随机信号分析常建平李海林版课后习题答案

由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析　第三章习题答案、随机过程X(t)=Acos(tB)，其中A是均值为2，方差为1的高斯变量，B是（0，2?）上均匀分布的随机变量，且A和B独立。求（1） 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 X(t)是平稳过程。（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。（3）画出该随机过程的一个样本函数。（1）（2）3-1已知平稳过程X(t)的功率谱密度为GX​(ω)=(ω216)32​，求：该过程的平均功率？ω取值在(−4,4)范围内的平均功率？解3-7如图3.10所示，系统的输入X(t)为平稳过程，系统的输出为Y(t)=X(t)−X(t−T)。证明：输出Y(t)的功率谱密度为GY​(ω)=2GX​(ω)(1−cosωT)3-9已知平稳过程X(t)和Y(t)相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为令新的随机过程证明X(t)和Y(t)联合平稳；求Z(t)的功率谱密度GZ​(ω)？求X(t)和Y(t)的互谱密度GXY​(ω)？求X(t)和Z(t)的互相关函数RXZ​(τ)？⑤求V(t)和Z(t)的互相关函数RVZ​(τ)解: (1)X(t)、Y(t)都平稳RX​(τ)=F−1[GX​(ω​)​]=2e−4∣τ​∣E2[X(t)]=RX​(∞)=0⇒E[X(t)]=0RY​(τ)=δ(τ​)−2e−4∣τ​∣⇒E[Y(t)]=0∵X(t)与Y(t)独立∴RXY​(t,tτ)=E[X(t)]⋅E[Y(tτ)]=0⇒X(t)与Y(t)联合平稳(2)Z(t)=X(t)Y(t)RZ​(τ)=E[Z(t)Z(tτ)]=E[[X(t)Y(t)][X(tτ)Y(tτ)]​]=RX​(τ)RYX​(τ)RXY​(τ)RY​(τ)∵RXY​(τ)=0​​∴RZ​(τ)=RX​(τ)RY​(τ)∴GZ​(ω)=GX​(ω)GY​(ω)=ω216ω216​=1(3)RXY​(τ)=0→GXY​(ω)=0(4)RXZ​(τ)=E[X(t)Z(tτ)]=E{X(t)[X(tτ)Y(tτ)​]​}​​​=RX​(τ)RXY​(τ)=RX​(τ)=F−1[GX​(ω)]=2e−4∣τ∣(5)RVZ​(τ)=E[V(t)Z(tτ)]​​​=E{[X(t)−Y(t)][X(tτ)Y(tτ)]​}​​​=RX​(τ)−RY​(τ)​​​=−δ(τ)4e−4∣τ∣3-11已知可微平稳过程X(t)的自相关函数为RX​(τ)=2exp[−τ2]，其导数为Y(t)=X′(t)。求互谱密度GXY​(ω)和功率谱密度GY​(ω)？Ⅰ.平稳过程 维纳－辛钦定理GX​(ω​)F−1F​​RX​(τ)Ⅱ.2-17已知平稳过程X(t)的均方可导，Y(t)=X′(t)。证明X(t),Y(t)的互相关函数和Y(t)的自相关函数分别为Ⅲ.傅立叶变换的微分性质解:GX​(ω)=F[RX​(τ)]=F[2e−τ2]=2π​⋅e−4ω2​高斯脉冲e−(τt​​)2⇔π​τe−(2τω​​)2P279表第28个exp{−2σ2t2​​}⇔σ2π​exp{−2σ2ω2​​}利用傅立叶变换的微分特性RXY​(τ)=RX′​(τ)GXY​(ω)=jωGX​(ω)=2π​jω⋅e−4ω2​RY​(τ)=−RX′′​(τ)GY​(ω)=−(jω)2GX​(ω)=2π​ω2⋅e−4ω2​3-17已知平稳过程X(t)的物理功率谱密度为FX​(ω)=4，求X(t)的功率谱密度GX​(ω)和自相关函数RX​(τ)？画出FX​(ω),GX​(ω),RX​(τ)的图形。判断过程X(t)是白噪声还是色噪声？给出理由白噪声的定义若平稳随机过程的均值为零，功率谱密度在整个频率轴(−∞,∞)上均匀分布，满足       其中N0​为正实常数，则称此过程为白噪声过程，简称白噪声。