振动力学第3章 课后答案【khdaw_lxywyl】

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2| | 0 K M 1 2 3P139,3-3: , 1, 6, , 2 , ik k i m m m m m m     建立图示系统的运动微分方程，并求当 时的固有 频率和固有振型。 1 2 3 m m m        M 1 2 2 2 2 3 5 6 3 3 3 4 0 0 k k k k k k k k k k k k              K 2 m m m        M 2 0 4 0 2 k k k k k k k         K 1 k m   2 2km  3 3k m   1 1 1 1        φ 2 1 0 1        φ 2 1 1 1        φ P140,3-4: / EI m M  图示带集中质量的自由梁是飞机的最简单的模型，梁的抗弯刚度 , 质量不计， 集中质量的比值为 。求系统的固有频率和固有振型。 2 2 2 1 2 3 1 1 1 2 2 2 T mu Mu mu  系统的动能： 2 2 3 2 1 2 1 3 1 3( ) ( ) 2 2 EI EIU u u u u l l    系统的势能： m M m        M 1 1 0 3 1 2 1 0 1 1 EI l         K 1 0  2 3 3EI EI ml Ml    3 3 (2 ) 3 (2 1)EI m M EI Mml Ml      1 1 1 1        φ 2 1 0 1        φ 3 1 2 1         φ P140,3-5: 1, 4 iu i   图示系统中各质量只能沿 ， 方向运动，试 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 其固有模态。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M m m m         M 3 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k k k           K 特征值问题： 2( ) 0 K M φ 系统固有频率满足的方程： 系统的固有频率： 1 0  2 3 km   4 ( 3 )M m k mM   2 2 2 2 3 0 0 0 0 0 0 0 k M k k k k k m k k m k k m                2 2 1 4 容易确定 和 的特征矢量： 1 1 1 1 1         φ 4 3 1 1 1 m M           φ 2 3 k m   对于 ，有 3 1 1 1 1 0 0 0( ) 0,( 2,3) 1 0 0 0 1 0 0 0 i i M m k k i m                K M φ φ 1 2 3 4 0 ( 2,3) 0 i i i i i          T T 1 4 0,( 2,3)i i i  φ M φ φ M φ正交条件： 2 3 4 0, ( 2,3)i i i i      32 42 1  任取 2 0 2 1 1         φ T 3 2 0φ M φ正交条件： 23 33 432 0      13 23 33 43 0 0         3 0 0 1 1         φ 1 1 1 1 1         φ 4 3 1 1 1 m M           φ 2 0 2 1 1         φ 3 0 0 1 1         φ 0 0P140,3-7: ( ) sin , u t u t 图示系统左端基础作简谐激励 试求两集中质量的稳态位移响应并讨论其 反共振现象。 1 1 2 1 0 2 2 2 1 ( ) ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ( )) ( ) 2 ( ) ( ( ) ( )) mu t k u t u t k u t u t mu t ku t k u t u t            1 1 0 2 2 0 3 2 sin 0 3 0 u um k k ku t u um k k                             2 2 2 3 3 k m k k k m           K M 2 11 3( ) ( ) k mH     21( ) ( ) kH    1 11 0 2 21 ( ) ( ) 2 sin ( ) ( ) u t H ku t u t H             3 k m   为反共振频率 0P140,3-9: u 图示系统初始静止，求左端基础产生阶跃位移 后系统的响应。 1 1 2 1 0 2 2 2 1 ( ) ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ( )) ( ) 2 ( ) ( ( ) ( )) mu t k u t u t k u t u t mu t ku t k u t u t            1 1 0 2 2 0 3 2 0 3 0 u um k k ku u um k k                             1 2 2 4,k k m m    1 21 1,1 1           φ φ 1 1 0 2 2 1 1 0 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 1 1 3 1 1 1 1 0 T T Tq qm k k ku q qm k k                                                                2 01 11 2 02 22 /1 0 0 /0 1 0 ku mq q ku mq q                              1 1 2 2 1 1 1 1 u q u q              0 0 1 1 10 1 1( ) sin ( ) (1 cos ) 2 t ku uq t t d t m        02 2( ) (1 cos )2uq t t  0 1 1 2( ) (2 cos cos )2 uu t t t    02 2 1( ) (cos cos )2 uu t t t   0P140,3-10: 2f c mk 图示阻尼系统受阶跃力 作用，其中 ,求零初始条件下系统的响应。 