差分方程模型-文档资料

3.差分方程模型差分方程~若干离散点上未知变量数值的方程.描述离散时间段上客观对象的动态变化过程.现实世界中随时间连续变化的动态过程的近似.建立湖泊污水浓度以周为时段的差分方程模型.例湖泊污水浓度受上游河流的流量、污水浓度等因素影响，湖泊污水浓度随时间变化.每周对湖泊和上游河流监测一次,获取数据.差分方程的基本类型及求解3.1贷款购房3.2管住嘴迈开腿3.3物价的波动3.4动物的繁殖与收获3.5中国人口增长预测——全国大学生数学建模竞赛2007年A题3.差分方程模型差分方程的基本类型及求解xk~未知变量x在时段k的数值(k=0,1,2,…)1.一阶线性常系数差分方程a,b~常数由x0按照方程递推计算x1,x2,…求解公式a<1k→∞,~稳定平衡点2.二阶线性常系数差分方程由x0,x1按照方程递推地计算x2,x3,…求解公式1,2～特征根c1,c2～常数,初始值x0,x1代入求解公式确定.~特征方程k→∞,~稳定平衡点1,2<13.线性常系数差分方程组x1(k),x2(k),,xn(k)~n个未知变量在时段k的数值x(k)=[x1(k),x2(k),,xn(k)]Tb=[b1,b2,,bn]T3.线性常系数差分方程组由x(0)按照方程递推地计算x(1),x(2),…求解公式A的特征根<1k→∞,~稳定平衡点4.简单的非线性差分方程例离散形式的阻滞增长模型r,N~已知常数由初始值x0按照方程递推计算x1,x2,…每月还多少钱3.1贷款购房贷款购房需考虑的问题买多大的房子一共贷多少钱网上的房贷计算器轻击鼠标即得输入必要信息贷款购房——最简单的差分方程模型单利和复利单利~１万元存5年定期,年利率4.75%,到期后本息(本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.两种计算利息的基本方式复利~１万元存1年定期,年利率为3%,到期不取则自动转存,5年后本息：10000(1+0.03)5=11593元.利滚利！复利本息：(1+r)n单位本金、同一利率r、同一存期n计算单利和复利：单利本息：1+nr>1+nr零存整取~每月固定存额，约定存款期限，到期一次支取本息的定期储蓄.按单利计算的业务——零存整取单利和复利方式：5元起存，多存不限，存期1年、3年、5年.勤俭节约、科学理财例每月存入3000元，存期５年（年利率3.5%）零存整取计算器累计存入金额180,000元到期本息总额196,012.50元单利和复利按单利计算的业务——零存整取a~每月存入金额,r~月利率,n~存期(月)xk~存入k个月后的本息k=n递推至k=１a=3000,r=0.035/12,n=125(月)xn=196,012.50x1=a+arxk=xk-1+a+akr,k＝2,3,…,nx2=x1+a+a2rxn=na+ar(1+2+…+n) 等额本息贷款和等额本金贷款房贷计算器的选项贷款类别：商业贷款,公积金,组合型年利率不同计算方法：根据贷款总额或面积、单价计算.按揭年数：可选１至30年.选择20年.银行利率：基准利率、利率上限或下限.选择商业贷款的基准利率6.55%.还款方式：等额本息还款或等额本金还款.等额本息贷款和等额本金贷款例1　“房贷计算器”选择等额本息还款,输入:商业贷款总额100万元,期限20年,年利率6.55%.建立等额本息还款方式的数学模型,并作数值计算．等额本息还款~每月归还本息(本金加利息)数额相同.等额本金还款~每月归还本金数额相同,加上所欠本金的利息.所欠本金逐月减少每月还款金额递减点击“开始计算”得:还款总额1796447.27元,月均还款7485.2元.等额本息还款模型a~每月还款金额x0~贷款总额r~月利率n~贷款期限(月)xk~第k月还款后尚欠金额xk=xk-1(1+r)a,k＝1,2,…,nk=n递推至k=１贷款到期时xn=0xn=x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]本月欠额=上月欠额的本息还款金额等额本息还款模型A1~还款总额a~每月还款金额x0~贷款总额r~月利率n~贷款期限(月)例1　x0=100(万元),r=0.0655/12,n=1220=240(月)a=7485.2(元),A1=1796447.27(元)与房贷计算器给出的相同例２　“房贷计算器”选择等额本金还款,输入:商业贷款总额100万元,期限20年,年利率6.55%.