(完满版)线性代数
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总结(完满版)线性代数知识点总结(完满版)线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和aijn(1)(j1j2..jn)a1ja2j2...anjn11j2jn（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式DDT）②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比率，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。④行列式拥有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）张开：余子式Mij、代数余子式Aij(1)ijMij定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法规：非齐次线性方程组：当系数行列式D0时，有唯一解：xjDj(j1、2n)D齐次线性方程组：当系数行列式D10时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特别行列式：a11a12a13a11a21a31①转置行列式：a21a22a23a12a22a32a31a32a33a13a23a33②对称行列式:aijaji③反对称行列式:aijaji奇数阶的反对称行列式值为零a11a12a13④三线性行列式:a21a220
方法
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：用k1a22把a21化为零，。。化为三角形行列式a310a33⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定法（二三或零元素多的）化零法（比率）化三角形行列式法、降法、升法、法、第二章矩阵矩的看法：Am*n（零矩、矩、行矩、列矩、n方、相等矩)矩的运算：加法（同型矩）---------交、合律数乘kA(kaij)m*n---------分配、合律lA*B(aik)m*l*(bkj)l*n(aikbkj)m*n乘法1注意什么候有意一般AB=BA，不足消去律；由AB=0，不能够得A=0或B=0置(AT)TA(AB)TATBT(kA)TkAT(AB)TBTAT(反序定理)方：Ak1Ak2Ak1k2(Ak1)k2Ak1k2几种特其他矩：角矩：若AB都是N角，k是数，kA、A+B、AB都是n角数量矩：相当于一个数（若⋯⋯）位矩、上（下）三角形矩（若⋯⋯）称矩反称矩梯型矩：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0分矩：加法，数乘，乘法：似，置：每置并且每个子也要置注：把分出来的小矩看作是元素逆矩：A是N方，若存在N矩B的AB=BA=I称A是可逆的，A1B(非奇异矩、奇异矩|A|=0、陪同矩)初等1、交两行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的K倍加到另一行（列）初等不改矩的可逆性初等矩都可逆初等矩：位矩一次初等获取的（倍乘倍加）等价准形矩DrIrOOO矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A可逆，则满秩若A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转变成
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式或阶梯形矩阵与行列式的联系与差异：都是数
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；行列式行数列数相同，矩阵不一样样；行列式最后是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵(kaij)nk(aij)n，行列式kaijnknaijn逆矩阵注：①AB=BA=I则A与B必然是方阵②BA=AB=I则A与B必然互逆；③不是全部的方阵都存在逆矩阵；④若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且(A1)1A2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且(kA)11A1k3、可逆矩阵A的转置AT也是可逆的，且(AT)1(A1)T4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且(AB)1B1A1但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不用然可逆，即即可逆，但(AB)A1B1A为N阶方阵，若|A|=0，则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。5、若A可逆，则A11A陪同矩阵：A为N阶方阵，陪同矩阵：A*A11A12（代数余子式）A21A22特别矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆）AB1111、分块矩阵DAABCO则D1COC1A1A11A212、准对角矩阵A，则A1A2A31A31A4A43、AA*A*AAI4、A*AA1（A可逆）5、A*An16、A*1A1*1A（A可逆）A7、A*TAT*8、AB*B*A*判断矩阵可否可逆：充要条件是A0，此时A11A*A求逆矩阵的方法：定义法AA1I陪同矩阵法A1A*A初等变换法A|InIn|A1只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系：设Aaijm*n是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换获取的矩阵，等于用相同的m阶初等矩阵左乘以A：对A的列实行一次初等变换获取的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以A（行变左乘，列变右乘）第三章线性方程组消元法非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r当r=n时，有唯一解；当rn时，有无量多解r(AB)r(B)，无解齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)
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