用变量代换法求函数极值与最值的几个结论

!!收稿日期"!((FI*!I*9 第!!卷第"期 大!学!数!学 #$%&!!#’&" !(()年*(月 +,--./.0123.0124+5 ,67&!(() 用变量代换法求 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数极值与最值的几个结论 张广计 $西北政法学院 经贸系#西安 G*(()9% !!!摘!要"变量代换法是求函数极值与最值的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 之一!*"#它可使问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 简化!!"#但也容易导致错误#本文 对此进行了探讨#并给出了几个结论& !关键词"变量代换&极值&最值&同胚映射 !中图分类号",*G!!!!文献标识码"+!!!文章编号"*)G!I*F"F$!(()%("I((HHI(9 引例!求N;$G9:G!%! 的极值" 错误解法!设D;G9:G!#则N;D!"D;(是N关于D的极小值点"由D;(得G9:G!;(#得G;(# *#所以N在(#*点取得极小值"而正确 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 是’N在(#*点取得极小值#在!9 点取得极大值"由此可见# 采用变量代换法可能导致失误#下面就这一问题进行讨论" 文中#(某点的邻域)是指含有该点的任一开集"(极值)是指在极值定义式中含有等号的极值#不含 等号的极值称为(严格极值)"F为符号集*6#.#;#5#7+" 设定!N;K$D%为实函数#D;$D*#D!#,#D(%,J1A(#41A! 且4(V#J;*$D*#D!#,#D(%+D$ ;!$$G%#$;*#!#,#(&G,4+" 引论!!9"!对于设定#若函数组D$;!$$G%$$;*#!#,#(%均在4上连续#则由函数组D$;!$$G%$$ ;*#!#,#(%确定的4)J的映射. 在4上也连续" 引论$!F"!设,#7 是度量空间#映射K’,)7#那么K在, 上连续的充要条件是像空间7 中的任 一开集2 的原像K:*$2%是,中的开集" 引论%!F"!设,是度量空间#H1I1,#I为开集#则H为, 的开集的充要条件是H 是相对于I 的开集" 结论!!对于设定#设4#J 均为开集#函数组D$;!$$G%$$;*#!#,#(%在4 上均连续#D( ;$!*$G(%#!!$G(%#,#!($G(%%"若D( 是K$D%的极大$小%值点#则G( 为K$!*$G%#!!$G%#,#!($G%%的 极大$小%值点" 证!仅证极大值点的情形"设由函数组!$$G%确定的4)J的映射为.#因为!$$G%均在4上连续# 所以.也在4上连续$引论*%"因为D( 为J中极大值点#所以总存在D( 点的某一邻域9$D(%1J#使 FD,9$D(%时#K$D%.K$D(%"因为J为开集#所以9$D(%是相对于J的开集$引论9%#又因为.连续# 所以.:*$9$D(%%是相对于4的开集$引论!%#而4为开集#所以.:*$9$D(%%也为A! 的开集$引论9%" 又G(,.:*$9$D(%%#所以.:*$9$D(%%为点G( 的一个邻域"FG,.:*$9$D(%%#则$!*$G%#!!$G%#,# !($G%%,9$D(%#所以 K$!*$G%#!!$G%#,#!($G%%.K$!*$G(%#!!$G(%#,#!($G(%%" 结论$!在结论*中#若由函数组D$;!$$G%$$;*#!#,#(%确定的4)J的映射. 为一一对应#且 .的逆映射.:*连续$即.是4)J 的同胚映射%#则D( 是K$D%的极大$小%值点的充要条件是G( 为 K$!*$G%#!!$G%#,#!($G%%的极大$小%值点" 万方数据 证!必要性可由结论*得证!充分性仅对极大值点的情形予以证明"设G( 是K"!*"G#!!!"G#!$! !