2019高考数学一轮复习第9章解析几何第5课时椭圆一练习理

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　D解析　∵椭圆过(－2，eq\r(3))，则有eq\f(4,16)＋eq\f(3,b2)＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12，c＝2eq\r(3)，2c＝4eq\r(3).故选D.2．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，b＝4，离心率为eq\f(3,5).过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为(　　)A．10B．12C．16D．20答案　D解析　如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，即c＝eq\f(3,5)a，∴a2－c2＝eq\f(16,25)a2＝b2＝16.∴a＝5，△ABF2的周长为20.3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为eq\f(1,3)，则该椭圆方程为(　　)A.eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,128)＝1B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,36)＝1D.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1答案　D解析　∵2a＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，∴a＝6，c＝2，b2＝32.∴椭圆的方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1.4．若椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4＋k)＝1的离心率为eq\f(4,5)，则k的值为(　　)A．－21　　　　　　　　B．21C．－eq\f(19,25)或21D.eq\f(19,25)或21答案　C解析　若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝eq\r(5－k).由eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，即eq\f(\r(5－k),3)＝eq\f(4,5)，得k＝－eq\f(19,25)；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝eq\r(k－5).由eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，即eq\f(\r(k－5),\r(4＋k))＝eq\f(4,5)，解得k＝21.5．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m的值为(　　)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2D．4答案　A解析　将原方程变形为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1.由题意知a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，∴a＝eq\r(\f(1,m))，b＝1.∴eq\r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq\f(1,4).6．如图，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－2eq\r(5)，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,10)＝1D.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,25)＝1答案　B解析　设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示．由F(－2eq\r(5)，0)，得c＝2eq\r(5).由|OP|＝|OF|＝|OF1|，知PF1⊥PF.在Rt△PFF1中，由勾股定理，得|PF1|＝eq\r(|F1F|2－|PF|2)＝eq\r(（4\r(5)）2－42)＝8.由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2eq\r(5))2＝16，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1.7．若焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m等于(　　)A.eq\r(3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(8,3)D.eq\f(2,3)答案　B解析　∵a2＝2，b2＝m，∴c2＝2－m.∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(2－m,2)＝eq\f(1,4).∴m＝eq\f(3,2).8．(2018·郑州市高三预测)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　)A.eq\f(\r(2),2)B．2－eq\r(3)C.eq\r(5)－2D.eq\r(6)－eq\r(3)答案　D解析　设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝eq\r(2)m.由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋eq\r(2)m，即m＝(4－2eq\r(2))a，则|AF2|＝2a－m＝(2eq\r(2)－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－eq\r(2))2a2＋4(eq\r(2)－1)2a2，即有c2＝(9－6eq\r(2))a2，即c＝(eq\r(6)－eq\r(3))a，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(6)－eq\r(3)，故选D.9．(2018·贵州兴义第八中学第四次月考)设斜率为eq\f(\r(2),2)的直线l与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为(　　)A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,3)答案　C解析　由题意知，直线l与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)两个交点的横坐标是－c，c，所以两个交点分别为(－c，－eq\f(\r(2),2)c)，(c，eq\f(\r(2),2)c)，代入椭圆得eq\f(c2,a2)＋eq\f(c2,2b2)＝1，两边同乘2a2b2，则c2(2b2＋a2)＝2a2b2.因为b2＝a2－c2，所以c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2，所以eq\f(c2,a2)＝2或eq\f(1,2).又因为0b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C交于A，B两点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF1BF2的周长为(　　)A．4B．4eq\r(3)C．8D．8eq\r(3)答案　C解析　由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,2ab＝4，,c2＝a2－b2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))周长为4a＝8.11．(2018·黑龙江大庆一模)已知直线l：y＝kx与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c，0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)A．[eq\f(\r(2),2)，1)B．(0，eq\f(\r(2),2)]C．(eq\f(\r(2),2)，1)D．(0，eq\f(\r(2),2))答案　C解析　由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c，由|OA|>b，即c>b，可得c2>b2＝a2－c2，即c2>eq\f(1,2)a2，可得eq\f(\r(2),2)b>0)．∵e＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2eq\r(2)，所以椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.13．(2018·上海市十三校联考)若椭圆的方程为eq\f(x2,10－a)＋eq\f(y2,a－2)＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________．答案　4或8解析　①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.14．(2018·山西协作体联考)若椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C的内接正方形的面积为________．答案　eq\f(4,3)解析　由已知得，a＝1，b＝c＝eq\f(\r(2),2)，所以椭圆C的方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,2))＝1，设A(x0，y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x0＝y0，所以1＝x02＋2y02＝3x02，解得x02＝eq\f(1,3)，所以椭圆C的内接正方形的面积S＝(2x0)2＝4x02＝eq\f(4,3).15．已知F1、F2为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且∠F1MF2＝60°，则椭圆的离心率为________．答案　eq\f(\r(3),3)解析　方法一：∵|F1F2|＝2c，MF1⊥x轴，∴|MF1|＝eq\f(2\r(3),3)c，|MF2|＝eq\f(4\r(3),3)c.∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝2eq\r(3)c.∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(3),3).