10年高考题之概率与统计锦集

10年高考 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 之概率与统计锦集 总题数:22 题 第1题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(福建卷)) 题目 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 答案 B 解析:20组数中恰有两次命中的共有5组，因此所求概率为. 第2题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖北卷)) 题目 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( ) A. B. C. D. 答案 C 22解析:?(m+ni)(n-mi)=2mn+(n-m)i为实数, 22?n-m=0,即n=m. 1 故,选C. 第3题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(安徽卷)) 题目 考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( ) A. B. C. D. 答案 D 解析:平行的直线共有6对, 故. 故选D. 第4题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(山东卷)) 题目 某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是,96,106,,样本数据分组为,96,98),,98,100),,100,102),,102,104),,104,106,,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ) 2 A.90 B.75 C.60 D.45 答案 A 解析:样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2,0.3,频数为36. 样本总数为. ?样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)×2,0.75, ?样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75,90. 第5题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(山东卷)) 题目 在区间,-1,1,上随机取一个数x,的值介于0到之间的概率为„( ) A. B. C. D. 答案 A 3 解析:函数的图象为: 由图知,当-1,x,或,x,1时,0,,. 由概率的几何概型知: 的值介于0到之间的概率为. 第6题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(江西卷)) 题目 为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了3种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡片,集齐3种卡片可获 奖,现购买该食品5袋,能获奖的概率为( ) A. B. C. D. 答案 D 525解析:本题考查的是古典概型,其中n=3,不能获奖的取法有C(2-1)种，故获奖概率3 .故选D. 4 第7题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(重庆卷)) 题目 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意 舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析:概率为. 第8题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(海南、宁夏卷)) 题目 对变量x,y有观测数据(x,y)(i,1,2,„,10),得散点图1;对变量u,v有观测数据(u,v)(i,1,2,„,10)，iiii得散点图2.由这两个散点图可以判断( ) 图1 图2 A.变量x与y正相关,u与v正相关 B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关 5 D.变量x与y负相关,u与v负相关 答案 C 解析:由图象观察易知C正确. 第9题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(全国?)) 题目 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概 ) 率为( A( B( C( D( 答案 D 解析:排除法即可.P=1-=1-. 第10题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(辽宁卷)) 题目 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A. B. C. D. 答案 答案:C 6 解析:概率P==. 第11题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(福建卷)) 题目 某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A. B. C. D. 答案 2222B 解析:由独立重复试验P=p(1-p)=6?()?()=. 第12题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖南卷)) 题目 设随机变量服从正态分布N(2,9) ,若P (,c+1)=P(,c,,则c= A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析:解法一:P(ξ,c+1) =1-P(ξ,c+1)=1-Φ() 7 =1-Φ(), P(ξ,c-1)=Φ()=Φ(), 1-Φ()=Φ(), 即+=02c=4, ?c=2. 解法二: 已知图象关于x=2对称,?=2,即c=2. 第13题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(广东卷)) 题目 某校共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( ) 一年级 二年级 三年级 8 女生 373 x y 男生 377 370 z A.24 B.18 C.16 D.12 答案 答案:C 解析:二年级女生有2 000×0.19=380人, ?三年级共有2 000-(373+377)-(380+370)=500人. ?应在三年级抽取的人数为×500=16. 第14题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(安徽卷)) 题目 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有( ) A( B( C( D( 9 答案 22σ是方差,μ是密度函数图象的对称轴的位置,此图象越瘦高,数据越集中,σ越A解析:?μ是平均数,1 小. 第15题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(江西卷)) 题目 电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A( B( C( D( 答案 C解析:对于每一时刻的数字组成,从左起第一位只能是0,1,2,当首位为0或1时,第二位有0—9共10个选择,而首位为2时,第二位只能从0—3中选,共4个选择,?一天中所有时刻共(2×10+4)×6×10=1 440(种). 对于四个数字之和为23的时刻,首位为0时,由于第三位最大为5,所以只有09:59合要求; 首位为1时,因第二、四位和最大为18,所以第三位只能为4或5,故共有19:49,18:59和19:58三种情况;首位为2时,各位最大情况为23:59,和仍小于23,故此时不能符合题意. ?所求概率为=. 10 第16题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(四川卷延考)) 题目 在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为 (A) (B) (C) (D) 答案 答案:D 解析:因文艺书只有2本，所以选3本必有科技书. 