锐角三角函数值的定义

锐角三角函数值的定义 銳角三角函數值的定義 陳譽偉 相似三角形的性質中，一直角三角形某兩邊的比值，以及另一個相似直角三角 形之ㄧ對應邊的邊長，即可求得另對應邊的長 直角三角形ABC(其中?C為直角)，相異兩邊的比值有下列六個： B c(斜邊) a(?A的對邊) A C b(?A的鄰邊) 為了便於稱呼及書寫，我們將這六個比值分別用數學符號表示如下： 當?A的度數為θ時，我們常用sinθ、cosθ、tanθ、cotθ、secθ與cscθ分別表示sinA、cosA、tanA、cotA、secA、cscA。 如此一來，給定一個θ的值(0?＜θ＜90?)，則sinθ、cosθ、tanθ、cotθ、secθ與cscθ的值都隨之定，因此，它們都是θ的函數，依序稱為正弦函數、餘弦函數、正切函數、餘切函數、正割函數與餘割函數，這六個函數統稱為三角函數。 若三角形ABC中，?C=90?，?A的度數為θ，以 BCCAAB=a，=b與 =c就有 1 BC對邊asinA,,,斜邊cAB稱之為，A的正弦，。 AC鄰邊bcosA,,,斜邊cAB稱之為，A的餘弦，。 BC對邊atanA,,,鄰邊bAC稱之為，A的正切，。 AC鄰邊bcotA,,,對邊aBC稱之為，A的餘切，。 AB斜邊csecA,,,鄰邊bAC稱之為，A的正割，。 AB斜邊ccscA,,,對邊aBC稱之為，A的餘割，。 三角函數的基本關係 倒數、商數、平方關係 由上一節的討論，我們不難發現，這六個三角函數並非毫不相干的，他們彼此 相互關聯 ,,sin，csc,1 ,,cos，sec,1 tan,，cot,,1 我們稱此為倒數關係 2 sin,tan,,cos, cos,cot,, sin, 我們稱此為商數關係 此外我們還可由畢氏定理得出下述平方關係： 22,,,1sincos+ 22,,,,1sectan 平方關係 22,,,,1csccot proof`： 22222ababc22，sincos,,，,，,,,12222cccc 22222cacab,22,,,,,,,,1sectan2222bbbb 22222,22cbcba,,,,,,,,1csccot2222 aaaa 餘角關係 sinθ、cosθ、tanθ、cotθ、secθ及cscθ這六個三角函數之間除了有上述倒 數關係、商數關係以及平方關係之外， 尚有下面的餘角關係：設?ABC中，?C=90?，?A=θ。因?A+?B=90?，所以 ?B=90?-θ， 又因?B的對邊是?A的鄰邊，?B的鄰邊是?A的對邊， ，B的對邊長，A的鄰邊長sinB,,,cosA所以有斜邊長斜邊長，故有sin(90?-θ)=cosθ。 3 同理可推得下述餘角關係： :sin(,,),cos,90 :cos(,,),sin,90 :tan(,,),cot,90 :cot(,,),tan,90 :sec(,,),csc,90 :csc(,,),sec,90 若0?＜θ?45?，則45??90?-θ＜90?。 因此我們只要知道介於0?與45?之間之ㄧ銳角θ的三角函數值，即可求出它的餘角90?-θ的三角函數值。 同界角 同界角有相同的三角函數值 ,sin(n，，,),sin,360 ,cos(n，，,),cos,360 ,tan(n，，,),tan,360 ,cot(n，，,),cot,360 ,sec(n，，,),sec,360 ,csc(n，，,),csc,360 三角函數在四個象限之正負關係： 4 sin,csc, cos,csc, tan,cot, 在這一節裡，我們將引進角的另一種度量單位，以便把三角函數看作實數間的對 應關係，並在座標平面上描繪其圖型，研究這些函數的特性。 弧度 讓我們先來回顧一下，我們是怎麼量出?ABC是多少度的？ 由於角的大小完全由其兩邊張開的程度來決定，與其兩邊的長度是無關的。 以任意長γ為半徑畫一圓O，將其圓周等分為360格，那麼每一格的弧所對的圓 心角就是1?，一個圓周角就是360?。 如果我們將?ABC的頂點B放在圓心O上，並設其兩邊 BCAB與(或其延長線) 分別與圓O交於P與Q點，那麼?ABC的度數及等於?POQ的度數， PQPOQ的弧長的度數，PQ的弧長=，:360且圓的周長O圓的周長O360:，因此?ABC=?POQ= 5 PQ360的弧長:，2r,,r2(1)由於圓O的周長為，故?ABC=?POQ= 。