人口增长模型建模

人口增长模型建模 编号:A34 2012年芜湖高校数学建模竞赛 参赛队伍选择的题号(从A/B/C/D中选择一项填写): B 参赛队员: 队员1: 戴诗川 ，学院 机电学院 队员2: 赵小兵 ，学院 机电学院 题 目 中国养老金预测模型 摘要 本文建立了我国养老金增长增长的预测模型，对各年份全国养老金增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化速度、养老金规模等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关解决未来养老难的措施。 模型1:建立了离散人口增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据， 结合中国人口发辰中新出现的老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高(以及乡村人口城镇化等因素(建立了一个离散型人口发展模型(预测出来来40年的全国人口数、年龄结构以及老龄化比例。预计出到2052年全国总人口13845万老龄化比例站到总人口的30.2%。 模型2:考虑到人口年龄结构对我国养老金规模的影响，建立了按年份分布的线性回归模型: 以附件2.中提供的2001年的有关数据，构造一元线性回归模型，然后，根据历年给出的养老金规模，建立相应的 一元线性回归模型，求解出相关参数，最终预测未来养老金规模即能否保障退休水平。 关键词:离散人口增长模型 线性回归模型 养老金规模 通货膨胀 ?1、问题重述 一、背景知识: 中国是一个人口大国，养老问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国人口发展经历了多个阶段，近年来中国的养老金发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，养老金问题面临的风险依然存在 二、相关数据: 附件1 《国家人口发展战略研究 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 》 附件2 人口数据(《中国人口统计年鉴2011》中的部分数据)及其 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 根据已有数据 三、要解决的问题: 1、利用人口模型，分析中国未来40年内的人口结构，分析中国老龄化的速度。 2、查找统计年鉴【1】等各种资料，找出中国已公布的历年养老金规模，并根据相关数据预测未来的养老金规模。 3、在不同水平的通货膨胀下，结合(2)的结果说明未来养老金是否能够真正保障退休水平。 4、根据相关资料结合自己学习的知识，提出解决未来“养老难”的可行性方法。 2.合理的假设 1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争b,s不随时间而变化 ii 2、超过90岁的妇女(老寿星)都按90岁年龄计算 3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变 2 4、不考虑移民对人口总数的影响 3.模型的建立与求解 1. 模型1:离散型人口发展模型(人口发展模型J) (1)结合中国人口发辰中新出现的老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高(以及乡村人口城镇化等因素(建立了一个离散型人口发展模型(预测出来来40年的全国人口数、年龄结构以及老龄化比例 1问题分析对于人口预测模型，已有相当一部分理论成熟的模型，如马尔萨斯模型，阻滞模型等，这些模型只适用于中短期人口的预测，且这些模型不能很好我国新出现的老龄化进程加速(出生率的降低)、出生人口性别比持续升高以及乡村人口城镇化等问题。针对此问题，本文建立了一个“分区域、分性别、分年龄”的人口预测模型。 (2)数据处理 通过分析2007年全国大学生数学建模竞赛A题“中国人口增长预测”附件2中2001——2005年调查的人口情况，得出下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 的数据(见下表):2001--2005年全国人口增长率表(?1 年份 2001 2002 2003 2004 2005 市增长率4(1 3(7 —4(3 4(2 3(5 镇增长率6(0 4(9 —3(7 5(0 3(9 乡增长率5(7 5(1 —5(7 4(3 2(8 (4 4(7 —5(0 4(4 3(2 总增长率5 从表l中发现2003年我国人口增长率为负值。通过查询《中国统计年鉴2006》得知，2003年全国人口增长率不是负值，我们认为可能是附件2中取样比较少或统计有误，通过对人口增长率的机理分析，认定数据是无效数据，只对模型的建 立起到干扰作用，因此在下面的问题求解过程中将2003年的数据剔除。 (3) 城镇各项数据的合并处理 经资料整理和调查。发现乡村人口向镇的转移以劳动力居多，而镇向城市的人口转移亦是如此，并且乡村向镇转移的人口与镇向城市转移的人口大致可视为相 3 同，即人口转移互补。镇人口的出生率、死亡率、男女性别比率等指标与城市的指标也基本上接近，因此就可以将镇、城市合并为城镇，便于后面模型的建立和求解。在不损失准确率的前提下，降低了求解过程的复杂度。