等额本息贷款和等额本金贷款建立等额本金还款方式的数学模型,并作数值计算.点击“开始计算”得到:还款总额1657729.17元,每月还款金额由第１月的9625元逐月递减,最后１月为4189.41元.等额本金还款模型x0~贷款总额r~月利率n~贷款期限(月)xk~第k月还款金额还款金额逐月减少归还本金x0/n所产生的利息x0r/n每月归还本金x0/n第1月还款金额k=n递推至k=2等额本金还款模型x0~贷款总额r~月利率n~贷款期限(月)xk~第k月还款金额A2~还款总额例2　x0=100(万元),r=0.0655/12,n=1220=240(月)x1=9625元,x240=4189.41(元),A2=1657729.17(元).与房贷计算器给出的相同等额本息与等额本金方式的比较等额本息方式简单，便于安排收支.等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,后期低于等额本息方式,适合当前收入较高人群.等额本息方式还款总额大于等额本金方式.等额本息方式前期还款额较少,所欠本息的利息逐月归还,所以利息总额较大.例1例2：A1=1796447.27(元),A2=1657729.17(元).还款总额A1>A2模型适用于任何还款周期(半月、一季度等)——将公布的年利率折换为一个还款周期的利率. 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结 与评注贷款购房两种基本还款方式：等额本息、等额本金.要点:明确利息计算,列出差分方程,利用递推关系.不同还款周期一次还款金额和还款总额都不一样.周期越短还款总额越小？3.2管住嘴迈开腿测评体重的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ——体重指数(BMIBodyMassIndex) 偏瘦正常超重肥胖世界卫生组织标准<18.518.5～24.925.0～29.930.0我国参考标准<18.518.5～23.924.0～27.928.0BMI=w/l2，w~体重(kg),l身高(m).例.l=1.70m,w=63.5kg多数减肥食品达不到减肥效果，或不能维持.通过控制饮食和适当运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并得以控制的目的.标准的身材!BMI=22模型分析人体通过食物摄入热量,通过代谢和运动消耗热量.二者平衡,体重不变.分析对热量的吸收和消耗,建立体重变化规律的模型.平衡被破坏则体重变化.减肥计划应以不伤害身体为前提.增加运动量是加速减肥的有效手段.以周为时间单位制订减肥计划.吸收热量不过少、减少体重不过快.差分方程模型1）体重增加正比于吸收的热量,平均8000kcal增加体重1kg.2）代谢引起的体重减少正比于体重,每周每千克体重消耗200~320kcal(因人而异).3）运动引起的体重减少正比于体重,且与运动形式和运动时间有关.模型假设体重70kg每天消耗2000~3200kcal.4）为了安全与健康,每周吸收热量≥10000kcal,且每周减少量≤1000kcal;每周体重减少量≤1.5kg.调查资料食物米饭豆腐青菜苹果瘦肉鸡蛋热量(kcal/100g)12010020～3050～60140～160150运动步行(4km/h)跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50m/min)热量(kcal/hkg)3.17.03.04.42.57.9食物每百克所含热量运动每小时每千克体重消耗热量模型假设基本模型c(k)~第k周吸收热量(kcal)w(k)~第k周(初)体重(kg),k=1,2,…~热量转换系数平均8000kcal增加体重1kg~代谢系数(因人而异).由和吸收热量c(k)决定体重w(k)的变化规律.=1/8000(kg/kcal)减肥计划的提出某人身高1.70m,体重100kg,BMI高达34.6.目前每周吸收20000kcal热量,体重长期未变.制订减肥计划使体重减至75kg(BMI=26)并维持下去.1.在正常代谢情况下安排一个两阶段计划:第一阶段：吸收热量每周减少1000kcal,直至达到安全下限10000kcal/周；2.为加快进程而增加运动，重新安排两阶段计划.3.