第二章导数与微分

第二章导数与微分2.1导数的概念导数的思想最初的法国数学家费玛（Fermat）为了解决极大、极小问题而引入的。但导数作为微分学中最主要的概念，却是英国物理学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）分别在研究力学与几何学过程中建立的。下面我们以瞬时速度问题、边际成本问题为背景介绍一下导数的相关内容一一变化率。2.1.1变化率问题举例当我们研究变量时，不仅需要研究变量与变量之间的对应关系（即函数关系）、变量的变化趋势（即极限），还要研究变量变化的快慢的程度。例如，物体运动的速度，国民经济发展速度，劳动生产率等等，这类问题通常叫做变化率问题。瞬时速度（变速直线运动的速度）通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内运动的平均速度。例如：一辆汽车从甲地出发到达乙地，全程120公里，行驶4小时，则汽车行驶的速度120是——=30公里/小时，这仅是回答了汽车在这段路程中的平均速度。事实上，4汽车并不是每时每刻都以30公里/小时性质。这是因为，下坡时跑的快些，上坡时跑的慢些，也可能中途停车等，即汽车每时每刻的速度是变化的。一般来说，平均速度并不能反映汽车在某一时刻的瞬时速度。随着科学技术的发展，仅仅知道物体运动的平均速度就不够用了，还要知道物体在某一时刻的瞬间速度，即瞬时速度。例1.已知自由落体运动的路程S与所经过的时间t的关系是1S=g2t,曲【0,】T现在来求t。时刻的落体速度。2解：取一个邻近于t。的时刻t^t，这时落体在t。到t^t这一段时间内的平均速度为,1.212gt^-tgt01,平均速度—随时间改“仝二」2t°：ttt2变量：t的变化而变化，当：t越小时，—越接近一个定值gt0，这个值就是At-t—0时一S的极限，我们规定这个极限为落体在t=t0时的速度，又叫做瞬时△t速度，记作v。Asv二limlim」一P过汽o：tS与时间t的关系是S=ft,则它从到这一段时间内的平均速度为v二—it度即为平均速度当o时的极限:fto*t一fto，而在to时刻的瞬时速.:t..Asf(to+At)—f(to)=lim——=limt土—AtIAt例2.产品总成本的变化率设某产品的总成本C是产量q的函数，即C二fq。当产量由q0变到qoq时，总成本相应得改变量为.'C二fq0「qfq0,则产量由qo变到qoq时，总成本的平均变化率为旦fqo9「fqo，当g>o时，如果极fqoq-fq存在，则称此极限是产量为时的总成本的限limC=lim山二0Aq右Aq变化率，又称边际成本。例3.切线斜率欲求曲线上一点的切线方程，关键在于求出切线的斜率，那么，怎样求出切线斜率呢？设有一条平面曲线，它的方程是y二fx。求过该点曲线上一点Pxo,y。y^fxo的切线斜率。未知的切线斜率也不是孤立的概念，它与已知割线斜率联系着。在曲线上任取另一点Q。设它的坐标是x^7=x,yo*y，其中x^0,厶y=fx0-fx0。由平面解析几何知，过曲线y二fx上点PXo，y°与QX。x,y°y的割线斜率(即y对泳的平均变化率)x。=XxXo一般来说，如果物体运动的路程k」JXo：x一fX0.当・,x变化时，即点Q在曲线上变动时，割线PQ的LXLX斜率k'也随之变化，当|Ax较小时，割线的斜率k'应是过曲线上点P的切线斜率的近似值。当歆越小这个近似程度也越好。于是，当无限趋近于0时，即点Q沿着曲线无限趋近于点P时，割线PQ的极限位置就是曲线过点P的切线，同时割线PQ的斜率k的极限k就应该是曲线过点P的切线斜率（即y=fx在xo的变化率），即k=1卯0-^=1卯卩fx2。于是，过曲线y=fx上一点Pxo,yoyo=fxo]]的切线方程是y-fx^v^kx-xo。切线斜率的定义也给出了计算切线斜率的方法，即计算2式极限。特别注意：这也是导数的几何意义，我们在2.1.4节有相应的具体讲解。上面的例子表面上是不同领域的问题，但从抽象的数量关系来看，其实质是一样的，都是函数的改变量与自变量的改变量之比当自变量的改变量趋于零时的极限，我们把这种特定的极限叫做函数的导数。2.1.2导数的定义定义2.1:设函数y二fx在点xo的某个邻域内有定义，当自变量在点xo处取得改变量x=0时，函数fx取得相应得改变量y=fx^vlx-fxo。