具体处理方 法如下:任一年龄城镇妇女比例=(a*a*a+b*b*b) ,123123 ,1任一年龄城镇男性比率=(p*a+q*b)/a+b 131333 ,2 任一年龄城镇女性比率=(p*a+q*b)/a+b 232333 ,1 任一年龄城镇男性死亡率=(p*a*d+q*b*e)/p*a+q*b 1311311313 ,2 任一年龄城镇女性 死亡率=(p*a*d+q*b*e)/p*a+q*b 2322322323其中a、b 分别表示该年龄城市，镇妇女生育率;a、b分别表示该年龄城市、1122镇女性比率;a、b分别表示城市、镇人口总数;p、q分别表示该年龄城市、镇3311 男性比率;d、e分别表示该年龄的男性死亡率;p、q分别表示该年龄城市、镇 1122 女性比率;d、e分别表示该年龄的女性死亡率。22 3模型的建立与求解 3(1人口发展模型J i地区(i=1表示城镇地区，i=2表示乡村地区)(j性别((j=l表示男性，j=2表示女性)k年龄的人口x(t)=x(t-1)+c(t-1)+w(t-1)，因此，第t年总人数ijkijkijkijk 2290 ,,,ijk,,,110z(t)=x(t)(其中c(t-1)表示第t一1年的因出生和死亡的影响而变ijkijk 化的人口;w(t-1)表示第t一1年因迁移影响而发生变化的人口。 ijk 人口模型J: 2290 ,,,ijk,,,110Z(t)= X(t) ijk 1,, ,,0i-1,,X(t)=X(t-1)*X(t-1)+M(t-1)*y(t-1)+(-1)W(t-1) ijkijkijkij0ij0ijk,, ,,0,, †TY(t-1)=P(t-1)*b(t-1)*P(t-1)*X(t-1) ijoi2iji2ki2k 4 3(2模型J的改进 由于乡村人口向城镇转移的规模受城、乡人口的自然变动、社会经济发展的差异、政策 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 等多方面的影响，所以对未来乡村人口城镇化的规模和结构直接做出预测甚至比处理人口预测技术困难得多。而且从附件2中给出的数据中也不能直接对城乡转移的人口数进行确定。于是，将先前处理过的附件1中的城乡指标(死亡率，男女性别比，妇女生育率)进行合并，合并原则为:城乡指标=城镇指标×城镇人口占全国的比例+乡村指标×城镇人口占全国的比例得到简化模型II: 2290 Z(t)=X(t) ijk,,,ijk,,,110 1,, ,,0††,,X(t+1)=MX(t)+ My(t) JKjkjkj0j0,, ,,0,, ††Ty(t)=pbpX(t) j02j2k2K 利用人口发展方程迭代参数,预测出人口总数与年龄结构、以及老龄化比例 下表所示: 单位:万 当年出生0—19岁人20—64岁65岁人口65岁以上 年份 总人口数 数 口 人口 以上 人口 2012 13546 15914 33821 89174 12288 9.1% 2013 13703 16068 33344 89839 14519 9(8% 2014 13838 16073 32950 90389 15367 10.3% 2015 13890 15981 32549 90775 15756 10.8% 2016 13902 15830 32124 91098 19233 11.3% 2017 14067 15622 31803 91323 19543 11.9% 2018 14109 15073 31538 91223 20873 12.2% 2019 14206 14749 31319 91091 20978 12.7% 2020 14256 14409 31012 9167 21023 13.4% 2021 14309 14064 30665 92253 21123 13.9% 5 2022 14367 13731 30325 92976 22341 14.5% 22934 2023 14382 13407 30054 93023 14.9% 2024 14322 13086 29798 93231 23645 15.6% 2025 14404 12760 29517 93421 24656 16.4% 2026 14412 12460 28479 93452 24875 16.9% 2027 14435 12183 28074 93765 25345 17.2% 2028 14440 11940 27641 93834 26453 17(7% 2029 14430 11726 27237 93926 27343 18.4% 2030 14434 11537 26798 94023 27943 18.9% 2031 14432 11374 26331 94234 28453 19.3% 2032 14435 11235 25853 94324 28843 19(8% 2033 14412 11120 25375 94532 28893 20.4% 2034 14443 11037 24906 94321 29012 20.9% 2035 14445 10969 24453 93213 29232 21.2% 2036 14442 10916 24019 93021 29290 21.6.