在上式中，360:360: 222,,,為一常數，我們規定此常數為一弧度。亦即360?= 弧度。 2, 360因此，1?= :弧度，故有 3602,:1= (,2360)?=1弧度，弧度 由(1)式可得 PQ的弧長 (2) ?POQ= 圓的半徑O弧度 根據(2)式可得 ?POQ=1弧度的意思即PQ的弧長=圓O的半徑 扇形的弧長與面積 由以上討論，我們知道：若圓O的半徑為r，P與Q為圓周上兩點，則?POQ= PQ的弧長 r弧度。 由此可知： 若圓心角?POQ=θ弧度，則PQ的弧長=rθ 設?POQ=θ弧度，則PQ的弧長為rθ，因此PQ的弧長為圓O周長之比,,r=2r2,,， ,,12r,22故扇形POQ面積= 22,,r×圓O的面積= π= 因此我們有 6 12r,2若?POQ=θ弧度，則扇形POQ面積= 要特別注意：當我們用弧度為單位表示依角的大小時，習慣上常把〝弧度〞兩字 省略不寫。 要注意：sinπ?不可簡記為sinπ，因為根據習慣表示法，sinπ的意思是sin(π弧 度)，亦即為sin180?，而非sinπ?。 三角函數的圖形及其特性 正弦函數的圖形及其特性 ,描繪函數圖形最直接的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 就是描點法：先求出某些特殊的值，並列表如下： ,,,… 0 … ,,,, 466432- - sin,11… 0 … 1 23 222- 22 2- 在依此標出其上的一些點，然後依次用平滑曲線將這些點連起來。 7 函數的週期 ，，y,fx一個函數的圖形若每隔一固定單位長都一樣，亦即可找到固定 的正數a， ，，，，fa，x,fxx使得對於其定義域中每一元素，恆有， 我們就稱這個函數為一週期函數。如果又可找到滿足上述性質的最小 aa正數，我們就說這個週期函數的週期為。 ，，sin2,，x,sinx2,x由於對於任意實數，我們恆有，而且又滿足這個 y,sinx性質的最小正數，所以正弦函數是一週期函數，他的週期為2,。 正弦函數的特性 y,sinxR(1)正弦函數的定義域為 ,,,y,1y,sinxy(2)正弦函數的值域為｜-1 2,(3)正弦函數的週期為 餘弦函數的圖形及其特性 8 y,cosxx我們同樣可以用描點法描繪的圖形，因為對於任意實數，恆 ,,,sin，x,cosx,,2,,有， , y,sinxy,cosx2所以將正弦函數的圖形向右平移單位，即可畫出的圖形。 餘弦函數的特性 y,sinxR(1)餘弦函數的定義域為 ,,,y,1y,cosxy(2)餘弦函數的值域為｜-1 2,(3)餘弦函數的週期為 正切函數的圖形與特性 y,tanx使用描點法描繪正切函數的圖形時，因為對於任意實數x，恆 tan(,，x),tanx有， ,,-y,tanx22所以我們只要描繪區間＜x＜上正切函數的圖形，然後逐 y,tanx次向右或向左平移π單位，即可得出的全部圖形。 ,,x-,,tanx22(注意：時，是無意義的) 9 正切函數的特性 35,,,x,,,,,,tanxtanx222(1)只有當…時，無意義；對於其他的實數x， ,y,tanxx,R且x的值都可確定，因此正切函數的定義域為x?? ,k，,,2k,Z，。 y,tanx(2) 正切函數的值域為R ,(3)正切函數的週期為 餘切函數的圖形與特性 ,,,cotx,-tanx，,,2,,k,x因為對於任意實數?，恆有， , y,tanx2所以我們只要將正切函數的圖形向左平移單位，再將所得的 x圖形對軸鏡射， y,cotx即得餘切函數的全部圖形： 10 餘切函數的特性 y,cotx,2,x,,,cotx(1)只有當，…時，無意義，因此餘切函數的定 ,,x,R且xk,k,Z義域為x??，。 y,cotx(2) 餘切函數的值域為R ,(3)餘切函數的週期為 正割函數的圖形與特性 1secx,cosxcosx由倒數關係知道：當?0時，。 因此由餘弦函數的圖形，約略可得到正割函數的圖形。 正割函數的特性 ,k，,,,y,secxx,R且x2k,Z(1)正割函數的定義域為x??，。 11 2,(2) 正割函數的週期為 ,,yy,1或y,-1(3)正割函數的值域為? 餘割函數的圖形與特性 ,,,cscx,secx-,,2,,k,xxk,z因為對於任意實數，?，，恆有， , 2所以只要將正割函數的圖形向右平移單位，即得餘割函數的全部圖 形。 