("G##的极大值点!则存在G( 的一个邻域9"G(#14!使FG,9"G(#! K"!*"G#!!!"G#!$!!("G##.K"!*"G(#!!!"G(#!$!!("G(##" 由.是4)J的同胚映射及引论9可知!."9"G(##为D( 的一个邻域"设FD,."9"G(##!存在G,4! 使D;"!*"G#!!!"G#!$!!("G##"由于对给定的D!G是唯一存在的!所以G,9"G(#! K"!*"G#!!!"G#!$!!("G##.K"!*"G(#!!!"G(#!$!!("G(##" 即K"D#.K"D(#" 在结论!中!把%极大"小#值点&都改为%严格极大"小#值点&!结论仍成立" 结论%!对于设定!设D(;"!*"G(#!!!"G(#!$!!("G(##!则D( 是K"D#的最大"小#值点的充要条件 是G( 是K"!*"G#!!!"G#!$!!("G##的最大"小#值点""证明略# 结论&!对于设定!设函数组D$;!$"G#"$;*!!!$!(#在4 上均连续!4!J 均为开集!D( ;"!*"G(#!!!"G(#!$!!("G(##"若D( 为K"D#的约束条件%6"D#F6("6;*!!!$!1’D,J#下的极大 "小#值点!则G( 也为K"!*"G#!!!"G#!$!!("G##在约束条件下%6"!*"G#!!!"G#!$!!("G##F6( "6;*!!!$!1’G,4#下的极大"小#值点 "F6,F!6;*!!!$!1#" 证!仅证极大值点的情形"设由函数组!$"G#确定的4)J 的映射为.!则.为连续映射"因为D( 为K"D#的条件极值点!所以存在D( 的一个邻域9"D(#!使FD,9"D(#4& "&;(D+%6"D#F6(!D,J! 6;*!!!$!1)!K"D#.K"D(##"仿结论*的证明可得.:*"9"D(##为G( 的一个邻域"现在证明 .:*"&#;&*"&*;(G+%6"!*"G#!!!"G#!$!!("G##F6(!G,4!6;*!!!$!1)" FG,.:*"&#!设D;"!*"G#!!!"G#!$!!("G##!则."G#;D,&!所以%6"D#F6("6;*!!!$!1#!即 %6"!*"G#!!!"G#!$!!("G##F6(!"6;*!!!$!1#! 所以G,&*" 反过来!FG,&*!即G满足%6"!*"G#!!!"G#!$!!("G##F6!"6;*!!!$!1#!设D;"!*"G#! !!"G#!$!!("G##!则D,&!所以G,. :*"&#!得证"设FG,.:*"9"D(##4&*!即G,.:*"9"D(# 4.:*"&##;.:*"9"D(#4&#*9+"设D;"!*"G#!!!"G#!$!!("G##!则."G#;D,9"D(#4&!所以 K"D#.K"D(#!即 K"!*"G#!!!"G#!$!!("G##.K"!*"G(#!!!"G(#!$!!("G(##" 结论(!在结论F中!若由函数组D$;!$"G#"$;*!!!$!(#确定的4)J的映射. 为一一对应!且 .:*连续!则D( 为K"D#在约束条件%6"D#F6("6;*!!!$!1’D,J#下的极大"小#值点的充要条件是 G( 为K"!*"G#!!!"G#!$!!("G##在约束条件%6"!*"G#!!!"G#!$!!("G##F6("6;*!!!$!1’G,4#下 的极大"小#值点"F6,9!!6;*!!!$!1#" 证!必要性由结论F可证得!充分性仅对极大值点的情形予以证明"设G( 为K"!*"G#!!!"G#!$! !("G##的条件极大值点!则存在G( 点的一个邻域9"G(#!使FG,9"G(#4&*"&*;(G+%6"!*"G#! !!"G#!$!!("G##F6(!6;*!!!$!1’G,4)#! K"!*"G#!!!"G#!$!!("G##.K"!*"G(#!!!"G(#!$!!("G(##" 由.是4)J的同胚映射及引论9可知!."9"G(##为D( 的一个邻域"现在证明 ."&*#;& "&;(D+%6"D#F6(!6;*!!!