% 2037 14435 10865 23608 93010 29321 21.9% 2038 14402 10811 23223 92344 29423 22.2% 2039 14387 10757 22865 92202 29492 22.8% 2040 14334 10694 22534 91203 29543 23.5% 2041 14304 10622 22226 90786 29592 23.7% 2042 14239 10540 21940 90124 29599 24.7% 2043 14227 10444 21675 89873 29601 25.5% 2044 14279 10334 21429 89342 29620 25.9% 2045 14178 10211 21198 89302 29629 26.4% 2046 14124 10072 20980 88338 29723 27.7% 2047 14098 9923 20769 88234 29762 28.2% 2048 14078 9600 20564 88342 29752 28.5% 2049 14023 9430 20490 87985 29621 28..9% 6 2050 13989 9420 22034 87865 29611 29.2% 2051 13917 9410 21908 89877 29543 29.7% 2052 13845 9400 20360 88787 29423 30.2% 2.(1)通过查找统计年鉴等各种资料，找出中国已公布的历年养老金规模如下 表: 单位:亿元 年 份 合 计 基本养老保险 所占比例 1989 153.6 154.6 1.01 1990 186.8 178.8 0.96 1991 225 215.7 0.96 1992 377.4 365.8 0.97 1993 526.1 503.5 0.96 1994 742 707.4 0.95 1995 1006 950.1 0.94 1996 1252.4 1171.8 0.94 1997 1458.2 1337.9 0.92 1998 1623.1 1459 0.90 1999 2211.8 1965.1 0.89 2000 2644.9 2278.5 0.86 2001 3101.9 2489 0.80 2002 4048.7 3171.5 0.78 2003 4882.9 3680 0.75 2004 5780.3 4258.4 0.74 2005 6975.2 5093.3 0.73 2006 8643.2 6309.8 0.73 2007 10812.3 7834.2 0.72 2008 13696.1 9740.2 0.71 2009 16115.6 11490.8 0.71 7 2010 18822.8 13419.5 0.71 基金支出 1989 120.9 118.8 0.98 1990 151.9 149.3 0.98 1991 176.1 173.1 0.98 1992 327.1 321.9 0.98 1993 482.2 470.6 0.98 1994 680 661.1 0.97 1995 877.1 847.6 0.97 1996 1082.4 1031.9 0.95 1997 1339.2 1251.3 0.93 1998 1636.9 1511.6 0.92 1999 2108.1 1924.9 0.91 2000 2385.6 2115.5 0.89 2001 2748 2321.3 0.84 2002 3471.5 2842.9 0.82 2003 4016.4 3122.1 0.78 2004 4627.4 3502.1 0.76 2005 5400.8 4040.3 0.75 2006 6477.4 4896.7 0.76 2007 7887.8 5964.9 0.76 2008 9925.1 7389.6 0.74 2009 12302.6 8894.4 0.72 2010 14818.5 10554.9 0.71 累计结余 1989 81.6 68 0.83 1990 117.3 97.9 0.83 1991 169.7 144.1 0.85 1992 252.8 220.6 0.87 8 1993 303.7 258.6 0.85 1994 365.7 304.8 0.83 1995 516.8 429.8 0.83 1996 696.1 578.6 0.83 1997 831.6 682.8 0.82 1998 791.1 587.8 0.74 1999 1009.8 733.5 0.73 2000 1327.5 947.1 0.71 2001 1622.8 1054.1 0.65 2002 2423.4 1608 0.66 2003 3313.8 2206.5 0.67 2004 4493.4 2975 0.66 2005 6073.7 4041 0.67 2006 8255.9 5488.9 0.66 2007 11236.6 7391.4 0.66 2008 15176 9931 0.65 2009 18941.5 12526.1 0.66 2010 22902.7 15365.3 0.67 (2)现将1989-2010年的养老金累计结余金额随时间(年代)的数据转换成图表 形式如下: 图2-1-1 9 如果把年代(将1989年作为X=0，往后以此类推)作为横坐标，把历年养老金额作为纵坐标，将这些数据标在平面直角坐标上，则得图2-1-1，这个图称为散点图。 从图2-1-1可以看出，从时间为X=12开始(即1991年)数据点基本落在一条直线附近。这告诉我们，从1991年往后变量X与Y的关系大致可看作是线性关系，即它们之间的相互关系可以用线性关系来描述。但是由于并非所有的数据点完全落在一条直线上，因此X与Y的关系并没有确切到可以唯一地由一个X值确定一个Y值的程度。其它因素，诸如其它人口迁徙、疾病灾荒、经济危机等都会影响养老金Y的结果。如果我们要研究X与Y的关系，可以作线性拟合 (2-1-1) 我们称(2-1-1)式为回归方程，a与b是待定常数，称为回归系数。从理论上讲，(2-1-1)式有无穷多组解，回归分析的任务是求出其最佳的线性拟合。 