二重积分的概念与性质

二重积分的概念与性质 经济数学 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 第九章 二重积分 ?9. 1 二重积分的概念与性质 教学目的及 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 : 1(理解二重积分概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。 2(掌握二重积分的(直角坐标、极坐标)计算方法及几何应用及物理应用。 教学重点及难点: 教学重点:1. 二重积分的计算(直角坐标、极坐标);2. 二重积分的几何应用及物理应用。 教学难点:1. 利用极坐标计算二重积分;2. 物理应用中的引力问题。 教学方法及手段:以讲授为主,辅以电子教案。 教学时间:100分钟 时间分配: 1(开始部分(5 分钟) 2(讲授课程(75 分钟) 3(课堂讨论(15分钟) 4( 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 小结(5分钟) 复习旧课，导入新课: 对面积、体积、质量等几何量或者物理量的计算导出了定积分的概念，在一元函数定积分的基础上建立起来的二重积分更接近于客观对象，故能处理更一般的问题。本节就从引例引出二重积分 的有关知识。 讲授新课: 一、二重积分的概念 1, 曲顶柱体的体积 设有一立体～ 它的底是xOy面上的闭区域D～ 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于 z轴的柱面～ 它的顶是曲面z,f(x～ y)～ 这里f(x～ y),0且在D上连续, 这种立体叫做曲顶柱体, 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积, 首先～ 用一组曲线网把D分成n个小区域 ,,～ ,,～ , , , ～ ,,, 1 2 n 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线～ 作母线平行于z轴的柱面～ 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体, 在每个,,中任取一点(,～ ,)～ 以f (, ～ ,)为 i i ii i 1 经济数学教案 第九章 二重积分 高而底为,,的平顶柱体的体积为 f (,～ ,) ,, (i,1～ 2～ , , , ～ n ), i i ii n V,f(,,,),,这个平顶柱体体积之和 , ,iiii,1 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值, 为求得曲顶柱体体积的精确值～ 将分割加密～ 只需取极限～ n V,limf(,,,),,即 , ,iii,,0,1i 其中,是个小区域的直径中的最大值, 2, 平面薄片的质量, 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D～ 它在点(x～ y)处的面密度为,(x～ y)～ 这里,(x～ y),0且在D上连续, 现在要计算该薄片的质量M, 用一组曲线网把D分成n个小区域 ,,～ ,,～ , , , ～ ,,, 1 2 n 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量: ,(, ～ ,),, , i i i n M,,(,,,),, 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值: , ,iii,1i n M,lim,(,,,),, 将分割加细～ 取极限～ 得到平面薄片的质量 , ,iii,,0,1i 其中,是个小区域的直径中的最大值, 定义 设f(x～ y)是有界闭区域D上的有界函数, 将闭区域D任意分成n个小闭区域 ,,～ ,,～ , , , ～ ,,, 1 2 n 其中,,表示第i个小区域～ 也表示它的面积, 在每个,,上任取一点(,～ ,)～ 作和 i i ii n f(,,,),, , ,iii,1i 如果当各小闭区域的直径中的最大值,趋于零时～ 这和的极限总存在～ 则称此极限为函数f(x～ y)在闭 n区域D上的二重积分～ 记作f(x,y)d,～ 即 , f(x,y)d,,limf(,,,),,,iii,,,,,0,,1iDD f(x～ y)被积函数～ f(x～ y)d,被积表达式～ d,面积元素～ x～ y积分变量～ D积分区域～ 积分和, 直角坐标系中的面积元素: 2 经济数学教案 第九章 二重积分 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D～ 那么除了包含边界点的一些小闭区域外～ 其余的小闭区域都是矩形闭区域, 设矩形闭区域,,的边长为,x和,y～ 则,,,,x,y～ 因此在直iiiiii角坐标系中～ 有时也把面积元素d, 记作dxdy～ 而把二重积分记作 f(x,y)dxdy,,D 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素, 二重积分的存在性: 当f(x～ y)在闭区域D上连续时～ 积分和的极限是存在的～ 也就是说函数f(x～ y)在D上的二重积分必定存在, 