简便计算方法

简便计算方法 导 言: 好多学生对简便计算的态度是这样的:题目要求简便计算时,知道该怎么办,但别的题目中涉及计算时,却会把它抛之脑后.举个例子,在计算圆柱的体积时,比如说遇到这样计算:3.14×2.5?×8,很多学生都会这样算:2.5×2.5=6.25,再3.14×6.25=19.625,然后19.625×8=157.这样计算,费力又容易出错;但如果我们在计算时有这样一种念头,能不能简便计算,这一过程就容易多了,3.14×(2.5×2)×(2.5×4)=157.不是我们的学生不知道凑整法,而是没想到这时候也会用简便方法!问题出在哪?就出在思考当中少了简便的这种思维.所以说,简便计算,与其说是一类数学题型,不如说是一种数学思维.只要有计算,就应该首先想到这一思维.正如用方程解应用题一样. 整合小学阶段的简便方法,思路不出以下几种: (一).凑整法 (1).加法中的凑整法:把靠近整十、整百、整千等的数变化整十、整百、整千等 例1. 9+99+999+9999+99999+999999 解析:从9中分别借”1”给其他的五个数,这五个数就成了:100,1000,10000,100000,1000000,它们的和是:1111100,9借完后自己就剩下4,所以最后的和是1111104 例2( 0.01-0.02+0.03-0.04+??????+0.97-0.98+0.99 解析:仔细观察,发现:0.01+0.99=1,-0.02-0.98=-1???0.47+0.53=1 -0.48-0.52=-1 ,每四个数经过这样的组合,它的和是0,99个数中,有24个这样的组合,它们的和都是0,最后,只剩下0.49-0.50+0.51=0.5 (2).乘除法中的凑整法:充分利用三个算式:2×5=10,25×4=100,125×8=1000 例3. 0.25×4.73×0.125×320 解析:看到式子中有“25”,“125”这样的数字,不管是整数还是小数,或是以后学的百分数,我们都是充分利用上面那三个算式,分别拆出“4”,“8”与之相乘,以便到凑整简便的目的.此题中,320=4×80,所以原式=(0.25×4)×4.73×(0.125×80)=1×4.73×10=47.3 例4. 29.36?12.5?0.8 解析:原式=29.36?(12.5×0.8)=29.36?10=2.936 (二).约分 约分是指在分数中,利用分数的基本性质,把分子,分母中相当的数同时除掉.基础数学中出现的这一情况,一般是分子是一个数,分母也是一个数字,很好理解.但在奥数中,分子,分母可能是一个算式而不止一个数,要灵法运用.牢牢抓住约分的基本特征:分子分母有相同的,可能相同的会是一个数字,也可能是一个算式 例1. ( 8/9 + 10/7 + 6/11 )?( 3/11 + 4/9 + 5/7 ) 解析:仔细观察,发现:被除数与除数中的分数的分母分别相同,分子分别是2倍关系,可以用约分这一思路来解题.8/9 = 2 × 4/9, 10/7 = 2 × 5/7, 6/11 = 2 × 3/11,应用乘法的分配律,8/9 + 10/7 + 6/11 = 2 × ( 4/9 + 5/7 + 3/11 ),这时,被除数和除数就有相同的:3/11 + 4/9 + 5/7,可以约分了,最后的结果就是2 例2. 238?238又238/239 解析:仔细观察,发现:238在被除数和除数中都出现,但由于都出现在分子位置,不能约数,唯一的 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 是把除号 乘号,后面的带分数中的238就由分子变分母了.注意:分数除法变乘法时,如果除数是带分数的,首先应化成假分数, 再求出倒数 原式=238?(238×239+238)/239 =238?(238×240)/239 =238 × 239/(238×240) =239/240 例3.(1988+1989×1987)/(1988×1989-1) 解析:仔细观察,发现题中有很多相同或相差不大的数字,可以用约数的思路来解题 方法一:把分子朝分母方向转化,分母保持不变 分子是:1988+1989×1987 =1988+1989×(1988-1) =1988+1989×1988-1989 =1989×1988-1 这时,分子与分母完全相同,可以约分,原式=1 方法二:把分母朝分子方向转化,分子保持不变 分母是:1988×1989-1 =(1987+1)×1989-1 =1987×1989+1989-1 =1987×1989+1988 这时,分母与分子完全相同,可以约分,原式=1 例4. 27× 15/26 原式=(26+1) × 15/26 =26 × 15/26 + 1× 15/26 =15 + 15/26 =15又15/26 例5. 73又1/15 × 1/8 原式=(72 + 1又1/15 )× 1/8 =(72 + 16/15 ) × 1/8 =72 × 1/8 + 16/15 × 1/8 =9 + 2/15 =9又2/15 (三).三大定律 乘法交换律:a×b=b×a,注意:只用在同一运算顺序中 (分数乘法交换律:a/b × c/d = c/b × a/d:分子与分母都可以分别互换) 乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c),注意:只用在同一运算顺序中 乘法分配律:a×(b+c)=a×b+a×c 或 a×b+a×c= a×(b+c) 除法分配律:(a+b)?c=a?c+b?c 或 a?c+b?c=(a+b)?c 注意:以下两种都是错的a?(b+c)=a?b+a?c (a+b)?(c+d)=a?c+b?d 在三大定律中,分配律是运用最多的.特别要注意 例1. 30×( 1/5 + 1/3 ) 原式=30 × 1/5 + 30 × 1/3 =6+10 = 16 例2. 2/3 × 5/7 + 2/3 × 2/7 原式=2/3 × ( 5/7 + 2/7 ) =2/3×1 = 2/3 例3. 3/4 × 1/9 + 1/4 ? 9 原式=3/4 × 1/9 + 1/4 × 1/9 =( 3/4 + 1/4 )× 1/9 =1 × 1/9 = 1/9 从上面三道例子来看,分配律最主要的特征是:各项中有相同的;但在灵法运用中,如果没有相同的,但有相近的 时候,我们也是用分配律这一思维,首先先把相近的转化成相同的,再运用分配律进行简便运算. 例1. 1250×0.037+0.125×160+12.5×2.7 原式=1250×0.037+1250×0.016+1250×0.027 =1250×(0.037+0.016+0.027) =1250×0.1 =125 例2. 5/6 × 1/13 + 5/9 × 2/13 + 5/18 × 6/13 解析:原式中尽管没有相同的,但仔细观察发现:每一项中,分母有相同的13,分子有相同的3,可根据分数乘法的 计算法则和乘法的交换律,5/6 × 1/13= 1/6 × 5/13, 5/9 × 2/13 = 2/9 × 5/13, 5/18 × 6/13 = 6/18 × 5/13 原式= 1/6 × 5/13 + 2/9 × 5/13 + 6/18 × 5/13 =( 1/6 + 2/9 + 6/18 ) × 5/13 =13/18 × 5/13 =5/18 (四)拆项求和 把某些分数或全部分数拆成两分数相减形式,目的是前后分数相抵消 例:1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) +???+ 1/(99×100) 解析:1/(1×2) = 1- 1/2, 1/(2×3) = 1/2 - 1/3, 1/(3×4)= 1/3 -1/4,??? 1/(99×100) = 1/99 - 1/100 原式=1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 +???+ 1/99 - 1/100 =1 - 1/100 =99/100