$!1’D,J)#" FD,."&*#!则存在G,&*!使."G#;D!显然!D;"!*"G#!!!"G#!$!!("G##"因为%6"!*"G#!!!"G#! $!!("G##F6"6;*!!!$!1#!所以%6"D#F6("6;*!!!$!1#!所以D,&" 反过来!设FD,&!则存在G,4!使D;"!*"G#!!!"G#!$!!("G##"因为%6"D#F6("6;*!!!$!1#! 所以%6"!*"G#!!!"G#!$!!("G##F6("6;*!!!$!1#!所以G,&*!D,."&*#!得证" FD,."9"G(#4&!即D,."9"G(##4."&*#;."9"G(#4&*#"因为. 为单射*9+#!设 D;"!*"G#!!!"G#!$!!("G##!因为.是一一对应!对给定的D!G是唯一存在的!所以G,9"G(#4&*! 所以 K"!*"G#!!!"G#!$!!("G##.K"!*"G(#!!!"G(#!$!!("G(##! 即K"D#.K"D(#" ((* 大!学!数!学!!!!!!!!!!!!!!第!!卷 万方数据 在结论"中!若把"极大#小$值点%都改成"严格极大#小$值点%!结论仍成立" 结论)!对于设定!设D(;#!*#G($!!!#G($!&!!(#G($$!则D( 为K#D$在约束条件%6#D$F6( #6;*!!!&!1’D,J$下的最大#小$值点的充要条件是G( 为K#!*#G$!!!#G$!&!!(#G$$在约束条件 %6#!*#G$!!!#G$!&!!(#G$$F6(#6;*!!!&!1’G,4$下的最大#小$值点 #F6,F!6;*!!!&!1$"#证 明略$ 例!讨论函数U;!NG ? G! N! 在J 上的极值与最值!其中J;(#G!N$+G7(!N7()!约束条件为 G!?N!6*" 解!设 GRO6$L/! #*$ NROLMC/! #!( $ 4; #O!/$(6/60! !O7( )( "由#*$!#!$确定的映射.*4)J 是同胚映射!所以原问题可化为函数 U;!7BC/? *7BC!/ 在4上满足约束条件O6*下的极值与最值问题!即化为函数U;!7BC/? *7BC!/ 在区间 (!0# $! 内的无条件极值与最值问题"设4*; (!0# $! !令 #;7BC/!#,J*;#(!?e$" #9$ 显然由#9$确定的映射.**4*)J* 是同胚映射"这时!U;!#?*#! 在#(!?e$内有唯一驻点#;*!且#;* 是极小值点!从而也是最小值点+","又因为驻点唯一!所以函数没有极大值与最大值"当#;*时!得 /;0F ’再由/;0F 及(6O6*得 G;N;)! (6)6?!# $! " #F$ 由结论"!)可知!#F$为函数的极小值点与最小值点!函数无极大值与最大值" +参!考!文!献, +*,!程英&条件极值与变量代换+Q,&菏泽师专学报!*HH8!#"$*"H:)*& +!,!梅素珍!李梅&用三角变量代换求阻抗极值+Q,&电气电子教学学报!*HHH!#9$*!9:!"& +9,!李孝传!陈玉清&一般拓扑学导引+0,&北京*人民教育出版社!*H89!8H& +F,!夏道行!吴卓人等&实变函数论与泛函分析#下册$+0,&北京*高等教育出版社!*HH*& +",!同济大学数学教研室&高等数学#第五版$+0,&北京*高等教育出版社!!((!**"8& CZ/G9/1><8165N6/;4@?;S2:>:65; Z>4=8264CII<2=;826465_;72;DD1828>8264?/8.6@ ;6$ #S=[7&$X.6$C&!a$A7W^ =L7OCMY&$XP$%M7M6LBC<-B^ !mM-BC G*(()9!+WMCB$ CD187;=8*5KVL7M7K7M$C$XYBAMBV%=MLB\=7W$<$XL$%YMCN=‘7A=\=YB%K=BC<\B‘M\K\$XBXKC67M$C! W^M6W6BC LM\[%MXZ7W=[A$V%=\!VK7MLLKV]=677$\BDMCN\ML7BD=L!BV$K77WML