如果当=Xro时,fX。"X-fx存在，则称此极限为函数Xy=fx在点Xo的导数，记作,f'（X），或y'，或鱼5或生XNdxx=x）dx并称函数fX在点Xo可导；如果1叽」不存在，则称函数y二fx在点X）不可导。定义2.1:若函数y=fx在区间a,b内任意一点处都可导，则称函数y二fx在区间a,b内可导。若y二fx在区间a,b内可导，则对于区间a,b内的每一个x值，都有一个导数值f'x与之对应，所以f'x也是x的函数，叫做y=fx的导函数，简称导数。记作fX，或y，或dx，或密。容易得到，fx的导数f'x在点X=X°处的函数值就是fx在点xo处的导数f'X。。这样前面的三个例子可以表示为变速运动的速度是路程S对时间t的导数，即vt…穿产品总成本的变化率是总成本C对产量q的导数,即C'q=空；割线斜率（即純对x的平均变化率）是y对x的导数即dqdyyxdx根据导数的定义，求函数fx的导数的一般步骤如下:写出函数的改变量y=fx丄xfx；计算比值卫」x八x；△x求极限y'=f'x“imfx八x■■x)0x例2.根据定义，求下面函数的导数；设fx=5x2，求f0,f-1解：先求出函数fx的导数:1.函数的改变量y=fx“[jfx=10^x5x22.计算比值卫J0x*5'x=1ox5：x△xAx3.求极限y=l.im。10x5：x=10x所以f'0=100=0,f'-1=10-1二-112.1.3利用定义计算导数下面我们根据定义来求部分基本初等函数的导数。1.常数函数的导数设y=c（c为常数），由于无论x取任何值，y=c恒成立，总有，y=c-c=0,于是型=2=o，所以（c）=lim翌=0。即常数函数的导数为零幕函数的导数设y=xn（n为正整数），。由二项式定理可得辿二x2nxnJxn；1xn°：；.x$m；n」=nxn(n—1]x2!xn，(Ax)+n+(&)于是卫^严卩匸1△x2!n_2n」xnx……，x，2!n_!x……x二nxn_l即(xn)=n_1nx需要说明的是：对于一般的幕函数（a为实数）上面的公式也成立，即aa」xax，在以后的学习过程中我们给大家证明。例3.:设y=x5,y=^^,y=Jxy=xx,y=(吸)，求y解：由幕函数的求导公式得:x5=5x4；gw1」、X一23x_2；x7；xaxb二Xab二abXabJ；m/m\xnmmn4xnn正弦函数与余弦函数的导数设y=sinx，贝Uy=sinx：xf-sinx，xxxx=sin|x+——+——l-sin|x+——-——A2丿2」[I2丿2xxcos——+coslx+——222sin「sinx2.x:xcoscosIx■■22.Axsin一22sinxcosx2Ix—sx.Axsin-2lxcosIXx、sin——2丿Z2一=cosx1=cosx即（sinx）=cosx。类似可证明得到（cosx）=-sinx对数函数的导数X地设y=log：（x〉°,aa°,a工1）,则Ay=log（x也L：=logax3于是卫二log：x二xZAxxAxx所以limy占xx1X耳1|e1-log：lim1log：:xx0xxxlna即（log；）=1xlna1特别地，当a=e时，因为lne=1，所以有（lnx）=—x指数函数的导数I设y=ax（a=0,a式1），则（ax）=axlna特别地，当a=e时，因为lne=1，有（ex）=ex例4.设y=lgx,y=log：,y=10二y二axex，求y解:（lgx）1xln10log：=1loge；xlnx2.1.4导数的几何意义设函数y=fx的图像如图所示，在其上任取两点M0x^y。和Mx^x,yox作割线M°M，设其倾斜角为，则割线的斜率ta「，卫」X。「X-fX。。设点二X二XM沿曲线y=fx趋近于M。时，割线MoM趋近于极限位置M°T，MoT就是曲线在点M。处的切线，设M°T的倾斜角为：•，当.：x>0时，点M》M0,割线M0M》M0T，中-，于是fx0=l.im*=•limtan_：：t°a这个式子说明，函数y=fx在点怡处的导数f'(x。)就是曲线y=f(X在点M°(x,yo处的切线MoT的斜率k=tan=卡ox，这就是导数的几何意义。根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，很容易得到曲线y二fx在点MoXo,yo处的切线方程为y-yo=f'Xo・X-Xo。