二、最小二乘法原理 如果把用回归方程 计算得到的 值(i=1,2,„n)称为回归值，i 那么实际测量值y与回归值 之间存在着偏差，我们把这种偏差称为残差，记ii 为e(i=1,2,3,„,n)。这样，我们就可以用残差平方和来度量测量值与回归直线i 的接近或偏差程度。残差平方和定义为: (2-1-2) 所谓最小二乘法，就是选择a和b使Q(a,b)最小，即用最小二乘法得到的回归直线 是在所有直线中与测量值残差平方和Q最小的一条。由(2-1-2)式可知Q是关于a,b的二次函数，所以它的最小值总是存在的。下面讨论的a和b的求法。 三、正规方程组 根据微分中求极值的方法可知，Q(a,b)取得最小值应满足 (2-1-3) 10 由(2-1-2)式，并考虑上述条件，则 (2-1-4) (2-1-4)式称为正规方程组。解这一方程组可得 (2-1-5) 其中 (2-1-6) 式中，L称为xy的协方差之和，L称为x的平方差之和。 xyxx 如果改写(2-1-1)式，可得 (2-1-7) 或 (2-1-8) 现在我们来建立关于例1的回归关系式。将表2-1-1的结果代入(2-1-5)式至(2-1-6)式，得出 a=-32857.14286 b=2142.857143 因此，在未来40年内的养老金金额与时间的关系的回归关系式为 y=-32857.14286+2142.857143x 说明:因其线性回归性质的满足范围为1991年以后，所以式中的X为从1991年开始的，即将年代减去1991即可得到(X=当时年代-1991)带入公式即可算出当年的养老金额。或者为了简便计算也可化简为 y=-32857.14286+2142.857143(x-1991) 现根据上面的预测公式将2015-2055年的养老金规模做尝试预测，预测结果如下表: 11 2015-2055年养老金规模预测表 年代 金额(亿元) 年代 金额(亿元) 2012 12142.86 2033 57142.86 2013 14285.71 2034 59285.71 2014 16428.57 2035 61428.57 2015 18571.43 2036 63571.43 2016 20714.29 2037 65714.29 2017 22857.14 2038 67857.14 2018 25000 2039 70000 2019 27142.86 2040 72142.86 2020 29285.71 2041 74285.71 2021 31428.57 2042 76428.57 2022 33571.43 2043 78571.43 2023 35714.29 2044 80714.29 2024 37857.14 2045 82857.14 2025 40000 2046 85000 2026 42142.86 2047 87142.86 2027 44285.71 2048 89285.71 2028 46428.57 2049 91428.57 2029 48571.43 2050 93571.43 2030 50714.29 2051 95714.29 2031 52857.14 2052 97857.14 2032 55000 3.根据前面两项预测的养老人员比例与养老金规模，可将全部养老金额用于老年 人的养老问题上，期间受经济通货膨胀率的影响，现绘出历年通过膨胀率表格如 下: 1995年 1996年 1997年 1998年 1999年 12 17.1% 8.3% 2.8 % -0.8% -1.4% 2000年 2001年 2002年 2003年 2004年 0.4% 0.7% -0.8% 1.2% 3.9% 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 1.8% 1.5% 4.8% 5.9% 0% 将上述数据转换成图表为: 由上述数据可看出在未来的通货膨胀率下，总体维持在平均水平，即3.28%左右。那么未来养老金预测数据在该通货膨胀率下的养老金额将发生变化如下表: 通货膨胀下的养老金额 年代 金额(亿元) 年代 金额(亿元) 2012 12541.15 2033 59017.15 2013 14754.28 2034 61230.28 2014 16967.43 2035 63443.43 2015 19180.57 2036 65656.57 2016 21393.72 2037 67869.72 2017 23606.85 2038 70082.85 2018 25820 2039 72296 2019 28033.15 2040 74509.15 2020 30246.28 2041 76722.28 2021 32459.43 2042 78935.43 2022 34672.57 2043 81148.57 2023 36885.72 2044 83361.72 13 2024 39098.85 2045 85574.85 2025 41312 2046 87788 2026 43525.15 2047 90001.15 2027 45738.28 2048 92214.28 2028 47951.43 2049 94427.43 2029 50164.57 2050 96640.57 2030 52377.72 2051 98853.72 2031 54590.85 2052 101066.9 2032 56804 现将养老金额对老年人进行人均分配，得到平均最低生活保障金额为 年代 单位(千元) 每人每月金2012 养老金总额 养老人数 每年每人金额 额 2013 12541.15 12288 1.020601 0.08505 2014 14754.28 14519 1.016205 0.084684 2015 