圆概率误差
圆概率误差(Circular Error Probable —CEP)是衡量炮弹命中精度的一个尺度，又称圆公算偏差。圆概率误差是这样得出的:在相同的条件下，向同一目标发射多枚炮弹，由于多种因素的影响，炮弹的弹着点将在目标附近形成散布，其平均弹着点(散布中心)到瞄准点(一般为目标中心)的距离称为炮弹的系统误差，每个弹着点到平均弹着点的距离称为随机
50误差。以平均弹着点为中心，包含 , 弹着点的圆的半径就叫做这种炮弹的圆概率误差。这个半径愈小，说明炮弹的命中精度愈高。
，是一个二维随机变量，可以认为它服从一个二元正态分布，其弹着点的位置 (X,Y)
中 与 相互独立，而且有相同的方差，所以，它的概率密度可以写成下列形式 YX
22，，1()()xxyy,，,00 。 pxy(,)exp,,,,22,,,22，，
容易求出， 的均值 ， 的均值 ，所以，平均弹着点就XYEXx(),EYy(),00
是 。 (,)xy00
弹着点 到平均弹着点 距离平方的平均值为 (X,Y)(,)xy00
2222，,，,，，()()()()xxyyxxyy,，,,，,0000 exp,dxdy,,,,22,,,,,,,22，，
2,，,211r422,，，,,,, 。 222,,,drrdrexp()2,,22002,,,,,22
22, 距离平方的平均值的平方根为 。
另一方面，设圆概率误差为 ，按照定义，(X,Y) 落在以 为圆心、以 RR(,)xy00
为半径的圆内的概率为
22,R2，，1r1R2 ,,,,drdrexp(),，，,,21exp(),,,,222200,,,,,,2222，，
2R1,,50% , ,,,1exp()22,2
22R1R1222R,ln22, ， ， ， 。 ,,,,,,R,2ln2,exp()ln()ln222,,2222
(X,Y)这就是圆概率误差 与弹着点 到平均弹着点 距离平方的平均值R(,)xy00
22,的平方根 的关系。
在实际问题中，设观测到 个弹着点的位置为 ， 。 in,1,2,,n(,)XYii
nn1XXX，，，1YYY，，，1212nn设 ， ，称 (,)XYXX,,YY,,,,iinnnn,,11ii
为“弹着中心”。弹着中心 可以用来作为平均弹着点 的估计值。 (,)xy(,)XY00
22设 ()是 个弹着点 到弹着in,1,2,,nDXXYY,,，,()()(,)XYiiiii
222DXXYY,,，,()()中心 的距离，()是距离的平方。 in,1,2,,(,)XYiii
222n1DDD，，，212nD, 是 个弹着点 到 的距离平方的n(,)XY(,)XY,iiinn,i1
222n1DDD，，，2n12平均值， 是距离平方的平均值的平方根，它可以用来作D,,inn,i1
22,为弹着点 (X,Y) 到 的距离平方平均值的平方根 的估计值。 (,)xy00
22,根据前面推导出的圆概率误差 与 的关系，可以得到下列圆概率误差估计R
公式
222222DDD，，，DDD，，，2nn1212ln20.8325546R,ln22,?? 。 nn
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