2例5.求曲线y二亍在点P2,1处的切线方程。r2\k=y」2X解:一=X，\2丿根据点斜式切线方程为y-1=2x-2整理得：y二2x-32.1.5可导与连续的关系定理2.1如果函数y=fx在点Xo处可导，则y=fx在点Xo处一定连续证明：因为八fX在点X0可导’则有f'xo匕点X点Xo处连续。lim-lim•J0.lx.J0.x=fiXgi^=0,由疋乂1.16知，—=fixi在特别指出：这个定理得逆命题不成立即函数y=fx在点Xo连续时，在点Xo不一定可导。例：函数y=3x在点x=0处连续，但不可导。因为Ay=30*x-30=3Axli=lilim1-=旳，所以在x=0处，y=殒连续，但不可导。x0.；x■■:x>0.^x_-x》（3x22.2导数基本公式与运算法则2.2.1导数的四则运算法则求导数的运算式微分的基本运算之一，我们必须很好地掌握。上一节我们根据定义推出利几个基本初等的导数公式，其他几种初等函数的导数也完全可以用上面的方法求得。但比较麻烦，而且仅有基本初等函数的导数公式，其应用范围也是有限的。为此我们将在下面的几节中学习导数的四则运算法则、复合函数的求导公式、隐函数求导法及对数求导法，这样就会比较方便的求出任何初等函数的导数了。代数和的导数设函数ux和vx在点x处可导，则y=ux_vx在点x处也可导，且（u土v）=u'±v，即：两个函数代数和的导数等于它们导数的代数和。乘积的导数设函数ux和vx在点x处可导，则y=uxvx在点x处也可导，且（uv）=u'v+uv'，即两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第二个函数的导数乘第一个函数。特别地，当其中有一个函数为常数c时，则有（cuj=cu;推广到有限个可导函数''''仍然成立，例如：（uvw）=uvw+uv'W+uvw商的导数设函数ux和vx在点x处可导，且vx-0，则y二勺/在点x处也可导，且v（x）uuv-uv——2Vv2,即两个函数之商的导数等于分子的导数乘分母，减去分母的导数乘分子，再除以分母的平方。例1.设y二3x2-x•7，求y'解：y二3x2]•ix]亠7=32x-10=6x-1例2.设y=x2ex，求y解:y=x2ex=x2exx2ex=2xexx2ex=2xx2ex例3.设y=52x-3x，求yTOC\o"1-5"\h\zIII解：y=5i[2x-3i[X852x-3i[x852x-3i[X8=02x-3x852x852x-31二20x65例4.设y二xln3x3In3-3x23x232x31^1，求yx+1解:'3x-1x31-3x-1x31y=32(x+1)3xln3x31-3x-13x232例5.5x3-2x7一厂，求y'(x3+1)解：本题看起来可利用商的导数公式计算，但是那样比较繁琐，容易出现错误。但实际上这种分母是单项幕函数的分式，可以先化简，再求导。511先化简，得：y=5x2-2x2•7x22jx3X2=25.x32例6.求y=tanx的导数解：把正切函数看成正弦与余弦的商，利用运算法则来求导数。因为y-沁，所以cosxII22(sinx)cosx—sinxfcosx)cosx+sinx12y=222=secx(cosx)(cosx)(cosx)即(tanx)=secx利用冋样方法可以得到(ctanxj-esc2xsinx2.2.2复合函数的导数为了说明复合函数的导数的特点，我们先看一个例子。y=sin3x•1是一个复合函数，它可以看成是由y=sinu及u=3x•1复合而成的。我们设想一下这个函数的导数应该具有什么样的形式呢？是否应该等于函数对中间变量的导数cos3x1呢？为了解决这个问题，下面我们利用定义求出它的导数。•：y=sin||3x：=x1-sin3x1=2sin.2sin_jV-cos3x1叭号Pmo2sinSos3x1宁二［xm0cos3x1.3xsin23二3lim2limcos3x13AxzMI22=31cos3x1二3cos3x1在这个结果中，除了我们设想的函数对中间变量的导数cos3x1之外，还多了一个3，3恰是中间变量u=3x•1对自变量的导数，一般地有定理2.2设函数u='x在点x处有导数d^='x，函数y=fu在点u处有导数dx^-f'u，则复合函数y二fr在该点x也有导数，且du-dy'.''''dydydufu「x，或yx二yuq，或dxdxdudx这个定理说明：复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。