子午线收敛角的计算公式与计算精度分析

子午线收敛角的计算公式与计算精度分析应红立（中国矿业大学环境与测绘学院）摘要：介绍了子午线收敛角的概念和计算方法，采用大地坐标五次项展开式计算值近似地作为子午线收敛角的真值，分析了随纬度纬度、经差的变化规律，分析了在经差3．5°，纬度5°-85°时近似公式sinB*γl=计算值与真值的差值，给出了纬度与差值三次四项式的拟合公式，同时采用高斯平面直角坐标五次展开式与其简化公式γ=ky进行分析比较，发现在精度要求不高的情况下，简化公式完全符合精度要求。关键词：子午线收敛角经差高斯投影坐标方位角计算公式分析0引言在大地控制测量以及高精度工程测量中常常来进行大地方位角和平面坐标方位角两类方位角之间的转换，如利用陀螺经纬仪所测的方位角为大地方位角，当我们需要获得坐标方位角时，就势必要先计算子午线收敛角。子午线收敛角的计算精度会直接影响坐标方位角的精度，目前，关于子午线收敛角计算公式在许多大地测量书籍中[]都已经给出，但由于精度要求不同以及公式推导的方法不同，使得计算公式不尽相同，但它们的计算精度如何有关文献[2-4]中涉及较少。本文描述子午线收敛角的概念，分析各种计算方法及其精度。1子午线收敛角的概念地球的形状接近于旋转椭球面，椭球面是一个不可直接展开的曲面，大地坐标经过高斯投影得到平面直角坐标后，必然有投影变形，子午线投影后向中央子午线弯曲，并向两极收敛。如图1所示，地球椭球体面上一点处子午线收敛角是该点真子午线与位于此点所在的投影带的中央子午线之间的夹角，即在高斯平面上的真子午线与坐标纵线的夹角，通常用γ 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。图1．子午线收敛角概念图下式是真子午线与坐标纵线的角度关系：A=α+γ（1）γ即为子午线收敛角，它是某点的真子午线方向与该点的坐标北方向之间的夹角。γ有“＋，－”之分，点位于中央子午线的东侧，取正号；反之，取负号。由公式（1）可知，只要求得α和γ，一切问题就迎刃而解，其中坐标方位角的计算方法比较简单，在此就不详加叙述了，接下来介绍几种γ的计算方法。2子午线收敛角的计算公式2．1用大地坐标计算2．1．1文献[2]中给出的展开五次项公式)]2(cos15)η2η31(cos3sinB[1*γ2444222tBlBll−++++=(2)式中，l为该点距离中央子午线的经差0LLl−=，B为该点的纬度，η为垂线偏差u的卯酉圈分量（子午圈分量为ξ），ANMttan=，A为大地方位角。2．1．2文献[3]中给出的近似公式sinB*γl=(3)式中，l为经差，即某点与中央子午线的经度差，B为点位所处的纬度，γ值为子午线收敛角。2．2用高斯平面坐标计算2．2．1．文献[2]中给出的展开五次项公式)352(15)η2η1(3Nyγ42524f2f233ffffffffftttNyttNyt+++−−+−=（4）公式（4）中，fN、ft、fη均为垂足纬度（底点纬度）fB的函数，将fB的数值代入相应公式后可求得。2．2．2文献[4]中给出的公式γ=ky（5）式中γ=ky———以分为单位；y———点的横坐标，以km为单位；k———系数，以纵坐标x（以km计）为引数由表一中查取。3子午线收敛角的计算精度分析3．1公式分析[2]由公式（2）分析可知（1）γ为l的奇函数，而且l愈大，γ也愈大；（2）γ有正负，点位于中央子午线以东时，γ为正；在西时，为负；（3）当l不变时，γ随纬度增加而增大。3．2计算精度分析3．2．1采用大地坐标时精度分析：此处选择克拉索夫斯基椭球参数计算：当B取5°—85°时由于实际工作涉及到换带计算，所以取l=3．5°来计算子午线收敛角差值△；当l取3．5°时，γ有不同值，如图2所示：B（°）51015202530354045γ(2)（″）1099．547282190．662283264．981484314．27785330．52726305．972047233．181568105．109128915．14476γ(3)（″）1098．162342187．967003261．119914309．453745324．990016299．999907227．062998099．123778909．54532△（″）1．384942．695283．861574．824065．537195．972146．118575．985355．59944B（°）5055606570758085γ(2)（″）9657．1630810325．5675210915．3299611422．0234811841．8529612171．6802812409．0430412552．17184γ(3)（″）9652．1598610321．3156410911．9199811419．4780111840．1269312170．6653412408．5776412552．05317△（″）5．003224．251883．409982．545471．726031．014940．465400．11867图2．B与△的数值表由上表数据分析可得如下结论：（1）用近似公式得到的子午线收敛角与真值之间的差值△随着纬度的不同而不同；差值△随着纬度的增加先增加再减少，在B取35°时取得最大值，6．11857″；（2）可以看出在同一子午线上，差值△在中纬（20°-55°）之间误差较大；（3）在中低纬度（B=5°-80°）时，公式（3）的计算精度能达到秒级。绘制纬度B和差值△的函数图象，如图3：图3．