(完整版)高考圆锥曲线题型归类总结

圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用1、圆锥曲线的定义：（1）椭圆（2）双曲线（3）抛物线2、定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系（2）等价转换，数形结合3、定义的适用条件：典型例题2222例1、动圆M与圆C1：x1y36内切,与圆C2：x1y4外切,求圆心M的轨迹方程。2222例2、方程x6yx6y8 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程，然后再判断）：221、椭圆：由x、y分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。222、双曲线：由x、y系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。典型例题x2y2例1、已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是m12m22xy例2、k为何值时,方程1表示的曲线：9k5k(1)是椭圆；(2)是双曲线.题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题1、常利用定义和正弦、余弦定理求解222、PF1m，PF2n，mn，mn，mn，mn四者的关系在圆锥曲线中的应用典型例题22xy例1、椭圆1(ab0)上一点P与两个焦点F1，F2的张角F1PF2，a2b2求F1PF2的面积。例2、已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且F1PF260，S123F1PF2．求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；3、注重数形结合思想不等式解法典型例题22xy例1、已知FF（）的两焦点，以线段FF1、2是双曲线221a0，b012为边作ab正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）31A.423B.31C.D.31222xy例2、双曲线221(a0，b0)的两个焦点为F1、F2,若P为其ab上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1，3)B.13，C.(3,+)D.3,22xy例3、椭圆G：1(ab0)的两焦点为F1(c,0),F2(c,0)，椭圆上存在a2b2uuuuvuuuuv点M使FM1F2M0.求椭圆离心率e的取值范围；x2y2例4、已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线a2b2与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）(1,2]（B）(1,2)（C）[2,)（D）(2,)题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系22xy点在椭圆内1a2b2x2y2点在椭圆上1a2b2x2y2点在椭圆外221ab2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：>0相交=0相切（需要注意二次项系数为0的情况）<0相离3、弦长公式：222AB1kx1x21k(x1x2)1ka111()AB12y1y212y1y212kkka4、圆锥曲线的中点弦问题：1、韦达定理：2、点差法：（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x2－4y2=4的弦AB－被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l:x+y=1交于A,B两点，C是AB2的中点，若|AB|=22，O为坐标原点，OC的斜率为，求椭圆的方程。2题型六：动点轨迹方程：1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；2、求轨迹方程的常用 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；0例3、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______例5、一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为(4)代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:例6、如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________(5)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）三、联立方程组；四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五、根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）uuuruuurOAOBK1?K21OA?OB0x1x2y1y20②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”x1x2y1y2>0；③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（K1K20或K1K2）；④“共线问题”uuuruuur（如：AQQB数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；⑤“点、线对称问题”坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六、化简与计算；七、细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。典型例题：例1、已知点F0,1，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足uuuruuuruuuruuur为Q，且QPgQFFPgFQ．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）已知圆M过定点D0,2，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、Bl1l2两点，设DAl1，DBl2，求的最大值．l2l1例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；DM(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，DN求λ的取值范围.22xy例3、设F1、F2分别是椭圆C：1(ab0)的左右焦点。