随机信号分析　第四章习题答案4-4设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)=U(t)－U(t－0.5) 它的输入是功率谱密度为10V2/Hz的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数4-5已知系统的单位冲激响应h(t)=(1−t)[U(t)−U(t−1)]，其输入平稳信号的自相关函数为RX​(τ)=2δ(τ)9，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？分析：直流功率＝直流分量的平方解: 输入平稳输出的直流分量 输出的直流功率4-7已知如图4.21所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为N0​的白噪声，求：系统的传递函数H(ω)？输出Z(t)的均方值？其中∫0∞​x2[sin(ax)]2​dx=∫0∞​a2[Sa(ax)]2dx=2π​∣∣∣​a​∣∣∣​4-11已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为求此稳定系统的单位冲激响应h(t)？解：4-12已知系统输入信号的功率谱密度为设计一稳定的线性系统H(ω)，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：用复频率代替s=jω因式分解∣∣∣​H(s​)​∣∣∣​2=H(s)⋅H(−s)选择依据：系统是稳定的物理可实现系统,所有极点都在左半平面4-14功率谱密度为N0​/2的白噪声作用于∣∣∣​H(0)​∣∣∣​=2的低通网络上，等效噪声带宽为XHMHz。若在1Ω电阻上的输出平均功率为0.1W。求N0​的值？书P162 △fe​=2πΔωe​​单位为HZ​，故本题Δωe​=2π△fe​=2π⋅XH⋅106解：对于低通情况PY​=2π1​∫−∞∞​GY​(ω​)dω=2π1​∫−∞∞​GX​(ω​)∣∣∣​H(ω)​∣∣∣​2dω=2π1​Δωe​⋅N0​⋅∣∣∣​H(ω)​∣∣∣​max2​或者调用公式图4.24习题4-184-18如图4.24所示的线性系统，系统输入W(t)是零均值，物理谱密度为1的白噪声，且h(t)=e−tU(t)。判断X(t)和Y(t)分别服从什么分布？给出理由。证明Y(t)是严平稳过程。求W(t)和X(t)的互相关函数，Y(t)的功率谱密度？写出Y(t)的一维概率密度表达式？判断同一时刻，X(t)和Y(t)是否独立？给出理由。解：W(t)是白噪声（白噪声带宽无限，由定义），线性系统h(t)=e−tU(t)，系统传递函数H(ω)=1jω1​，是个低通线性系统（带宽有限）由4.5节结论2若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布可知，X(t)为高斯过程。由4.5节结论1可知，Y(t)为高斯过程。⇒X(t)和Y(t)服从高斯分布证明Y(t)是严平稳过程证：W(t)是白噪声（宽平稳过程），通过线性系统的输出Y(t)也是宽平稳过程（4.2.2结论1）。对于高斯过程，宽平稳和严平稳等价。求W(t)和X(t)的互相关函数，Y(t)的功率谱密度习题3-7的结论GY​(ω)=2GX​(ω)•(1−cosωT​)④求Y(t)一维概率密度表达式⎩⎪⎨⎪⎧​Y(t​)是高斯过程输入零均值,输出零均值σ2=RY​(0)=21​[1−exp(−T)​]​，则易得思考1：上述随机过程的一维概率密度表达式中没有时间参量t，根据Y(t)严平稳过程的特性也可以推到。思考2：试着写出这个过程一维、二维的概率密度和特征函数形式。⑤判断同一时刻，X(t)和Y(t)是否独立？给出理由X(t)和Y(t)独立（高斯过程） 等价 互不相关（零均值）等价 正交X(t)和Y(t)联合平稳，再由两者的相互关系可得RXY​(τ)=E[X(t)Y(tτ)​]=E[X(t)X(tτ)−X(t)X(tτ−T)​]=RX​(τ)−RX​(τ−T)⇒RXY​(0)=RX​(0)−RX​(−T)=41​[1−exp(−∣∣∣​T​∣∣∣​)​]​=0即不正交⇒X(t)和Y(t)在同一时刻不独立。