例7.求下列函数的导数：3124⑴y=cosx⑵y=n(3)y二辽-5xsinx解：⑴设u=cosx，y=u3，由定理2.2得yx=yuux=3u2-sinx=-3cos2xsinx⑵设u=sinx，y=u』，由定理2.2得yx=yuux-n)u~fn4f)cosx=(-n)sinx"^*cosx⑶设um[25x2，y二u4，由定理2.2得32323yx=yuux=4u10^=425x10x二40x25x在熟练掌握复合函数的求导公式后，求导时将不必写出中间过程和中间变量。定理2.2的结论可以推广到多次复合的情况，例如y=fu,u='v,v=「x，则复合函数yfx；的导数为鱼二鱼史史。复合函数求导数公式，好dxdudvdx像链条一样，一环扣一环，所以有些书上又称之为链式法则十。运用这个法则时，应该了解因子的个数比中间变量的个数多一个，注意不要遗漏任何一层，且最后一个因子一定是某个中间变量对自变量的导数。例8.求下列函数的导数：⑴y=log32sin2x3tan21[■⑵y二In2(3)y二xsin⑷y=2x(x_3丿解：⑴设y=log：,u=3•2v2,v二sinx，由定理2.2得幼二yuUvVx=12322sinxcosx二2332sinxIn32sinxIn2sin2x⑵设y=Inu,ux=tanv,v,由定理2.2得2yx=yu有些函数求导时,xcos.2_1•xsinxsin22x11sec一2221xtan2需要综合运用各种求导法则。⑵整体来看是一个乘积，先用Uvxcos一2乘积的导数公式，而其中的因子x2,sin1是复合函数，对它们求导时，又要用复x合函数的求导法则。⑷整体来看是一个幕函数，我们把底数视为中间变量，中间变量求导要用商的导数公式。⑶y'=(x2)■'sin】Ix丿x2sin」Ix=2xsin1+x2.cos「⑴Xlx丿=2xsi1-xcJsJxxxX2-3x]二n_x2-3nJ'22xx「3Lxx「322(x2-3)—n2lx—3丿x2-3-2x2nxn4x23n1x2-3712⑴求函数y=Inx2-3解：由对数性质，有In1x2-In1-x2，则y=1||In1x2寸1In1-x2'例8.的导数TOC\o"1-5"\h\z2x2x2x—+=1+x2(1-x2)1-x4例9.推导y=xa的求导公式证明：利用对数的性质我们将函数写成指数式y=xa=ealnx,令alnx=u，｛则y=eu，y'=ealnxalnx=ealnxa1=axa1=axaJxx2.2.3隐函数的导数用解析法表示函数时，通常可以采用两种形式，一种是把函数y直接表示成自变量x的函数y二fx，称为显函数。另一种是函数y与自变量x的关系由方程Fx,y=0来确定，即y与x的函数关系隐含在方程中。我们称这种由未解出因变量的方程Fx,y=0所确定的y与x之间的函数关系为隐函数。例如：xx2y2=4，xy=ey，sinx2y[-5x=0，eey2yey-xy=0，2x2_y4=0等。有些隐函数可以化为显函数，例如函数2x2-y•4=0可以化为y=2x2•4。有些隐函数在不能化为显函数，例如ex・ey-xy=0就不能化为显函数，所以我们要研究从隐函数直接求其导数的方法。隐函数求导的方法是：方程两端同时对x求导，遇到含有y的项，先对y求导，再乘以y对x的导数y，得到一个含有y'的方程式，然后从中解出y'即可例10.求下列方程所确定的隐函数的导数dy:dx⑴eyx-10y2=0—xy“求詈x=0解：⑴因为y是x的函数，所以y2是x的复合函数。将所给方程两边同时对x求导，得(eyx)-(10j+(y2)={0jy'y''eyxex_02yy=0⑵将所给方程两边同时对x求导，得(尸)—(xy)=(1)XyXV''''eeeey「：；〕xyxy=1xyxy'''eeeey-xy-xy=0整理得:x-Fyy「ex:;ye-x那么dydxO-e00X=0y=0e°"-0-11例11.求曲线xylny=1在点M1,1处的切线方程。