问题等价于选3本书有文艺书的概率: . 第17题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(重庆卷)) 题目 2已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ),则P(ξ,3)等于( ) A. B. C. D. 答案 答案:D 解析:P(ξ,3)=Φ()=Φ(0), 依据 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布图象Φ(0)=,?P(ξ,3)=. 11 第18题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(山东卷)) 题目 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，„，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 (A) (B) (C) (D) 答案 B 解析:从18名火炬手中任选3人共种方法.若3名火炬手的编号组成以3为公差的等差数列, 则每一组编号的第一项应分别从1,2,3,„,12这12个数中选一个,共12组,故选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为,故选B. 第19题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(山东卷)) 题目 下图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 (A)304.6 (B)303.6 (C)302.6 (D)301.6 答案 12 B 解析:由茎叶图可知1997年人口数为291,1998年291,1999年295,2000年298,2001年302,2002年306,2003年310,2004年312,2005年314,2006年317. 故平均数为(291+291+295+298+302+306+310+312+314+317)=303.6. 第20题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(辽宁卷)) 题目 9.一个坛子里有编号为1，2，„，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是( ) A. B. C. D. 答案 答案:D 解析:P==. 第21题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(浙江卷)) 题目 (5)已知随机变量服从正态分布，，则( ) A. B. C. D. 答案 答案:A 13 解析:?P(ξ?4)=F(4)=Φ()=Φ()=0.84, ?P(ξ?0)=F(0)=Φ() =Φ(,)=1,Φ() =1,0.84=0.16. 第22题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(福建卷)) 题目 (12)如图，三行三列的方阵有9个数(i,1，2，3;j,1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 A B C D 答案 答案:D 解析:间接法:. 14 总题数:22 题 第23题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖北卷)) 题目 9.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ，则的 概率是 A. B. C. D 答案 答案:C 解析:?m,0，n,0，?a=(m，n)与b=(1，,1) 不可能同向.?夹角θ?0. ?θ?(0，)a?b?0. ?m,n?0， 即m?n. 当m=6时，n=6，5，4，3，2，1; 当m=5时，n=5，4，3，2，1; 当m=4时，n=4，3，2，1; 当=3时，=3，2，1; mn 当m=2时，n=2，1; 当m=1时，n=1. 15 ?概率是=. 第24题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖南卷)) 题目 5.设随机变量服从标准正态分布，已知，则=( ) A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975 答案 答案:C 解析:P(|ξ|,1.96)=1,2Φ(,1.96)=0.950. 第25题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(广东卷新课标)) 题目 6.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A、„、A(如A表示身高(单位:cm)在[150，155)内的学生人数).图2是统计图1中身高在一定范2102 围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160&180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 16 图 1 图2 A.i,6 B. i,7 C. i,8 D. i,9 答案 答案:C 解析:身高160&180之间的人数应为A+A+A+A, 4567 ?当算法流程图中的判断框内填i<8时,S=A+A+A+A. 4567 第26题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(安徽卷)) 题目 10.以表示标准正态总体在区间()内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于 (A)- (B) (C) (D) 17 答案 答案:B 解析:依题意有|ξ,μ|,σ,?μ,σ,ξ,μ+σ. ?(|ξ,μ|,σ)=Φ,,,Φ,, P =Φ(1),Φ(,1). 第27题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(江西卷)) 题目 10.将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 A. B. C. D. 答案 答案:B 解析:设等差数列的公差为d, 当=0时,6种; d 当=1时,1,2,3;2,3,4;3,4,5;4,5,6共4种; d 当d=,1时,同理4种; 当=2时,2种; d 当d=,2时,2种; ?=. P 18 第28题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(四川卷)) 题目 (12)已知一组抛物线，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是 (A) (B) (C) (D) 答案 答案:B 解析:y′=ax+b,把x=1代入,得y′|=a+b. x=1 a+b=5的有1种; a+b=7的有C=3种; a+b=9的有C=6种; a+b=11的有C=3种; a+b=13的有C=1种; 共有C=120种. 19 ?=. P 第29题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(重庆卷)) 题目 6.从5张100元，3张200元,2张300元的奥运预赛门票中任取3张,则所取3张中至少有2张价格相同的概率为 B. C. D. A. 答案 答案:C 解析:设所取三张中没有价格相同的概率为P， 1 则P=1,P=1,. 1 第30题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(山东卷新课标)) 题目 (8)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组:第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒;第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒;„„，第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒，下图是按上连分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x.