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 0 0 0 3 3 2 3 2 0 0 2 2 0 2 2 m u c c u k k u m u c c c u k k k u m u c c u k k u f                                                                                 1 2 3 20, ,k k m m      1 2 3 1 1 1 1 , 0 , 1 1 1/ 2 1                              φ φ φ 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 0 1 1 1/ 2 1 u q u q u q                            1 1 1 2 2 2 0 3 3 3 6 0 0 0 0 0 0 1 3 / 2 0 3 / 2 0 0 3 / 2 0 1/ 2 6 0 0 12 0 0 12 1 m q q q m q c q k q f m q c q k q                                                                            模态坐标系下的运动方程： 1 1 2 2 3 3 (0) (0) 0 (0) (0) 0 (0) (0) 0 q q q q q q                               20 1( ) 12 fq t t m  2 2 2 2 ( )0 2 20 2 0 2 22 2 1( ) sin ( ) 3 1 cos( ) 3 1 t t d d t d fq t e t d m f e t k                          2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , , tan 2 1 d c m                 3 3 0 3 3 32 3 ( ) 1 cos( ) 6 1 t d f eq t t k            2 1 3 3 3 3 3 3 2 3 3 1 , , tan 2 1 d c m                 1 0 P140,3-11: ( ) , n r r r     C M M K 如果系统阻尼矩阵形如 证明其具有实模态。 证明： 2( ) 0r r K M φ特征值问题： 2 , ( 1... )r r r r N Kφ Mφ 1 2 , ( 1... )r r r r N  M Kφ φ 1 2 1 [ ]i i N diag    M KΦ Φ 1[ ]NΦ φ φ其中： 1 2 1 10 0 2 1 2 1 1 10 0 2 1 10 1 1 ( ) ( [ ] ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ n n r r r r i i Nr r r rn n r i r i i N i Nr r rn T T r i i Nr T i r i i N i N diag diag diag diag diag M diag                                                             C M M K M Φ Φ M Φ Φ MΦ Φ Φ Φ MΦ Φ Φ 2 1 0 ] rn r       Φ 代入 1 2 1 1 [ ]i i N diag     M K Φ Φ 2 1 10 [ ] [ ] rn T i r i i N i Nr diag M diag                Φ CΦ 对角矩阵 1 2 1 1 P140,3-12 : 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n r r r r r r rr r t t q t q t        u K f φ φ  考察无刚体运动自由度的比例阻尼系统，证明计算其响应的模态加速度法为 证明： ( ) ( ) ( ) ( )t t t t  Mu Cu Ku f  1 1 1( ) ( ) ( ) ( )t t t t    u K f K Mu K Cu  1 1 ( ) ( ), ( ) ( ) n n r r r r r r t q t t q t     u φ u φ  模态截断： 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n r r r r r r t t q t q t        u K f K M φ K C φ  1 1 11 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 ( ) diag[ ] ( ) diag[ ][ ( ) ( ) 0 0] 1 [ ( ) / ( ) / 0 0] ( ) n n T r r r r r r Nr r T r n n r N n T n n r r r r q t K q t K M q t M q t q t q t q t                   K M φ Φ Φ M φ Φ Φ φ          1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 ( ) diag[ ] ( ) diag[ ][ ( ) ( ) 0 0] 22 2 [ ( ) ( ) 0 0] [ ( ) ( ) 0 0] ( ) n n T T r r r r r r n n r N r Nr r n T Tn n r n n r r rn n r q t K q t K C q t C q t CC q t q t q t q t q t K K                       K C φ Φ Φ C φ Φ Φ Φ φ              1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) n n r r r r r r rr r t t q t q t        u K f φ φ  幻灯片编号 1 幻灯片编号 2 幻灯片编号 3 幻灯片编号 4 幻灯片编号 5 幻灯片编号 6 幻灯片编号 7 幻灯片编号 8 幻灯片编号 9 幻灯片编号 10 幻灯片编号 11