无刻度直尺作图技巧

专题无刻度直尺作图类型1　在三角形、四边形及多边形中作图「17年16题　16年17题」【解题方法】在基本图形(三角形、特殊四边形等)中构建特殊图形的位置、形状关系的无刻度直尺作图，一是准确把握背景基本几何图形的形状、大小、位置关系；二是借助于背景图形相关点、线、角及基本图形性质、判定的基础上发现作图途径、作图方法，进而酝酿与构建有关图形的位置、形状、大小之间的内在关系、结构关系．例1如图，六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：仅用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹．(1)在图①中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；(2)在图②中画出线段AB的垂直平分线．类型1　在三角形、四边形及多边形中作图解：(1)如图所示：∠ABC＝45°(AB，AC是小长方形的对角线)，或∠BAC＝45°(AB，BC是小长方形的对角线)．解:（2）线段AB的垂直平分线如图所示：点M是长方形AFBE的对角线的交点，点N是正方形ABDC的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．(画法不唯一，以下为其他几种画法，供参考)|针对训练|1．在▱ABCD中，点E在AD上，DE＝CD，请仅用无刻度的直尺，按要求作图(保留作图痕迹)．(1)在图Z2－2①中，画出∠C的平分线；(2)在图②中，画出∠A的平分线．2．【2015·江西模拟】如图Z2－3，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O.仅用无刻度的直尺完成以下作图．(1)在图①中作线段BC的中点P；(2)在图②中，在OB，OC上分别取点E，F，使EF∥BC.图Z2－3解：(1)如图①所示．解：(2)如图②所示．3．【2016·抚州模拟】由三个形状大小完全相同的菱形组成一个正六边形．只用无刻度的直尺按下列要求画图．(1)在图①中画一个直角三角形；(2)在图②中画一个等边三角形．图Z2－4解：(1)利用菱形的性质结合正六边形的性质得出符合题意的答案，如图①所示：△ABC即为所求；解：(2)利用等边三角形的性质以及菱形的性质得出符合题意的答案，如图②所示：△ABC即为所求．4．【2017·江西】如图Z2－5，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．(1)在图①中，画出一个以AB为边的平行四边形；(2)在图②中，画出一个以AF为边的菱形．图Z2－5解：(1)如下图．(画法有多种，正确画出一种即可，以下几种画法供参考)4．【2017·江西】如图Z2－5，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．(2)在图②中，画出一个以AF为边的菱形．图Z2－5解：(2)如下图．(画法有两种，正确画出其中一种即可)5．【2017·南昌模拟】请仅用无刻度的直尺在图Z2－6①和图②中按要求画菱形．(1)图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；(2)图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点(BE＞DE)，以AE为边画一个菱形．图Z2－6解：(1)如图①所示：四边形EFGH即为所求的菱形；5．【2017·南昌模拟】请仅用无刻度的直尺在图Z2－6①和图②中按要求画菱形．(2)图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点(BE＞DE)，以AE为边画一个菱形．图Z2－6解：(2)如图②所示：四边形AECF即为所求的菱形．6．【2017·赣州模拟】如图Z2－7，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，请仅用无刻度直尺在矩形中完成下列画图．(1)在图①中画出一个顶点均在格点上的非特殊的平行四边形(2)在图②中画出一个顶点均在格点上的正方形．图Z2－7解：(1)如图①所示：平行四边形，即为所求；6．【2017·赣州模拟】如图Z2－7，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，请仅用无刻度直尺在矩形中完成下列画图．(2)在图②中画出一个顶点均在格点上的正方形．图Z2－7解：(2)如图②所示：正方形，即为所求．类型2　在圆中作图「15年17题　13年16题」【解题方法】立足圆的轴对称性、垂径定理及推论等基本性质，借助有关圆心角、圆周角、弧之间的关系构建有关点、线、图形之间的特殊形状、位置及大小关系．例2【2015·江西】⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图Z2－8①，②中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹)(1)如图①，AC＝BC；(2)如图②，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC.图Z2－8解：(1)如图①所示，CD即为所求的弦．理由：∵AC＝BC，∴＝，∴C是的中点．连接CO，交AB于点E.由垂径定理，知E是AB的中点，延长CO交⊙O于点D，则CD即为所求作的弦．例2【2015·江西】⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图Z2－8①，②中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹)(2)如图②，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC.图Z2－8解：(2)如图②，AF即为所求的弦．理由：∵l切⊙O于点P，作射线PO，交BC于点E，则PO⊥l.∵l∥BC，∴PO⊥BC.由垂径定理，知E是BC的中点，延长AE交⊙O于点F，则AF即为所求作的弦．【点拨交流】1．图形中的圆有哪些基本性质？2．由(1)中的AC＝BC，你能得到什么？3．平分三角形面积的方法有哪些？【解题思路】|针对训练|1．【2013·江西】如图Z2－9，AB是半圆的直径，图①中，点C在半圆外；图②中，点C在半圆内．请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图①中，画出△ABC的三条高的交点；(2)在图②中，画出△ABC中AB边上的高．图Z2－9解：(1)如图①，点P就是所求作的点．|针对训练|1．【2013·江西】如图Z2－9，AB是半圆的直径，图①中，点C在半圆外；图②中，点C在半圆内．请仅用无刻度的直尺按要求画图．(2)在图②中，画出△ABC中AB边上的高．