傅里叶光学例题

傅里叶光学例题 1.δ(t)函数的希尔伯特变换 因为irUU()sgn()vjvv,，，1,,irr解 由有ututut()()(),,,,H,,,,2，，,tvv,，，,,j10,,exp()expj,,,222,2,,,,，，,,11i2，， uttt,,()()(),,,,,,H,,vv，，，j10,,,,,expexpj,,，，,2tt,,,,222,,,,,，，22,,，，，，cos2,vt2.求的希尔伯特变换 vvvv,，1111，，，，,,000,,,,,jjjexp()expexpexp,,,,，，,,22,,222222,,,,,,，，，，,,,,,,,,cos2,vt解:的频谱为0可得1rjvvvvv,,，，U()[()()],,i2200()exp()exp(2)exp(2),,，，,，,,,,,uttjvtjvt,,,,,,00221ir22UU()sgn()()sgn()()vjvvjvvvvv,,,，，,,，，，，,,,expsin2tvt，，,,00，，02 1,(),0,,,vvv,0,例6.4.1横向抖动2a形成重像，设计逆滤波2j, ,器消除重像。 ,,0,0v, ,解:造成缺陷的点扩散函数 1,(),0vvv，,0,hxyxaxa(,)()(),，，,,, 2j,I, 1其傅里叶变换即为传递函数 ,,,,，，，vvvv，，，，00，，,,2jHhxyxaa(,)(,)(),,,,,,，,FF，,,，，,,cIiutvt()sin2,,,求逆变换得到 0,，,exp(2)exp(2)jaja,,,, H(sin2)cos2,,vtvt,同样 00,2cos(2)a,,2.设因而逆滤波器H(x,h)的透过率函数 r22uttvt()exp()cos2,,,，,,,，，011H,,,,(,) r,,,,,,,,,0,3,2,vv为常数。,求u(t)Ha(,)2cos(2),,,,00c 第七章 的希尔伯特变换。 1. 要设计一个“散焦”的(非相干)空间滤波解 对高斯函数 2系统,使得它的传递函数的第一零点落在,。周,,1v22，，其中,Fexp()exp,,,t/cm的频率上,假定要进行滤波的数据放在一,,2，，2,2,,,,个直径为L的圆透镜前面2f距离处.问所要求,的“误聚焦 距离”,为多少,(用f,L和,。,所以, 2, 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示)，对于,。=10周/mm,和L=2cm, ,的数1r22值是多少, uttjvtjvt,,，，,，,,,,,()exp()exp(2)exp(2),,,,,,002 的频谱为 2，，vv,，，110rU()expexpvj,,，,,,，，222,2,, ,,，， L,lL2l,解: ::2,,f，，vv，，，1102f22expexp,,j,,，，,2222,,散焦系统的点扩散函数在几何光学近似下(没,,,，， 2有考虑衍射)是由于离焦而产生的均匀照相明，，1v式中为高斯概率密度函数。 exp,的圆斑。对于非相干系统而言，像面上的光场,,2,2,,2，，是所有脉冲响应对应的强度迭加. 所以系统的光学传递函数为 4f,,22,,HFcircxy(,)(,，,,,L,, 例题1:设一列单色平面波的传播方向平行于LL,,14f,,,,,J(2),Fcircr(),,1xz平面并与z轴成,角，如图(a)所示 L,44ff,,, (1)写出原始光波和共轭光波的表达式; 22 ,,,,，(2)写出原始光波和共轭光波在z=0的平面J是一阶第一类贝塞尔函数。按题意,。是第1上的表达式，再讨论它们的传播方向。 L,一个零点，所以有J(2)0 ,,,104f 因为J的第一个根约为1.22,,所以有1 L,2.44f1.22 ,,,,,,,1.22cm0 ,2fL0解(1)单色平面波和其共轭波的复数表达式2. 图题7.1为一投影式非相干光卷积运算装为 置,由光源S和散射板D产生均匀的非相干光，，UxyztAjtkr(,,;)exp(),,,,,，，照明,m(x,y)和O(x,y)是两张透明片,在平面P 上可以探测到m(x,y)O(x,y)卷积。 ，， UxyztAjtkr(,,;)exp(),,,，,c，，(1)写出此装置的系统点扩散函数. 由上式可看出，共轭光波的传播方向和原光波(2)写出P平面上光强分布的表达式。 方向相反，这是共轭光波的原本定义。对于单(3)若m(x,y)的空间宽度为L1,0(x,y)的空是,jt,色光波，因子总是相同， e宽度为L2,求卷积的空间宽度. 可以只写复振幅，所以 jkr,UxyzAe(,,), ,，，Ajkxyzexp(coscoscos),,,,, ,,,jkr,Uxyz(,,) UxyzAe(,,),c 共轭光波的数学表达式为原光波复振幅的共轭 复数。 ,,1)坐标为(x, y)点的单位强度点源，投射到已知 于是 ,,,,,,,,,22O(x,y)上而在P平面上造成的分布即为系统的 Uxz(,),Ajkxzexp(sincos),,，,,点扩散函数，其中心位置在 (,)xydd Uxz(,),Ajkxzexp(sincos),，,,,,xyc,x,ydd利用几何关系 ,,,d,d ,，，，Ajkxzexp(sin()cos(),,,,,,以为中心的函数O的形式为 (,)xy(2)在z=0的平面上有 dd ,, Ux(),Ajkxexpsin,,,OxxyyOxxyy(,)(,),,,，，再考虑ddddddddUx(),Ajkxexp(sin(),,，,,c到投影面积每边长的放大倍数 ,,Ajkxexp(sin(),,,,，d于是系统的点扩散函数为上式表明，若从在z=0的d 平面上造成的效果看，可dd,,，， (,;,)(),()hxyxyKOxxyy,，，dddd,,将共轭波理解为沿(-,)dddd，,，,，， 方向传播的平面波。如图(2)P平面上点(x,y)所接收到的强度响dd (C)所示。 应为物函数m(x,y)与以为中心的点扩(,)xydd 散函数乘积的积分，即, dd,,，， IxyKmxyOxxyydxdy,，，(,)(,)(),()Pdddd,,,,dddd，,，, ，，,, ,lll,，()ll,,1212,，/d,(3) l,,, ,222d,, 卷积的空间宽度为 ,，()ll12, Blll,，,，222d 第八章 ,0.6328例题2:如图已知参考光和物光均为平行光， ,0.632,m,,,y,,60,对称入射到记录介质上,上，即,,,, 2sin300r2sin2,,,2面 ,两者之间的夹角为 0全息干板的最小分辨距离d为 (1)求出全息图上干涉条纹的形状和条纹间1这说明当物光与参考光,,,dmmm0.33距公式。 3000(2)当采用He-Ne激光记录时，试计算夹角的夹角为60度时，所提供的全息干板可以记 时条纹间距分别是多少,某感光胶,,160和录其干涉条纹。 (3)全息干板经显影、定影等线性处理后，片厂生产的全息记录干板，其分辨率为3000 负片的复振幅透过率与曝光光强成线性关系，条/mm，试问当时此干板能否记录下其,,60 即干涉条纹, 2,,ttorOjky,，，,,,,,exp(sinsin),,(3)当采用的再现光波C=R时，试分析 0,,1br0000 级衍射的出射波方向，并作图表示。 ,rOjkyexp(sinsin)，,,,,,,,000r 于是透射场若再现波CRrjky,,expsin,，，0r 为 22,,UtRtorjkyrOjky,,，，,,,,exp(sin)exp(sin),,，，br00000 2,，,,,,,rOjkyexp(sin2sin),,r000 ,，，UUU 解:设物光和参考光波分别为 011，,22,,UtRtorjkyrOjky,,,,exp(sin)exp(sin),,，， OOjky,expsin,,,，，，，br0000000 2,,,,rOjkyexp(sin2sin)，,,,, Rrjky,expsin,，，r0000r ,，，UUU 全息干板上的光场为 011，, 2 UyROrjky()expsin,，,,,，，其中零级衍射Utorjky,，,,exp(sin)，，0rbr000全息干板上的光强分布为 是照明光波直接前进的透射平面波，当然，振222IyROrorojky()expsinsin,，,，，,,,，，，，幅有所下降。 r00000，，2,是物光波的再现UrOjky,,exp(sin),,,，,,rojkyexpsinsin,,，，，，，1000000r，， 波，但振幅有所变化 22,，，,roroky2cossinsin，，,, ，，r00000，，2,UrOjky,,,,exp(3sin),,,1000显然基元全息图结构可看作是余弦振幅光栅， ,，，~2sinsin,,,,rOjkyexp3sin是方向进一步向下偏,,r,000光栅频率为两束光夹角越,,,,02，，, 转的物光波的共轭波，其偏转角度大，干涉条纹越密，条纹的峰值由 ,sinsin,,, ,arc(3sin)0r,,1ym22,决定 ,,2, 它是一组与y轴垂直的平行直线，条纹间距 ,若物光和参考光对称入射,,ysinsin,,,0r ,,,, 0r ,,y ,,,,2sin,02sin2 (2) ,,160和 ,0.6328 ,36.26,m,,,y ,,1,2sin0.522sin,Utorjky,，,,exp(sin)，，br00022, UrOjky,,exp(sin),,,，1000 2 ,UrOjky,,exp(3sin),,,,,1000 ,，，2, rOjkyexp3sin,,, 00,,2，， 例题3:用正入射的平面参考波记录轴外物点 O(0,y,z)发出的球面波，用轴上同波长点源00 C(0,0,z)发出的球面波照射全息图以再现p 物光波前。