给出达到目标后维持体重不变的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 .第二阶段：每周吸收热量保持下限,达到减肥目标.减肥计划的制定1.确定某人的代谢消耗系数每周每千克体重消耗20000/100=200kcal每周吸收20000kcal,体重100kg不变.正常代谢消耗相当弱.=1/8000c(k)=c,w(k+1)=w(k)=ww=100c=20000 2.正常代谢情况下的第一阶段计划吸收热量由20000kcal每周减少1000kcal,直至达到安全下限10000kcal/周. c(10)=10000第11周(初)体重w(11)=93.6157kgw(1)=100kg第一阶段需10周3.正常代谢情况下的第二阶段计划吸收热量保持下限cmin=10000kcal/周,体重减至75kg. w(11+22)=74.9888kgw(11+n)75w(11)=93.6157两阶段计划共需32周.第二阶段需22周.4.为加快进程而增加运动t~每周运动时间(h)~运动每小时每千克体重消耗热量取t=40 +t=0.03w(11)=89.3319kg，w(11+12)=74.7388kg第二阶段缩短为12周两阶段计划共需22周.(如每周步行7h加乒乓4h)5.检验“每周体重减少量≤1.5kg”  正常代谢增加运动编程计算w(k) 6.达到目标后维持体重不变的方案每周吸收热量保持常数c使体重w=75kg不变.=15000kcal/周 正常代谢 c由20000kcal/周直接减至15000,14000,13000,12000时体重w(k)下降曲线.c=14000时w(72)=75kgc=12000时w(40)=75kg比两阶段计划的时间长，吸收热量突减对身体不利.75kg7.达到目标体重所需时间与每周吸收热量的关系令目标体重w*=w(n+1),记初始体重w1=w(1) k=1递推至k=nw*=75w1=100c=14000n=70.7707c=12000n=38.7407小结与评注减肥科学化、定量化——需要研究人体体重变化的规律.计算中由于增加运动使由0.025提高到0.03时(变化20%),减肥所需时间从32周减少到22周(变化约30%)——体重变化对相当敏感.体重变化既有普遍规律也与每个人特殊生理条件有关，特别是代谢消耗系数.3.3物价的波动消费者在自由竞争的市场经济中常会遇到商品价格的波动现象.供大于求价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求商品数量与价格在波动3.3物价的波动商品数量和价格主要由供求关系决定.供求平衡供求失衡波动的两种形式振幅逐渐减小，最终趋向平稳.振幅越来越大，如不干预将导致经济崩溃.讨论政府的干预方式描述波动现象研究趋向平稳的条件建立数量—价格模型商品数量和价格基本稳定.商品数量和价格出现波动.模型假设xk~第k时段商品数量yk~第k时段商品价格时段~生产周期(饲养周期、种植周期)2.yk由消费者需求关系决定3.xk+1由生产者供应关系决定4.xk,yk偏离x0,y0不大时,偏离yk-y0与xk-x0成正比,1.供求关系平衡商品数量x0和价格y0保持不变ykx0,供过于求ykx0yk 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示xy0y0x0P0fgx1x2P2y1P1y2P3P4x3y3xy0y0x0P0fg设x1偏离x0P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点P1P2P3P4xy0y0x0P0fg蛛网模型斜率取绝对值差分方程模型与蛛网模型的一致x0,y0稳定k→∞k→∞xk→x0yk→y0xk,yk→∞x0,y0不稳定  差分方程模型蛛网模型P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点直线f斜率Kf=直线g斜率Kg=1/<1/>1/政府的干预办法1.使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xyOy0gfxyOx0gf需求曲线变为水平供应曲线变为竖直稳定平衡差分方程模型的推广 根据当前和前一时段的价格决定下一时段的产量.