图Z2－9解：(2)如图②，CD为AB边上的高．2．【2016·鹰潭联考】用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中∠AOB的平分线：(1)如图Z2－10①，∠AOB的两边与一圆切于点A，B，点M，N是优弧AB的三等分点；(2)如图②，∠AOB的两边与一圆交于点A，B，M，N，且AM＝BN.图Z2－10解：如图所示．3．【2014·江西样卷一】如图Z2－11①中，弦AB∥CD，AB＝CD，图②中，弦AB∥CD，AB≠CD，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图①中，画出⊙O的圆心O；(2)在图②中，画出⊙O的一条直径．图Z2－11解：(1)如图①，点O即为⊙O的圆心．3．【2014·江西样卷一】如图Z2－11①中，弦AB∥CD，AB＝CD，图②中，弦AB∥CD，AB≠CD，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(2)在图②中，画出⊙O的一条直径．图Z2－11解：(2)如图②，线段EF即为⊙O的一条直径．4．【2016·南昌模拟】作图题：在⊙O中，点D是劣弧AB的中点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图：(1)在图Z2－12①中作出∠C的平分线；(2)在图②中画一条弦，平分△ABC的面积．图Z2－12解：(1)如图①，CD为所作；4．【2016·南昌模拟】作图题：在⊙O中，点D是劣弧AB的中点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图：(2)在图②中画一条弦，平分△ABC的面积．图Z2－12解：(2)如图②，CE为所作．5．【2017·吉安模拟】请仅用无刻度的直尺画图：(1)如图Z2－13①，△ABC与△ADE是圆内接三角形，AB＝AD，AE＝AC，画出圆的一条直径．(2)如图②，AB，CD是圆的两条弦，AB＝CD且不相互平行，画出圆的一条直径．图Z2－13解：(1)如图①，以A为端点，过DE与BC的交点作射线，与圆交于点F，线段AF即为所求；5．【2017·吉安模拟】请仅用无刻度的直尺画图：(2)如图②，AB，CD是圆的两条弦，AB＝CD且不相互平行，画出圆的一条直径．图Z2－13解：(2)如图②，延长BA，DC交于一点，连接BC，AD交于一点，过这两点作直线，与圆交于点M，N，线段MN即为所求．6．【2017·江西样卷】请仅用无刻度的直尺，用连线的方法在图Z2－14①，图②中分别过圆外一点A作出直径BC所在直线的垂线．图Z2－14如图①，直线AD即为所求．如图②，直线AE即为所求．7．弦AB∥CD，AB≠CD，限用无刻度的直尺分别按下列要求画图．(1)在图Z2－15①中画出∠DAC的平分线；(2)在图②中画直线l平分△DAC的面积．图Z2－15解：(1)如图①，射线AE即为所求；(2)如图②，直线AF即为所求．类型3　在网格中作图「14年17题」【解题方法】此类题通常以网格或坐标为背景，关键是把握网格或坐标特征：各格点之间的距离可能为正整数，也可能为无理数，借助勾股定理的逆定理构建直角三角形等，酝酿与构建相关图形的形状、位置及大小．例3【2014·江西】已知梯形ABCD，请使用无刻度的直尺画图．(1)在图Z2－16①中画一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形(2)在图②中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．图Z2－16解：(1)如图①所示，△CDE即为所求．(2)如图②所示，▱ABFE即为所求．【点拨交流】1．本题考查了哪些知识？解题的关键是什么？2．梯形的面积公式是什么？三角形的面积公式是什么？3．如何画以CD为边，且与梯形ABCD面积相等的三角形？4．如何画以AB为边，且与梯形ABCD面积相等的平行四边形？【解题思路】|针对训练|图Z2－17解：如图所示．2．如图Z2－18，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图①②③中添画(工具只能用无刻度直尺)射线OA，使tan∠AOB的值分别为1，2，3.图Z2－183．【2016·赣州】适应性考试在10×10的正方形网格中(每个小正方形的边长为1)，线段AB在网格中的位置如图Z2－19所示．请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．(1)在图①中，画出一个以AB为边，另两个顶点C，D也在格点上的菱形ABCD.(2)在图②中，画出一个以A，B为顶点，另两个顶点C，D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小(仅选其一即可)．其面积值是________．图Z2－19解：(1)以AB为边，另两个顶点C，D也在格点上的菱形ABCD有多种画法，如下图所示．3．【2016·赣州】适应性考试在10×10的正方形网格中(每个小正方形的边长为1)，线段AB在网格中的位置如图Z2－19所示．请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．(2)在图②中，画出一个以A，B为顶点，另两个顶点C，D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小(仅选其一即可)．其面积值是________．图Z2－19解：(2)以A，B为顶点，另两个顶点C，D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小的图形如下：最大为15，最小为5.4．如图Z2－20所示，在8×8的网格中，我们把△ABC在图①中作轴对称变换，在图②中作旋转变换．已知网格中的线段DE、线段MN分别是边AB经两种不同变换后所得的图像，请在两图中分别画出△ABC经各自变换后的图像，并标出对称轴和旋转中心(要求：不写作法，作图工具不限，但要保留作图痕迹)．图Z2－20解：如图所示．图①中直线GH为轴对称变换的对称轴，△DEF与△BAC关于直线GH对称；图②中点O为旋转变换的旋转中心，△MNP由△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到．5．在如图Z2－21三个网格中，限用无刻度的直尺分别画出与△DEF相似，但不全等的三个△ABC.图Z2－21解：答案如下图．6．【2017·鹰潭模拟】已知图Z2－22是3个5×5的正方形网格，小正方形边长都为1.A，B两点在小网格的顶点上，位置如图所示．现请你分别在三个网格中各画一个△ABC.要求：(1)顶点C在网格的顶点上；(2)工具只用无刻度的直尺；(3)所画的3个三角形互不全等，但面积都为2.图Z2－22解：如图所示，所画三角形的位置不唯一．