餘割函數的特性 ,,y,cscxx,R且xk,k,Z(1)餘割函數的定義域為x??，。 y,cscx2,(2)餘割函數的週期為 ,,yy,1y,-1(3)餘割函數的值域為?或 三角形面積 BCABC任意畫一三角形AD，並自其中一頂點作對邊的垂線，設垂足為點。 90:（注意：當ADAB，B,BD時，點與點重合，=。）如下圖所示： 12 AAA CBCCB{ D }DBD acb，C為方便起見，我們仍以，A，B，和分別表示，和的對邊長，則AD,csinB。 1，底，高因為,ABC,ABC2的面積=，所以就有的面積 1111,BC,AD,,acsinB,ABC的面積,absinC,bcsinA=2222，同理可得， 把這些結果綜合起來，就有三角形面積公式： 111,ABC的面積,absinC,bcsinA,casinB222 由三角形面積公式，我們可以推得正弦定理： abc,, sinAsinBsinC abc,,由正弦定理知sinAsinBsinCk=，這個比值到底是多少呢？ AA CBCOOB C' 13 ,ABC我們先做出的外接圓。由於圓內等弧所對的圓周角恆相等，我們讓三個頂 點之一， 例如點,,,ACACCCCOO，在圓周上移動，當點移動到點，通過圓心時，=圓的 ,,AC，ABC90:直徑，弧長恰為半圓，故=， ,AC圓O的直徑,,圓O的直徑因此就有,,sin，ABCsin90:,ABC，但在中， ,ABAC,,,,sin，ACBsin，ABC，ACB,，C，而， AB,圓O的直徑因此就有sinC。 固正弦定理可進一步寫成： abc,,,2R(其中R:外接圓半徑)sinAsinBsinC 餘弦定理 222,，-2bc,cosAabc 222,，-2ac,cosBbca 222,，-2ab,cosCcab 14 222,，-2accosBbca餘弦定理中的可以用下面方法導得： AA cbbc CBDDaaCB BC（1）當，BD為銳角時，自A點作的垂線，設垂足為點，則AD,csinBBD,ccosB， ， 222,，DC,a-ccosB 故ADCACCDAD，在直角三角形中，我們有， 所以 2222,B，，，a-ccosBbcsin= 2222222B，-2accosB，B,，-2accosBcsinaccosca （2）當BC，BAD為鈍角時，同樣自點作的垂線，設垂足為點， ，，，，AD,csin180:-，B,sinBBD,ccos180:-，B,-ccosB 則，，故DC,BD，BC,a-ccosB， 222,， 在直角三角形ADCACCDAD中，我們有，所 222222,B，，，a-ccosB，-2accosBbcsinca= 222,，（3）當cosB,0bac，B為直角，由畢氏定理知，但因，所 222,，-2accosB以 bac也成立。 222222,，-2bccosA,，-2abcosC 同理可證得：abccab， 15 ，，cos,-,,12？ ,,我們先考慮 90:12>>的情形： ，POQ,,，ROQ,,作OPOR12AA，，然後在邊上任取一點，再自點作邊的 垂線，設垂足為B。 OB 因，，cos,-,,12，AOB,,-,OA12，所以。 OQ另我們自OBCCAD點作的垂線，設垂足為，再自點作的垂線，設垂足為，OD,OCcos,,OAcos,cos,則121。 ,,因OB,OD，DBODOADB12，故我們來看看是否也能像一樣可以用與，的 三角函數值來表示。 自DCDB,AEAAEDBE點作的垂線，設垂足為，則因四邊形為一矩形，所以，，ACE,，BOC,,又1（同角的餘角相等）， DB,AE,ACsin,,OAsin,sin,故121， 16 OB,cos,cos,，sin,sin,2121，，OB,OAcos,cos,，sin,sin,2121OA因此由之得， OB，，cos,-,,12OA， ，，cos,-,,cos,cos,，sin,sin, 故121212 ，，cos,，,, 12？ ,,對於任意角12與， ，，,,，，，，，，cos,，,,cos,--,,cos-,cos,，sin-,sin,, 12211212,cos,cos,-sin,sin,1212 ，，sin,-,,12 ？ ,,,sin,cos-,,,,2,,因對於任意角,,,12，恆有，所以我們知道對於任意角與， ，，sin,-,, 12 ,,,,，，，，,,,,,,，，cos-,-,,cos-,，,,cos-,cos,-sin-,sin,,,,,,,,12121212,,,,2222，，,,,,,,，， sin,cos,-cos,sin,1212 ，，sin,，,, 12？ ，，，，sin-,,-sin,cos-,,cos,又因對於任意角,，，， ，，,,，，sin,，,,sin,--,sin(,，,),sin,cos,，cos,sin,所以由1212121212可得 ，，tan,,,,12？ 17 由正弦、餘弦函數的和角公式，可導出正切函數的和角公式： tan,,tan,12 1,tan,tan,，， tan,,,,1212 和角公式 sin(,，,),sin,cos,，cos,sin,sin(,-,),sin,cos,-cos,sin,121212121212 tan,,tan,12tan(,,,),121,tan,tan,12 cos(,，,),cos,cos,-sin,sin,cos(,-,),cos,cos,，sin,sin,121212121212 cot,cot,,112cot(,,,),12cot,,cot, 12 由和角公式，我們知道：對於任意角，，,,cos,，,,cos,cos,-sin,sin,12121212與，。 22,-,，，,,cos2,,因此，當11121cossin=時，我們就有。由於 22,，,,112sincos， 2222cos2,,,-,,2,-1,1-2,11111所以cossincossin。同樣利用正弦、正切 函數的和角公式，可進一步推得： 二倍角公式 2tan,tan2,,21-,sin2,,2sin,cos,tan 2,-1cot2222,,cot2cos2,,,-,,2,-1,1-2,2cot,cossincossin ， 18 cos,sin2,cos2,tan2, 知道的值，利用二倍角公式可求得，以及的值。 ,,,costansin知道cos,222的值，利用二倍角公式亦可求得，以及的值。 ,,2,,,,1-cos2，,cos21-2,,,sinsin22,,由於cos,22=，所以，因此 ,,1-cos,sin,22。 ,,2,,,，,1cos2,cos,cos2，,2-1,,,coscos22另一方面，,,22，所以，因此 ，,,1cos,cos,22。 ,,,,1-costan,,cossin21，cos由,n,2,2n，，當?（為任意奇數時）， 綜合上述討論： 半角公式 ,,,,1-cos1-cos,,sintan,,2221，cos, ,，,,1cos,,cos所在象限決定222, (取法視) 讓我們回顧一下所介紹的和角公式，根據正弦、餘弦函數的和角公式與差角公 式：對於任意角,,12與， sin(,，,),sin,cos,，cos,sin, 1.121212 sin(,-,),sin,cos,-cos,sin, 2.121212 cos(,，,),cos,cos,-sin,sin, 3.121212 19 cos(,-,),cos,cos,，sin,sin,121212 4. 由1.+2.得 ，，，，2sin,cos,,sin,，,，sin,-,121212， 由 1.-2.得 ，，，，2cos,sin,,sin,，,-sin,-,121212， 由3.+4.得 ，，，，2cos,cos,,cos,，,，cos,-,121212， 由3.-4.得 ，，，，-2sin,sin,,cos,，,-cos,-,121212， 故有： 積化和差公式 2sin,cos,,sin(,，,)，sin(,-,)121212 2cos,sin,,sin(,，,)-sin(,-,)121212 2cos,cos,,cos(,，,)，cos(,-,)121212 2sin,sin,,-cos(,，,)，cos(,-,)121212 為了便於由兩正弦函數（或兩餘弦函數）的積求其和或差，我們在上述積化和差 的公式中，令,,,，,,,,-,1212，， -,，,,,,,,,12則22，。那麼前述積化和差的公式就可寫成： 和差化積公式 -,，,,,sinsin2sincos,，,,22 -,，,,,sin-sin2cossin,,,22 -,，,,,coscos2coscos,，,,22 20 -,，,,,cos-cos-2sinsin,,,22 21