B与△的函数图像为便于实际应用，同时考虑我国所处的经纬度，我们选择四次三项式来拟合经差为3．5°时的纬度B和子午线收敛角差值△间的关系[1]，得到拟合多项式公式如下（y代表B；x代表子午线收敛角差值△）：3．2．2采用高斯平面直角坐标时精度分析：实际上公式（4）是由公式（2）计算得来的，把公式（2）中的l换成高斯平面直角坐标，把B换成fB推导可得公式（4）由于实际测量工作中，大多数情况下得到的只是高斯平面直角坐标，如果再化为大地坐标计算子午线收敛角，过程较为复杂，所以通常采用公式（5）来进行简化计算，关于公式（5）有一张子午线收敛角系数K值表，如下表，实际工作中可用它来进行简化计算[4]。子午线收敛角系数K值表x/kmK△x/kmK△x/kmK△x/kmK△1000．00858516000．13909131000．286511046000．47681532000．01708517000．14819232000．297511147000．49211573000．02558618000．15739333000．308611448000．50781624000．03418519000．16669534000．320011649000．52401675000．04268620000．17599535000．331611850000．54071726000．05128621000．18549736000．343412051000．55791787000．05988622000．19499737000．355412352000．57571848000．06848723000．20469938000．367712553000．59411909000．07718724000．214310039000．380212954000．613119710000．08588725000．224210240000．393113155000．632820511000．09458826000．234210341000．406213456000．653321212000．10338827000．244410442000．419613857000．674522213000．11218928000．254710743000．433414158000．696723014000．12109029000．265110744000．447514459000．719724015000．13009030000．275310745000．461914960000．7437248本文分别取X值如下（单位：km）X10050010001500200025003000350040004500500055006000当经差为3．5°时，在赤道上Y值最大为390km，所以本文取Y值为390km来计算。通过编程计算，公式（4）和（5）计算结果如下：X（km）10050010001500200025003000γ(4)（″）199．086997．3782007．0583041．9724116．3725246．6786452．585γ(5)（″）198．9996．842007．7230424116．065246．286442．02△（″）0．1860．538-0．662-0．0280．3120．39810．565X（km）350040004500500055006000γ(4)（″）7758．5959196．25710807．56612650．36214807．20817401．368γ(5)（″）7759．449198．5410808．4612652．3814807．5217402．58△（″）-0．845-2．283-0．894-2．018-0．312-1．212分析其子午线收敛角差值△可知：（1）在Y值一定的情况下，子午线收敛角差值△随X值的变化而变化，但变化呈现无规律状态，在X=3000，4000，5000km，误差达到秒级，X取其他值时误差达到0．1″级；（2）利用高斯平面直角坐标计算出的子午线收敛角与真值之间的差值较小，计算精度可达到0．1″，准确度可达到1″。X值与△函数图像如图4：图4．X值与△函数图像因为子午线收敛角差值△呈现无规律状态，所以不便于拟合其函数式，此处就不再做拟合工作。4结束语通过以上计算可知，利用公式（2）和公式（3）计算的子午线收敛角存在差值，并随着经差和纬度的不同而变化，对比分析计算数据可得到如下结论[1-2]：（1）同一平行圈上，经差越大，差值愈大；（2）在同一子午线，点位处于中纬度（25°-35°）时较差△较大；（3）在中低纬度（B=5°-80°）时，公式（3）的计算精度能达到秒级。（4）采用公式（5）计算时，在Y值一定的情况下，子午线收敛角差值△随X值的呈现无规律变化，在X=3000，4000，5000km，误差达到秒级，X取其他值时误差达到0．1″级。（5）在实际工作中，大多数情况下都是利用高斯平面坐标计算子午线收敛角，公式（5）不仅计算方便而且具有足够的计算精度，所以公式（5）具有较大的实际意义和作用，应在实际工作中大力推广。参考文献：[1]邬熙娟，江国焰，高俊强．子午线收敛角计算公式及计算精度分析[J]．现代测绘，2005，28(6)：22-25．[2]张华海等，等．应用大地测量学基础[M]．徐州：中国矿业大学出版社，2011．8．[3]高井祥，等．数字测图原理与方法[M]．徐州：中国矿业大学出版社，2010．8．[4]张国良，等．矿山测量学[M]．徐州：中国矿业大学出版社，2008．10．．