方法二：由F1(－c，0)，将x＝－c代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得y＝eq\f(b2,a)，∵eq\f(|F1F2|,|MF1|)＝eq\r(3)，∴eq\f(2c,\f(b2,a))＝eq\r(3).∵b2＝a2－c2，∴eq\f(2ac,a2－c2)＝eq\r(3)，即eq\f(2e,1－e2)＝eq\r(3).解得e＝－eq\r(3)(舍)，e＝eq\f(\r(3),3).16．(2018·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．答案　4eq\r(3)解析　∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为eq\f(2,cos60°)＝4.∵a2＝b2＋c2，∴c＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，∴椭圆的焦距为4eq\r(3).17．(2017·浙江金丽衢十二校联考)已知F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是________．答案　[eq\f(1,3)，1)解析　设P(x，y)，则|PF2|＝a－ex，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则|PF2|＝|F1F2|，∴a－ex＝2c，∴x＝eq\f(a－2c,e)＝eq\f(a（a－2c）,c).∵－a≤x≤a，∴eq\f(a（a－2c）,c)≤a，∴eq\f(c,a)≥eq\f(1,3)，∴eq\f(1,3)≤e<1.故椭圆C的离心率的取值范围是[eq\f(1,3)，1)．18.如右图，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，求椭圆的方程．答案　(1)eq\f(\r(2),2)　(2)eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1解析　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝eq\r(2)c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，解得x＝eq\f(3,2)，y＝－eq\f(b,2).代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1.即eq\f(9,4a2)＋eq\f(1,4)＝1，解得a2＝3.所以椭圆方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.19．(2014·课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.答案　(1)eq\f(1,2)　(2)a＝7，b＝2eq\r(7)解析　(1)根据c＝eq\r(a2－b2)及题设知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(3,4)，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的离心率为eq\f(1,2).(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点．故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（－c－x1）＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②将①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9（a2－4a）,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28.故a＝7，b＝2eq\r(7).1．(2018·河南开封考试)若方程x2＋ky2＝2 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)A．(0，＋∞)B．(0，2)C．(1，＋∞)D．(0，1)答案　D解析　∵方程x2＋ky2＝2，即eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,\f(2,k))＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴eq\f(2,k)>2，故0 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，且c＝eq\r(3)，离心率e＝eq\f(\r(3),2)＝eq\f(c,a)，a2＝b2＋c2，得a＝2，b＝1，∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)，∴mncos∠F1PF2＝eq\f(2,3)，又(2c)2＝(2eq\r(3))2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，∴12＝42－2mn－2×eq\f(2,3)，解得mn＝eq\f(4,3).∴eq\f(4,3)cos∠F1PF2＝eq\f(2,3)，∴cos∠F1PF2＝eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝eq\f(π,3)，故选D.3．已知A(3，0)，B(－2，1)是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1内的点，M是椭圆上的一动点，则|MA|＋|MB|的最大值与最小值之和为(　　)A．20B．12C．22D．24答案　A解析　易知A为椭圆的右焦点，设左焦点为F1，由题知|MF1|＋|MA|＝10，因此，|MA|＋|MB|＝10＋|MB|－|MF1|.∴|MA|＋|MB|≤10＋|BF1|，|MA|＋|MB|≥10－|BF1|.∴|MA|＋|MB|的最大值与最小值之和为20.选A.4．(2018·人大附中模拟)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形．若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为(　　)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．4－2eq\r(3)D.eq\r(3)－1答案　D5．已知中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(eq\r(2)－1)，则此椭圆方程是________．答案　eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,16)＝1解析　由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－c＝4（\r(2)－1），,b＝c，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4\r(2)，,b＝4，))所以椭圆方程为eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,16)＝1.6．若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________．答案　2解析　由题意可知，O(0，0)，F(1，0)，设P(eq\r(2)cosα，sinα)，则|OP|2＋|PF|2＝2cos2α＋sin2α＋(eq\r(2)cosα－1)2＋sin2α＝2cos2α－2eq\r(2)cosα＋3＝2(cosα－eq\f(\r(2),2))2＋2，所以当cosα＝eq\f(\r(2),2)时，|OP|2＋|PF|2取得最小值2.7．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．答案　4解析　连接PF2，则OM为△PF1F2的中位线，|OM|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.8．设点P为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．答案　eq\f(4\r(3),3)解析　由题意知，c＝eq\r(a2－4).又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2eq\r(a2－4)，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，∴|F1P|·|PF2|＝eq\f(16,3)，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1P|·|PF2|sin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(16,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3).另解：S△＝b2taneq\f(θ,2)＝4·eq\f(\r(3),3)＝eq\f(4\r(3),3).9．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为eq\f(1,2)，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(　　)A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1答案　A解析　圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝16.知其半径r＝4，∴长轴长2a＝4，∴a＝2.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴c＝1，b2＝a2－c2＝4－1＝3.∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.10．(2013·辽宁)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝eq\f(4,5)，则C的离心率e＝________．答案　eq\f(5,7)解析　如图所示．根据余弦定理|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，即|BF|2－16|BF|＋64＝0，得|BF|＝8.又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB|·|BF|cos∠ABF，得|OF|＝5.根据椭圆的对称性|AF|＋|BF|＝2a＝14，得a＝7.又|OF|＝c＝5，故离心率e＝eq\f(5,7).11．已知P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上的一点，求点P到点M(m，0)(m>0)的距离的最小值．答案　①0