a2b23（1）设椭圆C上点(3,)到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐2标；（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPMKPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l:ykxm与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2例5、已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为22，离心率为，P是椭圆在第一2uuuruuuur1象限弧上一点，且PF1PF21，过P作关于直线FP对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；典型例题：例1、由①、②解得，xa2．不妨设Aa2,0，Ba2,0，22∴l1a24，l2a24．lll2l22a216∴12124l2l1l1l2a64222a816a221，③a464a464ll1616当a0时，由③得，1221≤2122．l2l126428a2a当且仅当a22时，等号成立．l1l2当a0时，由③得，2．l2l1l1l2故当a22时，的最大值为22．l2l1例2、解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，22∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=22125＞|AB|=4.∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴a=5,c=2,b=1.2x2∴曲线C的方程为+y=1.5(2)设直线l的方程为y=kx+2,2x222代入+y=1,得(1+5k)x+20kx+15=0.52223DMx1Δ=(20k)－4×15(1+5k)＞0,得k＞.由图可知=λ5DNx220kx1x2215k由韦达定理得15x1x215k2将x1=λx2代入得222400k(1)x2(15k2)2215x215k2(1)2400k280两式相除得215(15k)13(52)k23151208016k,0,5,即45232313kk53(5)k2(1)216DM14,0,解得3①3DN3x1DM,M在D、N中间，∴λ＜1②x2DNDM1又∵当k不存在时，显然λ=(此时直线l与y轴重合)DN3综合得：1/3≤λ＜1.322()3(3)2例3、解：（1）由于点(3,)在椭圆上，221得2a=4,⋯2分2abx2y2椭圆C的方程为1，焦点坐标分别为(1,0),(1,0)⋯⋯4分43（2）设KF1的中点为B（x,y）则点K(2x1,2y)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分2222xy(2x1)(2y)把K的坐标代入椭圆1中得1⋯⋯⋯⋯⋯7分4343212y线段KF1的中点B的轨迹方程为(x)1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分234（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称设M(x0,y0)N(x0,y0),p(x,y),2222x0y0xyM,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，得221，221⋯⋯10分abab222yy0yy0yy0bkPMKPN=22=2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分xx0xx0xx0a故：kPMKPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分22xy例4、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为1．⋯⋯⋯⋯（5分）43（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，ykxm，222联立x2y2得(34k)x8mkx4(m3)0，1.4322222264mk16(34k)(m3)0，即34km0，则8mkxx，1234k24(m23)x1gx2.34k222223(m4k)又y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2mk(x1x2)m，34k2因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2，0)，y1y2kADkBD1，即g1，x12x223(m24k2)4(m23)16mky1y2x1x22(x1x2)40，22240，34k34k34k229m16mk4k0．2k22解得：m12k，m2，且均满足34km0，71、当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；2k222、当m2时，l的方程为ykx，直线过定点，0．7772所以，直线l过定点，定点坐标为，0．⋯⋯⋯⋯（14分）722yx例5、解（1）1F1(0,2),F2(0,2)，设P(x0,y0)(x00,y00)42。uuuruuuuruuuruuuur22则PF1(x0,2y0),PF2(x0,2y0),PF1PF2x0(2y0)1222x0y024y0Q点P(x0,y0)在曲线上，则1.x024224y02从而(2y0)1，得y02，则点P的坐标为(1,2)2（2）由（1）知PF1//x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k0)，y2k(x1)则PB的直线方程为：y2k(x1)由x2y2得124222(2k)x2k(2k)x(2k)4022k(k2)k22k2设B(xB,yB),则xB2122k2k2k22k242k同理可得xA2，则xAxB22k2k8kyyk(x1)k(x1)ABAB2k2yAyB所以：AB的斜率kAB2为定值xAxB61143OFFPtsin例、解：（）由23|OF||FP|sin,得|OF||FP|,由cos，2sin|OF||FP|4343得tan.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分t4t431tan3[0,]∴夹角的取值范围是（,）⋯⋯643分（2）设P(x0,y0),则FP(x0c,y0),OF(c,0).uuuruuur2OFFP(x0c,y0)(c,0)(x0c)ct(31)cx03c⋯⋯⋯8分1uuur43SOFP|OF||y0|23y02cuuur22243243⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分|OP|x0y0(3c)()23c26cc43∴当且仅当3c,即c2时,|OP|取最小值26,此时,OP(23,23)c3OM(23,23)(0,1)(2,3)33或OM(23,23)(0,1)(2,1)⋯⋯⋯⋯12分3椭圆长轴2a(22)2(30)2(22)2(30)28a4,b21222221172117或2a(22)(10)(22)(10)117a,b2222xy故所求椭圆方程为1.或x2y21⋯⋯⋯⋯14分161291711722