.已知^ABC的面积为华AC=很，ZABC=本则△ABC的周长等丁()•A.3+寿B.3扼C.2+<3D.^解析由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB,即a2+c2—ac=3.乂MBC的面积为2acsin3=乎，即ac=2,所以a2+c2+2ac=9,所以a+c=3,即a+c+b=3+V3,故选A.答案A、填空题如图，△ABC中，A^=AE2,BC^2寸3,点D在BC边上，ZAD@45,则AD的长度等丁.解析在^ABC^,A『AC^2,BC^2顼3,•••cosC=乎，..sin『2；在△AD"由正弦定理得，~^D；=.ACMA4.，X1=VisinCsin/ADCsin452v答案，2已知△ABC的三边长成公比为也的等比数列，则其最大角的余弦值为解析依题意得，^ABC的三边长分别为a,戒a,2a(a>0),贝U最大边2a所对的角的余弦值为:a2+■,2a2—2a2业2a•2a答案在RtAABC中，C=90°,且A,B,C所对的边a,b,c满足a+b=cx,则实数x的取值范围是.a+bsinA+sinBl兀兀兀解析x=k=sinC=sinA+cosA=«sinA+4.乂AC0,2,"兀3兀2
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