我们总假定函数f(x～ y)在闭区域D上连续～ 所以f(x～ y)在D上的二重积分都是存在的, 二重积分的几何意义: 如果f(x～ y),0～ 被积函数f(x～ y)可解释为曲顶柱体的在点(x～ y)处的竖坐标～ 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积, 如果f(x～ y)是负的～ 柱体就在xOy 面的下方～ 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积～ 但二重积分的值是负的, 二, 二重积分的性质 性质1 设c、c为常数～ 则 , [cf(x,y)，cg(x,y)]d,,cf(x,y)d,，cg(x,y)d,121212,,,,,,DDD 性质2 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域～ 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和, 例如D分为两个闭区域D与D～ 则 12 f(x,y)d,,f(x,y)d,，f(x,y)d, , ,,,,,,DDD12 性质3 (,为D的面积), 1,d,,d,,,,,,,DD 性质4 如果在D上～ f(x～ y),g(x～ y)～ 则有不等式 , f(x,y)d,,g(x,y)d,,,,,DD 特殊地有 , |f(x,y)d,|,|f(x,y)|d,,,,,DD 性质5 设M、m分别是f(x～ y)在闭区域D上的最大值和最小值～ ,为D的面积～ 则有 , m,,f(x,y)d,,M,,,D 性质6 (二重积分的中值定理) 设函数f(x～ y)在闭区域D上连续～ , 为D的面积～ 则在D上至少存在一点(,～ ,)使得 , f(x,y)d,,f(,,,),,,D 课堂练习: P368 1; 2; 3(1); 4(1)。 3 经济数学教案 第九章 二重积分 ?9, 2 二重积分的计算法 (1) 教学目的:掌握直角坐标系下二重积分的计算方法。 教学重点:直角坐标系下二重积分的计算。 教学难点:二重积分的实际应用。 教学方法及手段:以讲授为主,辅以电子教案。 教学时间:100分钟 时间分配: 1(开始部分(5 分钟) 2(讲授课程(75 分钟) 3(课堂讨论(15分钟) 4(内容小结(5分钟) 复习旧课，导入新课: 虽然二重积分是用和式极限定义的，但和定积分一样，只有少数被积函数和积分区域都特别简 单的二重积分才能用定义直接计算，而对一般的函数和区域，用这种方法很难求出结果。本节主要 讨论在直角坐标系下将二重积分化为两次定积分来计算二重积分的方法。 讲授新课: 一、 X,,型区域: D : ,(x),y,,(x)～ a,x,b , 12 Y ,,型区域: D : ,(x),y,,(x)～ c,y,d , 12 混合型区域: 设f(x～ y),0～ D,{(x～ y)| ,(x),y,,(x)～ a,x,b}, 12 则二重积分在几何上表示以曲面z,f(x～ y)为顶～ 以区域D为底的曲顶柱体的体积, f(x,y)d,,,D 对于x,[a～ b]～ 曲顶柱体在x,x的截面面积为以区间[,(x)～ ,(x)]为底、以曲线z,f(x～ y)为曲0010200 边的曲边梯形～ 所以这截面的面积为 ,(x)20, A(x),f(x,y)dy00,(x),10 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法～ 得曲顶柱体体积为 4 经济数学教案 第九章 二重积分 bb,(x)2, V,A(x)dx,[f(x,y)dy]dx,,,aa(x),1 b,(x)2f(x,y)d,,[f(x,y)dy]dx即 V,, ,,,,a(x),1D b,(x)2f(x,y)d,,dxf(x,y)dy可记为 , ,,,,a(x),1D 一、 Y,,型区域: 类似地～ 如果区域D为Y ,,型区域: D : ,(x),y,,(x)～ c,y,d ～ 12 d,(y)2f(x,y)d,,dyf(x,y)dx , 则有,,,,c(y),1D 例1, 计算xyd,～ 其中D是由直线y,1、x,2及y,x所围成的闭区域, ,,D 解: 画出区域D, 方法一, 可把D看成是X,,型区域: 1,x,2～ 1,y,x , 于是 2422x22y191xxx23xyd,,[xydy]dx, [],[x,]dx,(x,x)dx,,,11,,,,,,1111242822D 2x2xxyd,,dxxydy,xdxydy注: 积分还可以写成, ,,,,,,1111D 解法2, 也可把D看成是Y,,型区域: 1,y,2～ y,x,2 , 于是 3422222yy9x222xyd,[xydx]dy,[], ,[y,]dy,(2y,)dy,y,,y1,,,,,,y1118822D 22 例2, 计算～ 其中D是由直线y,1、x,,1及y,x所围成的闭区域, y1，x,yd,,,D 解 画出区域D～ 可把D看成是X,,型区域: ,1,x,1～ x,y,1, 于是 3111111222222132y1，x,yd,,dxy1，x,ydy,,[(1，x,y)]dx,,(|x|,1)dx x,,,,,,,1x,,1133D 1213(1) , ,,x,dx,,032 5 经济数学教案 第九章 二重积分 也可D看成是Y,,型区域:,1,y,1～ ,1,x