第二节函数和差积商的求导法则，反函数的导数
第二节 函数和差积商的求导法则，反函数的导数
教学目的:掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函
数的导数
教学重点:导数的四则运算法则，反函数求导方法 教学难点:反函数求导
教学内容:
1. 函数和、差、积、商的求导法则
根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则(假定下面出现的函数都是可导
的)。
,,,，，，，，，，，(1),, ux,vx,ux,vx
,,,(2),,，，，，，，，，，，，， ux,vx,uxvx，uxvx
,,，，，，,,cux,cux
,,,,，， uvw,uvw，uvw，uvw
,,,uxuxvxuxvx，，，，，，，，，，，，,(3) ,,,2，，vx，，vx，，
这里仅证(2)
fxhfx，，，，，,,fx ，，lim,h,0h
uxhvxhuxvx，，，，，，，，，，, lim,h,0h
1 ,,，，，，，，，，，，，，，，，，,ux，hvx，h,uxvx，h，uxvx，h,uxvxlimh,0h
uxhuxvxhvx，，，，，,，,，，，，，，，，，，,lim,vx，h，ux, ,,h,0hh，，
uxhuxvxhvx，，，，，，，，，,，,vxhux ，，，，limlimlim,,，，,h,0h,0h,0hh
,,，，，，，，，，,uxvx，uxvx
,例1 ，求y。 y,tanx
,,,sinxsinxcosx,sinxcosx，，，，,,,,，，y,tanx,,解: ,,2cosxcosx,,
1
22cosx，sinx12,,,secx ， 22cosxcosx
,2，，。 即 tanx,secx这就是正切函数的导数公式。
,y,secx例2 ，求。 y
,,,11cos，，，，x,1,cosxsinx,,,,，，y,secx,,,,secxtanx解:， ,,22cosxcosxcosx,,
,，，即 。 secx,secxtanx这就是正割函数的导数公式。
用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式:
,2，，， cotx,,cscx
,，，cscx,,cscxcotx。 2. 反函数的导数
dydx1若存在且不为零，则。由该公式我们可以由直接函数的导数，求出其反,dydxdy
dx
函数的导数。
例3 设x,siny为直接函数，则y,arcsinx是它的反函数。函数x,siny在开区间
,,dx1,,,I，,,，，siny,cosy,0内单调、可导，且。因此，由公式，在对应,,,Ydy22dy,,
dx
11,22，，I,,1，1arcsinx,,cosy,1,nsiy,1,x，，区间内有。但(因x,cosy，，siny
,,为当时，cosy,0，所以根号前只取正号)，从而得反正弦函数的导数公式: ,,y,22
1,，，arcsinx, 21,x用类似的方法可得反余弦函数的导数公式:
1,，，arcsinx,, 21,x同样我们可得到
2
1, arctanx,，，21，x
1, arccotx,,，，21，x
1, logx,，，axlna3. 导数的基本训练
(1) y,sinxlnx
2y,xsine(2)
xy,2，ln,(3)
xxxy,2e,(4)
2cxy,(5) a，b
lnx(6)y, sinx
小结:本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法
作业:作业卡P13~P14
3
4
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