生产者管理水平和素质提高 消费者需求关系不变xk，yk的差分方程组已知,及x0,y0,由初始值x1,x2递推地计算xk,yk.差分方程模型的推广x0,y0不稳定原模型新模型=0.24,=5不变xk→∞yk→∞ xk→x0yk→y0 =1.2>1x0,y0稳定=1.2>1讨论稳定条件二阶线性常系数差分方程差分方程模型的推广 1,2～特征根~特征方程~稳定平衡点1,2<1比原模型的稳定条件放宽了.差分方程模型的推广特征方程稳定条件(xk→x0):1,2<1生产者管理水平和素质的提高有利于经济稳定！政府干预措施具有人们熟知的现实背景.小结与评注对市场经济中“供不应求价格上涨、供过于求价格下跌”的现象用两种模型描述和解读：差分方程：便于运算蛛网模型：直观鲜明模型参数有明确的经济学含义——敏感系数.差分方程平衡点的稳定性有明显的实际意义，反映了数学与现实的密切关系.3.4动物的繁殖与收获野生动物种群在自然环境下繁殖、成长、死亡,不同年龄动物的数量比例保持平衡.饲养动物种群在人类控制下,使不同年龄动物的数量比例达到稳定的预期目标.建立动物种群的自然增长模型.讨论饲养动物种群的稳定收获.按年龄分组的动物种群增长模型不同年龄动物的繁殖率、死亡率差别较大.建立按年龄分组种群增长的差分方程模型.时段与年龄组相对应.种群通过雌性繁殖而增长.总体数量按性别比计算.讨论稳定状况下种群的增长规律.以雌性个体数量为对象.按照年龄分组种群按照年龄等间隔地分为n个年龄组.时间分成与年龄组区间大小相等的时段.每个年龄组的雌性个体在一个时段内的繁殖率和死亡率不随时段变化.模型假设在稳定环境下和不太长时期内模型建立xi(k)~第i年龄组第k时段的种群数量,i=1,2,…,n，k=0,1,2,…bi~第i年龄组的繁殖率(每个雌性个体一个时段繁殖的数量).di~第i年龄组的死亡率(一个时段内死亡数量在总量中的比例).si=1-di~存活率bi≥0，至少一个bi>0.0 原文 少年中国说原文俱舍论原文大医精诚原文注音大学原文和译文对照归藏易原文 中国是一个人口大国,人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一.根据已有数据,运用数学建模的方法,对中国人口做出分析和预测是一个重要问题.近年来中国的人口发展出现了一些新的特点,例如,老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高,以及乡村人口城镇化等因素,这些都影响着中国人口的增长.2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1)还做出了进一步的分析.赛题原文试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发,参考附录2中的相关数据(也可以搜索相关文献和补充新的数据),建立中国人口增长的数学模型,并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测;特别要指出你们模型中的优点与不足之处.关于中国人口问题已有多方面的研究,并积累了大量数据资料.附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据.附录2《中国人口统计年鉴》中的部分数据及其说明附录1《国家人口发展战略研究报告》赛题原文年龄市镇乡妇女生育率男性比例男死亡率女性比例女死亡率男性比例男死亡率女性比例女死亡率男性比例男死亡率女性比例女死亡率市镇乡00.466.380.46.080.569.10.4810.790.6513.970.5418.55   10.460.840.390.760.580.930.470.540.651.450.511.96   20.410.580.340.050.550.580.440.40.651.160.511.31   30.450.560.390.370.580.570.470.420.650.730.510.66   200.690.590.740.060.520.730.510.280.531.910.530.8229.0168.2395.01210.690.430.760.260.471.310.530.420.491.750.520.7848.17113.45150.84220.730.650.780.230.511.340.570.490.492.060.540.9264.95129.4164.58230.860.420.940.210.620.770.720.40.581.770.620.6284.17139.5167.17880.02174.50.03111.960.01176.50.031160.021630.03130.8   