考点跟踪训练30 视图与投影
一、选择题
1．(2011·盐城)下面四个几何体中，俯视图为四边形的是( )
答案 D
解析 几何体A、C的俯视图是圆形，几何体B的俯视图是三角形，只有几何体D的俯视图是四边形．
2．(2011·宁波)如图所示的物体的俯视图是( )
答案 D
解析 从上往下看，易得到横排有三个正方形，选D.
3．(2011·温州)如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是( )
答案 A
解析 从正面看，圆柱的主视图是矩形，两个圆柱，主视图是两个长方形，再从位置观察，选A.
4．(2011·荆州)如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角尺的对应边长为( )
A．8 cm B．20 cm C．3.2 cm D．10 cm
答案 B
解析 由相似三角形的对应边成比例，有eq \f(2,5)＝eq \f(8,x)，x＝20.
5．(2011·杭州)如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的a＝( )
A．2 eq \r(3) B.eq \r(3) C．2 D．1
答案 B
解析 画正六棱柱的俯视图，连接FC、AE交于点G，图中FC＝4，则AF＝2，AG＝EG＝a，在Rt△AFG中，AF＝2，∠AFG＝60°，所以sin60°＝eq \f(a,2)，a＝2sin60°＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
二、填空题
6．(2011·菏泽)如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值的是____________．
答案 6
解析 相对两个面上的数字分别是1与5,2与6,3与4，故和最小的是1＋5＝6.
7．(2011·枣庄)如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视
图中面积最小的是_______．
答案 左视图
解析 画出三视图，相比较可知左视图的面积最小．
8．(2011·孝感)一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有________个．
答案 5
解析 解法一：画出几何体的俯视图，或组成这个几何体的小正方体有5个或6个，最少有5个．
解法二：综合左视图与主视图，这个几何体的底层最少有2＋1＝3个小正方形；第二层最少有2个小正方形，因此组成这个几何体最少有3＋2＝5个小正方体．
9．(2010·新疆建设兵团)长方体的主视图和左视图如下图所示(单位： cm)，则其俯视图的面积是________cm2.
答案 12
解析 长方体的长是4 cm，宽是3 cm，俯视图面积是12 cm2.
10．(2011·东营)如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中，共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中，共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中，共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；……；则第⑥个图中，看得见的小立方体有__________个．
答案 91
解析 看不见的小立方体的个数分别是0,1,8,27，……，即(n－1)3个，所以看得见的小立方体有[n3－(n－1)3]个．当n＝6时，63－53＝216－125＝91.
三、解答题
11．(2011·广州)5个棱长为1的正方体组成如图的几何体．
(1)该几何体的体积是________(立方单位)，表面积是__________(平方单位)；
(2)画出该几何体的主视图和左视图．
解 (1)5,22.
(2)
12．(2011·茂名)画图题：
请你画出下面“蒙古包”的左视图．
解
13．(2011·荆州)如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？
解 画长方体的侧面展形图，由勾股定理，得eq \r(52＋122)＝13.
答案：最短路径长为13 cm.
14．(2010·东营)将一直径为17 cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒，则这样的纸盒体积最大为多少cm3?
解 设正方体边长为a，
则a2＋(4a)2＝172,17a2＝172，
a2＝17，a＝eq \r(17).
∴体积a3＝(eq \r(17))3＝17eq \r(17).
答：体积是17eq \r(17) cm3.
15．(2010·宁波)十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数(V)
面数(F)
棱数(E)
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是____________；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是______；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱. 设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x＋y的值．
解 (1)表中填：6, 6；V＋F－E＝2.
(2)20.
(3)这个多面体的面数为x＋y，棱数为eq \f(24×3,2)＝36条，
根据V＋F－E＝2，可得24＋(x＋y)－36＝2，
∴x＋y＝14.
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