解：先求由xylny=1所确定的隐函数的导数。因为y是的x函数，所以Iny是x的复合函数。将所给方程两边同时对xIII4求导，得xyi亠iIny=1即yxyy=0y解出y',xy11在点M(1,1)处，yxm=-―y£2于是，在点M1,1处的切线方程为：1y-1=-2x-1，即x2y-3=02.2.4取对数求导数有时还会遇到这样一些情形，虽然给定的函数是显函数，但直接求它的导数很苦难或者很麻烦，例如幕指函数y=u"(其中，u,v都是x的函数，且u・0)及一种因子之幕的连乘积的函数。对于这两类函数，可以通过两边取对数，转化成隐函数，然后按隐函数求导的方法求出导数y'。这样做常常会使计算简单或容易很多，这种方法称作取对数求导法。注：在这里，y'最终的表达中，不允许保留y,而要用相应的x表达式代替。请看下面两个例题：例12：求下列函数的导数八\』sinx/、Jx+2£3-X)⑴y=cosx(2)y5—(2x+1)解：⑴两边取对数，有iny=sinx」ncosx两边同时对x求导，可得丄号二sinxincosx亠isinXiilncosxy1COSX|二cosxinsinx-sinxcosx则y，二（cosx1Isinxcosx」nsinxsinxiicosxcosx即y=cosxs"x1」ncosx-sin2xcosxsinx」15⑵两边取对数，有iny=inx22in3-x-in2x1两边同时对x求导，可得丄.y，匚1一512y2x+23—x2x+12x2即y，1-|[2x■23-x2x1101Jx+2‘(3-x52x12.2.5导数的基本公式我们已经陆续学习了基本初等函数的求导方法了，下面不加证明地给出反三角函数的导数公式，今后我们只要能利用这些公式求导数就可以了。1arccosx1arctanx21+xarccotx=11x2例13.求下列函数的导数解:15),•••,伫怡)从定义可以看出，求高阶导数只需要进行一系列的求导运算，并不需要另外的方法。下面看一些例题。例1.求下列函数的导数：⑴y=ln1-x2求y⑵⑶y=xex求y(n)22x'解：⑴y^y—x2」1-x「I,2x1-x2-2x1-x2221-x21-x24x2221-x21x2221-x(2)y=xcosxxcosx=cosx-xsinxy=cosx-xsinx二-sinx-&xsinxx]isinx二—sinx「sinx「xcosx二-2sinxxcosxTOC\o"1-5"\h\z”(nn兀)y=-2sin——cos—=-2HYPERLINK\l"bookmark6"\o"CurrentDocument"V222丿(3)y'=xexxex=exxex=VxexIIy=1xex=1x1x]iex二ex1xex=2xexyC)=(n+x)ex2.4函数的微分2.4.1函数微分的概念在2.1节中我们讲过导数表示函数在点x处的变化率，它描述函数在点x处变化的快慢程度，但有时我们还需要了解函数在某一点处当自变量有一个微小的改变量时，函数所取得的相应该变量的大小，而用公式迥=fxcx-fx计算往往比较麻烦，于是我们想到寻求一种当厶X很小时，能近似代替：y的量。若给定函数y二fx在点x处可导，根据导数定义有lirn^—-fx。由定理1.2知y=f'x-•，其中:是当x>0时的无穷小量，上式可写作△x△y=f(x)仏x故&....(2.4J。(241)式表明函数的增量可以表示为两项之和，第一项f'xx是B的线性函数，第二项:：x是当0时比Ax高阶的无穷小量。因此，当x很小时，我们称第一项f'xx为勺的线性主部，并叫做函数fx的微分。定义2.3:设函数y二fx在点xq处有导数f'x0，则称f'x^x为y=fx在点xo处的微分，记作dy，即dy=f'xox，此时，称y=fx在点xo处是可导的。I例如：函数y=x3在点x=2处的微分为dy=(x3)4x=3x2・&=12'纵。x=2x=2函数y=fx在任意点x的微分，叫做函数的微分，记作dy=f'x;=x。如果将自变量x当作自己的函数y=x,则有dx二dy=]x=x=x，说明自变量的微分dx就等于它的改变量风，于是函数的微分可以写成dy二f'xdx，即f'x=鱼，dx也就是说，函数的微分dy与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此，导数又叫微商。