试求: (1)两个像点的位置及横向放大率M; ycmzcmzcm,,,5,50,100(2)若，像点00p 的位置和械向放大率以及像的虚实。 解:(1)由题设知，参考光波、物光波和再 Oyz(0,,)现光波的位置坐标为 (0,0,), 00 (0,0,)z p 1-1.已知连续函数f(x)，且a，b>0,求下列函数。 由 (1)hfxaxx,,()(), ,1,1xo,,,,zz,,1110p22xx,,,o (2) z,,,,,,,,()()gxfxcomb,i,,,,,,zzzzzzz,,b,,ppr01100p,,,, 1-2.用宽度为a的狭缝，对平面上强度分布为,,zzz22iii,,，,0xxxxirp0fxfx()2cos(2),，,扫描，在狭缝后用光电探测ozzz,,101rp器记录，求输出强度分布。 yz,,zzz0p22iii1-3.若，证明下列性质。 fxhxgx()()(),,,,，yyyy ,irp0zzz,,zz101rp0pfxxhxgxx()()(),,,,(1) 0o因此两个像点的坐标分别为 (2) fxhxhxfx()()()(),,,,,zyzyp0xxx,,,,,,00(3) 0,,I,fhbg，,,,1,,,,,,,,zzzz,,bbb,,,,,,00pp,, 1-4.证明实函数的自相关函数为实偶函fxy(,),,zyzyp000 0,,I，数， effxyeffxy(.)(,),,,,,2,,zzzz，，00pp,,1-5.已知复函数的傅里叶变换为gxy(,) zzppGff(,)，证明下式: xy横向放大率 M,,M,12zz,zz，0p0p(1) FFgxygxy{(,)}(,),,,(2)将有关数据代入上式得 FgxyGff{(,)}(,),,,,,(2) xy,,zyzyp0,,，，,,000,,(0,10,100)实像 II,,,,,Fgxy(,)，,,11,,(3) ,,xy,,zzzz,,，，,,00pp,, ,iffGff2()(,),,，xyxy,,zyzy10100p000虚像 0,,(0,,)II，,,,1-6.若 FgxyGffFhxyHff{(,)}(,),{(,)}(,),,21xyxy,,33zzzz，，00pp,,求证。 ,(1) FgxyhGffnff{(,)()(,)?(x,y)}=，xyxy ,, gxyhxydxdy(,)(,),,, (2) ,, , GffHffdfdf(,)(,)xyxyxy,, 1-7.利用卷积定理求下列傅氏变换。 2hxafx()cos(2),,(1) o 2gxafx()sin(2),,,(2) o 2sin2,x ,,(3) ,fx(),,2x,,, 1-8.对于一个线性不变系统，已知脉冲响应 ，求下列输入。 hxx()7sin(7), (1)fxx()cos(4),, 1 x,,(2) fxxrect()cos(4),,2,,75,, x,,(3) fxxrect()1cos(8),,，,,3,,75,, (4) fxcombxrectx()()2,,，，4 1-9.已知线性不变系统，输入为 f,,，系统的传递函数，如果bfxcombx()(),tri,,b,,取下列值，求系统输出。(1)b=0.5 (2)b=1.5 画出图形 2fxacax()sin(),1-10.若对函数抽样，求允许最大抽样间隔。 -------------------------------------- 2-1.非相干成像系统出瞳为2a的狭缝，它到像面 gxf()cos(2),，,,,,距离为d，物体的强度，o条纹方向与狭缝平行。假设物体可以通过系统成像，忽略总体衰减，求像面强度分布(入射光波长为λ) 2-2.如果成像系统光阑为双缝，缝宽为a，中心间距为d，照明光波长为λ。求下列情况下的脉冲响应和传递函数，画出示意图。 (1)相干光照明;(2)非相干光照明; 3.一个非相干系统，出瞳为正方形孔，孔边长为a=1cm，两孔中心间距b=3cm，若入射光波长λ=0.5um，出瞳到像面距离di=10cm。求OTF,画出ff,的横截图。 xy 2-4.一个系统振幅光栅，其振幅透过率 11。现用单色平面波fxyfx,，,(,)cos(2)oooo22 斜入射照明。入射角为，传播方向为xoz平面。, 设透镜焦距为f，孔径为λ。 求:(1)物体透射光场的频谱 (2)为使像面产生 ,,,干涉条纹，最大角取多大,当时，求像,max ,,,面像强分布。(3)若，像面上出现条纹max ,,0对应光栅的频率为多少,与相比，频率相差如何,