890.01211.90.02124.770.01155.50.02144.90.01189.30.03157.3   90+0.03289.20.07269.870.03253.80.07172.60.03355.20.082372005年人口抽样数据20岁城市男性占城市总人口的0.69%,死亡率为20岁城市男性总人口的0.59‰20岁城市生育子女的妇女占20岁城市妇女总人口的29.01‰问题分析用数学建模预测人口增长的方法：差分方程、微分方程、回归分析、时间序列等.结合所给数据以差分方程组的Leslie模型为基础.考虑不同地区、不同性别人口参数的差别及农村人口向城市迁移等因素.按照地区和性别建立以时间和年龄为基本变量的中国人口增长模型.利用历史数据估计生育率、死亡率及人口迁移等参数，代入模型求解并作预测.模型假设中国人口是封闭系统,将数据中的市、镇合并为城市,与农村(乡)作为两个地区;只考虑农村向城市人口的单向迁移,不考虑与境外的相互移民.对中短期人口预测,生育率、死亡率及人口迁移等参数用历史数据估计;长期预测考虑总和生育率的控制、城镇化指数的变化趋势等因素.女性每胎生育一个子女.模型建立~k年,i岁(不满i+1岁),地区j(j=1城市,j=2农村),性别l(l=m男性,l=w女性)的人口数量.~死亡率(死亡人数占总人数的比例).~存活率.~生育率(k年每位i岁女性平均生育婴儿数).~婴儿性别比(男婴比例).[i1,i2]~育龄区间.~迁移数量(迁入为正,迁出为负).模型建立 男婴数量存活率性别比生育率女性人口迁移女婴数量存活率迁移人口数量人口数量演变 j=1,2 模型建立~k年每位育龄女性的生育数.假定所有女性在育龄期间都保持这个生育数.——表述、控制人口增长的重要指标.~总和生育率(每位女性一生的平均生育数). 生育率(k年每位i岁女性生育数)分析~生育模式(i岁女性生育数在育龄女性中的比例).模型建立~农村向城市迁移的人口数量假设单向迁移~人口分布向量~存活率矩阵~生育模式矩阵~人口迁移向量模型建立按地区和性别划分、以年龄为离散变量、随时段演变的人口发展模型.因生育过程使女性人口出现在男性人口方程中,导致方程之间的耦合作用.4n阶差分方程组人口随年龄增长的演变人口生育形成演变人口迁移引起演变参数估计 人口发展模型可表为  存活率的估计死亡率与年龄关系大,与地区、性别和时间的关系小.中短期预测：将过去若干年不同地区、性别和各年龄人口的死亡率简单地取平均值.长期预测：用统计方法对历史数据加以处理，并参考发达国家人口死亡率的演变过程给出估计值.参数估计中国几十年来死亡率降低较快,未来趋势仍持续下降.参数估计生育率的估计中国女性生育率已在持续下降后大致保持稳定.中短期预测：将过去若干年不同地区、性别和各年龄人口的生育率简单地取平均值.长期预测：设定几个不同水平的总和生育率生育模式可采用概率论中的分布:ic~生育高峰年龄婴儿性别比可由数据中0岁男婴和女婴的比率得出.人口迁移的估计参数估计农村迁移的人口总数按照城镇化率的增长估算.~k年全国城镇、农村和总人口~城镇化率——根据历史数据预测k年农村迁移人口总数 迁移人口年龄、性别分布用典型城市的资料代替.~迁移人口比例模型求解 选定初始年份用人口发展模型递推计算全面、完整地描述人口的演变过程.人口指数——简明反映一个国家或地区的人口特征.人口总数 平均年龄模型求解人口指数平均寿命~按k年死亡率计算的k年出生人口平均存活时间.老龄化指数~平均年龄与平均寿命之比抚养指数ρ(k)~每个劳动力平均抚养的无劳动力人数L(k)~劳动力人数[im1,im2],[iw1,iw2]~劳动力年龄小结与评注人口迁移是比较复杂的因素,历史数据不多、不完整,模型中人口迁移部分比较粗糙.生育在一定意义上可以控制,应该对总和生育率和生育模式设定几种方案,对预测结果进行分析.差分方程组形式的Leslie模型简明地表述了人口发展过程中生育和死亡两个自然因素的作用.死亡基本上不可控制,稳定环境下死亡率变化慢,用历史数据能较好地对中短期预测做出估计.