例1.求函数y=x2在xWx=0.01时的改变量及微分。2解：Ay=(1+0.01)—12=1.0201—1=0.0201dy=y[1.x=210.01=0.02。可见，dy：、J：y。函数的微分有明显的几何意义，设函数y=fx的图像是一条曲线，如图所M。x°,y°，过M。点作曲线的切线M°T，它与Ox轴示，在曲线上取一定点NT，在直角三角形M°NT中，有的交角为〉，则该切线的斜率为tan=fX0。当自变量在X0处取得改变量x时，就得到曲线上另一点Mx^x,y^.y。过M点作平行于y轴的直线，它与切线交于T点，与过M。点平行于x轴的直线交于N点，于是曲线纵坐标得到相应得改变量绍二f冷伙fxd=NM。同时点M°处的切线的纵坐标也得到相应得改变量NT=tan：M°N=fx°:x=dyx%可见，函数微分的几何意义是在曲线上某一点处，当自变量取得改变量厶x时，曲线在该点处切线纵坐标的改变量。2.4.2微分的计算根据定义，求函数的微分实际上就是先求函数的导数，然后再乘dx即可求导数的一切基本公式和运算法则完全适用于微分，因此我们在这里就不一一罗列了。例2.求下列函数的微分：⑴y=e2xsinx(2)y=ecotx3II解：⑴y=e2xsin^=e2x'isin°e2x：isin°I3丿I3丿I3丿2x=e所以dy二ydx二e2xx1xsin—-cos—dx333TOC\o"1-5"\h\zix1x?*12sin—十一cos—V333丿(2)y二ecotx-csc2x所以dy二ydx二ecotx-cscxdx2.4.3微分形式的不变性我们知道，如果函数y=fu是u的函数，那么函数的微分为dy=f'udu,若u不是自变量，而是x的可导函数u=•x时，u对x的微分为du='xdx，所以，以u为中间变量的复合函数y二f[jx的微分dy=y'dx=f'(u沖'(x)dx=f'(u)0(x)dx]=f'(u)du，也就是说，无论u是自变量还是中间变量，y=fu的微分dy总可以用f'u与du的乘积来表示。函数微分的这种性质叫做微分形式的不变性。244微分的应用利用微分可以进行近似计算。由微分的定义可知，当x很小时，有近似公式=y：、dy=f'x()匚x。这个公式可以直接用来计算函数增量的近似值。又因为=fX。lx-fx0，所以近似TOC\o"1-5"\h\z公式又可写作fx0•Wfx0:f'x0x，即fx。r：xfx0f'x0x。这个公式可以用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值。例3.计算500.1的近似值。解：令f(&广，0x=1x0X,x则0f(xj00。10111fX。xfX。fxxf(X)=—,f(X。)=—=一。代入公式2依2』0020100.1:).1-100=10.00520使用公式fx0：=xfx0fx0x的步骤如下:①选定函数② 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 中所需要的各种值③代入公式请同学们试计算sin29的近似值。JT解:令fx=sinx,x0=30（注意要把度化为弧度）x=296ji汇29。180则fx0=sin30去2*1''Oyf3,fx=cosx,fx0=cos30=代入公式fXorxfx0fx0x得sin29-x022180：0.5-0.86600.0174：0.5—0.0151=0.4849：0.485例题4.1设某国民的国民经济消费模型为y=10•0.4x•0.01c2，其中y为总消费（单位：十亿元），x为可支配收入（单位：十亿元），当x=100.05时，问总消费是多少？解：令x0=100「x=0.05，因为丄x相对于x0较小，可用上面的近似公式来求值。fx0xfx0fxx/1、r1、10+0.4汉100+0.01汉1002+10十0.4"00十0.01汉1002Axk）k丿x=1000.05=50.120025（单位：十亿元）=50.10.4從'一2“XMxT00本章小结:第二章主要讲解内容重点是：导数和微分的概念及计算方法（见课本55-56页）1.基本概念2.基本计算方法3.简单应用第二章习题讲解。1(arcsinx)G—x2*2xfX)*2xfx!1=2e'IsineTcos-I3丿I3丿3