16967.43 15367 1.104147 0.092012 2016 19180.57 15756 1.21735 0.101446 2017 21393.72 19233 1.112344 0.092695 2018 23606.85 19543 1.207944 0.100662 2019 25820 20873 1.237005 0.103084 2020 28033.15 20978 1.336312 0.111359 2021 30246.28 21023 1.438723 0.119894 2022 32459.43 21123 1.536687 0.128057 2023 34672.57 22341 1.55197 0.129331 2024 36885.72 22934 1.608342 0.134029 2025 39098.85 23645 1.653578 0.137798 2026 41312 24656 1.675535 0.139628 2027 43525.15 24875 1.749755 0.145813 14 2028 45738.28 25345 1.804627 0.150386 2029 47951.43 26453 1.812703 0.151059 2030 50164.57 27343 1.83464 0.152887 2031 52377.72 27943 1.874449 0.156204 2032 54590.85 28453 1.918632 0.159886 2033 56804 28843 1.969421 0.164118 2034 59017.15 28893 2.042611 0.170218 2035 61230.28 29012 2.110516 0.175876 2036 63443.43 29232 2.170342 0.180862 2037 65656.57 29290 2.241604 0.1868 2038 67869.72 29321 2.314714 0.192893 2039 70082.85 29423 2.381907 0.198492 2040 72296 29492 2.451377 0.204281 2041 74509.15 29543 2.522058 0.210171 2042 76722.28 29592 2.59267 0.216056 2043 78935.43 29599 2.666828 0.222236 2044 81148.57 29601 2.741413 0.228451 2045 83361.72 29620 2.814373 0.234531 2046 85574.85 29629 2.888213 0.240684 2047 87788 29723 2.953538 0.246128 2048 90001.15 29762 3.024029 0.252002 2049 92214.28 29752 3.099431 0.258286 2050 94427.43 29621 3.187854 0.265655 2051 96640.57 29611 3.263671 0.271973 2052 98853.72 29543 3.346096 0.278841 101066.9 29423 3.434962 0.286247 又由官方公布安徽最低生活保障金(以安徽省会合肥市为例)为560元，有上 表可看出个人生活金额远小于最低生活保障，故不能保障退休水平。 15 4.构建养老保险的三根支柱 未来的养老保险制度应当包括三个层次或三根支柱，它们分别是: 第一层次——将现行的养老保险制度中的社会统筹基金部分独立出来，使其成为一个由中央政府直接管理的公共养老保险计划。该计划是一个规定受益额但工资替代率较低的现收现付计划，建议采用工薪税融资并由财政部管理。由于公共养老保险计划是纯粹的政府行为，因此其管理费用要来源于财政预算。 第二层次——将现行养老保险制度中的个人账户基金部分独立出来，使其成为由政府监管、强制性的、规定缴费额的养老保险计划，我们称之为缴费性养老保险计划。缴费性养老保险计划的治理结构是多个相对独立的养老保险基金会，可以考虑将现在省一级社会保险行政管理机构内的投资营运机构改造成为由政府监管的养老保险基金会。 第三层次——自愿的个人储蓄和个人投保，以及企业开办的职业年金计划。由于这一层次计划属于微观主体的自愿行为，故称其为补充养老保险计划。 以上三个层次的养老保险计划可以达到将再分配功能、储蓄功能与保险功能有机地结合在一个共同养老保险制度之中的目的。 参考文献 附件1. 国家统计局,中国统计年鉴,2011 附件2. 《国家人口发展战略研究报告》 万方数据 [1] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:.2003年8月第三版; 16 [2] 姜启源.数学模型[M].北京: 高等教育出版社.1987年4月第一版; [3] 于洪彦.Excel统计分析与决策[M].北京:高等教育出版社.2006年4月; [4] 胡守信,李柏年.基于MATLAB的数学实验[M].北京:科学出版社.2004年6月; [5] 扬启帆,康旭升,等.数学建模[M].北京: 高等教育出版社.2006年5月; [6] 于学军.《中国人口科学》2000年第2期,时间:2000-4-6,中国人口信息网. 第22卷第3期 2009年6月 高等函授学报(自然科学版) Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences) V01(22 No(3 2009 17