《数学建模(第四版)》4.7钢管切割问
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摘要该问题在于确定钢管切割模式的安排上，显然是一个优化问题。是一个在原料和成品长度等约束下求最小费用的优化模型。我们在分析题目的各种限制因素后，找到初步的目标函数，找到约束条件，建立IP（整数优化）模型。在求解模型过程中，由于问题的规模小，我们通过分析约束条件采取枚举法分析可行域，运用MATLAB找到钢管切割模式的可行解。然后在目标函数下，进而求出最优解集合。考虑到实际生活常识，通过对满足约束条件下的最优解来进行分析，找到符合实际的最优解。依此来确定最终的切割模式
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。在求解模型的过程中，针对不同的假设背景下，可以简化模型的求解过程。我们运用LINDO/LINGO或MATLAB编写程序来进行求解，同时用LINDO/LINGO软件进行初步的可行性和灵敏度分析。为了使主要结果的直观性和形象性，对获得的数据运用MATLAB处理成图
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。在文章的最后，我们对模型的改进和模型的应用范围进行了适当的分析，提出关于与模型的相关问题的见解。关键词：切割模式优化MATLAB/LINGO灵敏度分析1、问题重述原料钢管长度1850mm，现要从这一批原料钢管中切割出15根290mm，28根315mm，21根350mm和30根455mm三种特定长度的成品钢管。合理的切割模式确定后，求使切割总费用最小的切割方案。问题中的原料和成品长度都有限定，切割费用也与切割模式有关。在阅读分析题目后，其中限制条件主要有：1原料钢管长度限制，所以每根钢管的切割模式总长度不能超过1850mm。2一根钢管最多生产5根成品钢管，切割后的成品根数有限制。3切割模式的种类不能超过4种。4一根钢管在每种切割模式下的余料不能超过100mm。5费用的计算方式是和切割模式的使用频率有关。二、基本假设(1)切割过程中原料钢管不发生长度损失。(2)在切割过程中，只发生因切割而产生的费用。(3)切割费用只与切割模式使用频率有关，而与其他因素无关。（4）在使总费用达到最小的所有模式中，认为余料最小是要比其他同等模式优良的切割模式。三、符号说明:分别表示一根钢管上切割长度为290mm、315mm、350mm、455mm钢管的数目：按第种模式切割的原料钢管根数（）四、问题的分析首先要确定采用哪些切割模式。所谓切割模式，是指按照顾客要求的长度在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将1850mm的钢管切割成6根长290mm的钢管，余料为110mm；或者将长1850mm的钢管切割成长290mm、455mm和315mm的钢管各1根和350mm的钢管2根，余料为84mm。显然，可行的切割模式是很多的。其次，应当明确哪些切割模式是合理的。合理的切割模式通常还假设余料不应超过100mm，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。则切割模式的约束条件为：（4-1）于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。五、模型的建立与求解经过简单的计算可知，合理的切割模式一共有7种，如表1所示。表1钢管下料的合理切割模式模式290mm315mm350mm455mm余料/mm1005010020004303103155420121050131306112190702216580311100903111001021025511300270而所谓节省，可以有两种
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，一是切割后剩余的总余料量最小，总余量：（5-1）二是切割原料钢管的总根数最少。总根数：（5-2）在选择切割模式的时候受到以下条件的约束：（1）所使用的切割模式的种类不能超过4种。（2）使用频率最高的一种切割模式按照一个原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推。约束条件，满足：（5-3）模式合理约束（每根余料不超过100mm）：(5-4)整数约束：为整数。每根钢管长度为1850mm，可以求得所需要的钢管数目下界为：选择的模式数量大小约束：（5-4）用lingo进行求解得到如下结果：VariableValueX112.00000X24.000000X33.000000X40.000000R111.000000R120.000000R131.000000R212.000000R221.000000R230.000000R310.000000R323.000000R333.000000R412.000000R421.000000R431.000000R140.000000R240.000000R345.000000R440.000000模式一：290mm钢管1根、315mm钢管2根和455mm钢管2根，需要12根模式二；315mm钢管1根、350mm钢管3根和455mm钢管1根，需要4根模式三；290mm钢管1根、350mm钢管3根和455mm钢管1根，需要3根六、模型的评价与改进优点：这是一个经济生活中常见的确定生产方案问题，是运筹学中很典型的问题。并且在合理的将约束条件简化条件下，能够和实际结果符合的较好。模型思路明朗清晰，结构简单，有一定的适用范围能够较为简便的解决生产方案安排问题。模型可以很容易的推广到在M种原料下，生产N种成品的情形，方案制定并进行优化（非遍历解法）。改进：由于这是在实际基础上经过理想化假设后抽象出来的数学模型，因此这个数学模型也存在着一些缺陷，必须是建立在静态假设条件下的，即要求在运输过程中相关价格量、供给量、需求量等不能发生变动，模型的解是整数，即离散的，原因是经济中商品量的变动很多都是单位变动，即离散的，所以模型就不能很好的处理量变化是连续性的商品运输问题，这也会影响模型解的真实性。不过以上的缺陷可以在这个模型的基础上进行改进，同时如果能够获得一些准确的原始数据，就能够较为客观的反映现实，所以也不能否认这个模型的意义。本文档内字体为阿里巴巴普惠体R，CTRL+A全选可调整字体属性及字体大小-CAL-FENGHAI.NetworkInformationTechnologyCompany.2020YEAR
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