二次函数知识点总结

二次 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数知识点总结二次函数知识点总结二次函数知识点总结二次函数知识点一、二次函数观点：1．二次函数的观点：一般地，形如yax2bxca，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这（里需要强调：和一元二次方程近似，二次项系数a0，而b，c能够为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数yax2bxc的构造特点：⑴等号左边是函数，右边是对于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：yax2的性质：的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向极点坐标对称轴性质0，0x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随a0向上y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值0．0，0x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值0．yax2c的性质：上加下减。a的符号开口方向极点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随a0向上0，cy轴x的增大而减小；x0时，y有最小值c．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下0，cy轴x的增大而增大；x0时，y有最大值c．23.yaxh的性质：1左加右减。a的符号开口方向极点坐标对称轴性质h，0xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随a0向上X=hx的增大而减小；xh时，y有最小值0．h，0xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0向下X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值0．4.yax2k的性质：ha的符号开口方向极点坐标对称轴性质a0h，kxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随向上X=hx的增大而减小；xh时，y有最小值k．h，kxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0向下X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值k．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转变成极点式yaxh2h，k；k，确定其极点坐标⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其极点平移到h，k处，详细平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．归纳成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴yax2bxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yax2bxc变成2yax2bxcm（或yax2bxcm）⑵yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yax2bxc变成ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）四、二次函数yax2k与yax2bxc的比较h从解析式上看，yaxh2ax2bxc是两种不同的表达形式，后者经过配方能够获得前k与y2b2b，k4acb2者，即yaxb4ac，其中h．2a4a2a4a五、二次函数yax2bxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为极点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及极点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点绘图.一般我们选用的五点为：极点、与y轴的交点0，c、以及0，c对于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，极点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数yax2bxc的性质b，极点坐标为b，4acb21.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x．2a2a4a当xb时，y随x的增大而减小；当xb时，y随x的增大而增大；当xb时，y有最小2a2a2a2值4acb．4ab，极点坐标为2b时，y随2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb，4acb．当x2a2a4a2abb时，y有最大值4ac2x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当xb．2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.极点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都能够化成一般式或极点式，但并非所有的二次函数都能够写成交点式，只3有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才能够用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式能够互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵在a0的前提下，结论恰好与上述相反，即当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的地点．bab的符号的判断：对称轴x在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，归纳的说就是2a“左同右异”总结：常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的地点．总之，只需a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．4二次函数解析式确实定：根据已知条件确定二次函数解析式，往常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适合的形式，才能使解题简易．一般来说，有如下几种情况：已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；已知抛物线上纵坐标相同的两点，常采用极点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，能够用一般式或极点式表达对于x轴对称y2bx关c于x轴对称后，获得的解析式是yax2bxc；axyax2yaxh2hk对于x轴对称后，获得的解析式是k；对于y轴对称y2bxcyax2bxcax；对于y轴对称后，获得的解析式是yax2k对于y轴对称后，获得的解析式是yaxh2k；h对于原点对称y2bx关c于原点对称后，获得的解析式是yax2bxc；axyax2关k于原点对称后，获得的解析式是yaxh2hk；4.对于极点对称（即：抛物线绕极点旋转180°）y2bxc2b2axyaxbxc；对于极点对称后，获得的解析式是2ayax2k对于极点对称后，获得的解析式是yaxh2hk．对于点m，n对称2k对于点22nkyaxhm，n对称后，获得的解析式是yaxh2m根据对称的性质，显然不论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，能够依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的极点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的极点坐标及开口方向，5然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次24ac.方程ax2bxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1ba②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当a0时，图象落在x轴的上方，不论x为任何实数，都有y0；2'当a0时，图象落在x轴的下方，不论x为任何实数，都有y0．2.抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转变为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转变为极点式；⑶根据图象的地点判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的地点，要数形联合；⑷二次函数的图象对于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.0抛物线与x轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与x轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点0抛物线与x轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.6⑸交点与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭露二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参照：y=2x2y=x22y=2x2y=-2y=-x2y=-2x27y=2x2+2y=3(x+4)2y=3x2y=2x2y=3(x-2)2y=2x2-4y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大收益最大面积是多少二次函数考察重点与常有题型81．考察二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y(m2)x2m2m2的图像经过原点，则m的值是2．综合考察正比率、反比率、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考察两个函数的图像，试题种类为选择题，如：如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大概是（）yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3．考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频次很高，习题种类有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x5，求这条抛物线的解析式。34．考察用配方法求抛物线的极点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线yax2bxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－32（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和极点坐标.．考察代数与几何的综合能力，常有的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的地点确定系数的符号例1（1）二次函数yax2bxc的图像如图1，则点M(b,c)在（）aA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个(1)(2)9【点评】弄清抛物线的地点与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的重点．例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4a+cO，其中正确结论的个数为()A1个B.2个C.3个D．4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：对于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的极点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D．(3，2)答案：C例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．1）写出y与x的关系式；2）当x=2，3.5时，y分别是多少？3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线极点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=1x2+x-5．21）用配方法求它的极点坐标和对称轴．2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．【点评】此题（1）是对二次函数的“基本方法”的考察，第（2）问主要考察二次函数与一元二次方程的关系．例6已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于(,0)，两点，.x1,0)(x1x2)AB(x2交y轴负半轴于C点，且知足3AO=OB．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明原因．(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，10则x1·x2=3<0，又∵x1O，x1∠ACO．例7、“已知函数y1x2bxc的图象经过点A（c，－2），2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。1）根据已知和结论中现有的信息，你可否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明原因。2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适合的条件，把原题补充完整。点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”看作已知来用，再联合条件“图象经过点A（c，－2）”，就能够列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只需给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就能够了。而从不同的角度考虑能够添加出不同的条件，能够考虑再给图象上的一个随意点的坐标，能够给出极点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。[解答]（1）根据y1x2bxc的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，21c2bcc2,2得b3,12b3,解得c2.11所以所求二次函数解析式为1232.y2xx图象如下图。y=0，得1（2）在解析式中令x23x20，解得x135,x235.2所以能够填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(35,0).令x=3代入解析式，得y5,125所以抛物线232yxx的极点坐标为(3,),22所以也能够填抛物线的极点坐标为(3,5)等等。2函数主要关注：经过不同的途径（图象、解析式等）认识函数的详细特点；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与有关知识的联系。用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．【评析】此题是一道代数几何综合题，把相像三角形与二次函数的知识有机的联合在一同，能很好考察学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）?与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010若日销售量y是销售价x的一次函数．1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；2）要使每天的销售收益最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每天销售收益是多少元？15kb25,【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则解得k=-1，b=40，?即一次函数表达2kb20式为y=-x+40．（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售收益为w元w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．12产品的销售价应定为25元，此时每天获得最大销售收益为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题近似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，?“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）?问的求解依赖配方法或最值公式，而不是解方程．例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如下图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5m处．绳子在甩到最高处时恰好经过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m剖析：此题考察二次函数的应用答案：B13