成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为 20 A. 0.9，35 B. 0.9，45 C. 0.1，35 D. 0.1，45 答案 答案:A 解析:成绩小于17秒的人数的百分比为(0.02+0.18+0.36+0.34)×1=0.9; 成绩大于等于15秒且小于17秒的人数为(0.36+0.34)×1×50=35. 第31题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(山东卷新课标)) 题目 (12)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右，并且向上，向右移动的频率都是.质点P移动五次后位于点(2，3)的频率是 A. B. C. D. 答案 答案:B 21 解析:要从(0，0)到(2，3)所走的五步中有2次向右走，3次向上走， 22325故概率是C()?()=C(). 55 (2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(海南、宁夏卷新课标)) 第32题 题目 11.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成乙的成绩甲的成绩 丙的成绩 绩的标准差，则有( ) 环数环数 77 88 99 1010 环数 7 8 9 10 频数频数 频数 65 45 45 65 4 6 6 4 ,. ,. ,. ,. 答案 答案:B 解析:?甲的期望Eξ=, 222?s=(7,)×+(8,)×+(9,)×+(10,)×=. 1 ?乙的期望Eξ=, 2222?s=(7,)×+(8,)×+(9,)×+(10,)×=. 2 ?丙的期望Eξ=, 2222s=(7,)×+(8,)×+(9?)×+(10,)×=. 3 ?s,s,s. 213 22 第33题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程)) 题目 (6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 (A) (B) (C) (D) 答案 A 解析: 第34题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)安徽卷(新课程)) 题目 (12)在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 (A) (B) (C) (D) 答案 C 23 3解析:在正方体上任选3顶点，组成三角形个数为C=56，又要求所得三角形为直角非等腰三角形，故正8 3方体的各对角面为所求，即6×C=24，即概率为 4 第35题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)江西卷(新课程)) 题目 10(将7个人(含甲、乙)分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为a,甲、乙分在同一组的概率为p,则a、p的值分别为 A(a=105，p= B(a=105，P= C(a=210，p= D(a=210，p= 答案 A 解析:a=,甲、乙同在两人组的分法共有:C?C?C=10种. 甲、乙同在三人组的分法共有:=15种. ?甲、乙同组分法共有10+15=25(种) ?P= 故选A. 第36题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)四川卷(新课程)) 题目 24 (12)从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除的概 率为 (B) (C) (D) (A) 答案 B 解析:用0至9这10个数可组成无重复数字的三位数共A-A=648个 把0到9这10个数分成3组. {0,3,6,9}被3除余0. {2,5,8}被3除余2. {1,4,7}被3除余1. 若能被3整除只需各位上的数字被3除的余数定和能被3阶的余数之和能被3整除 故共有四类 0+0+0型:A-A=18 0+1+2型:CCC?A-CCA=198 1+1+1型:A=6 2+2+2型:A=6 共计228个能被3整除的数 不能被3整除的共有420个 25 ?不能被3整除的概率. 第37题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)重庆卷(新课程)) 题目 (6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为岁,18岁的男生体重(?)，得到频率分布直方图如下: 根据上图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是 (A)20 (B)30 (C)40 (D)50 答案 C 第38题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程)) 题目 某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为( ) 26 A( B( C( D( 答案 A 2解析:只有二次击中目标的概率是C (0.6)?(1,0.6)=， 3三次都击中目标的概率是C(0.6)=， ?至少有两次击中目标的概率是+= .故选A. 第39题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程)) 题目 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，„，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，„，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况: ?7，34，61，88，115，142，169，196，223，250; ?5，9，100，107，111，121，180，195，200，265; 27 ?11，38，65，92，119，146，173，200，227，254; ?30，57，84，111，138，165，192，219，246，270. 关于上述样本的下列结论中，正确的是( ) A(?、?都不能为系统抽样 B(?、?都不能为分层抽样 C(?、?都可能为系统抽样 D(?、?都可能为分层抽样 答案 C 解析:由定义可知，??为分层抽样;?为系统抽样;?为随机抽样.故选D. 第40题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程)) 题目 以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个 ) 三角形不共面的概率p为( A( B( C( D( 答案 A 28 解析:平行六面体共8个顶点，则可构成三角形C=56个，随机抽取两个为C，平行六面体每一个面上确定的三角形为C=4个，任取两个C共面， 记事件A为“两三角形共面”. 则P(A)==. 故所求两个三角形不共面的概率P=1,P(A)=1,= ，故选A. 第41题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)江西卷(新课程)) 题目 将1，2，„，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为( ) A( B( C( D( 答案 A 解析:九个数分成三组，共=8×7×5种. 其中每组的三个数都成等差，共有 29 {(1，2，3)，(4，5，6)，(7，8，9)}; {(1，2，3)，(4，6，8)，(5，7，9)}; {(1，3，5)，(2，4，6)，(7，8，9)}; {(1，4，7)，(2，5，8)，(3，6，9)}; {(1，5，9)，(2，3，4)，(6，7，8)}五组. ?概率为=. 第42题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)山东卷(新课程)) 题目 ) 10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是( (A) (B) (C) (D) 答案 D 解析:设事件A为“无人中奖”，则P(A)==，则至少有1人中奖的概率 P()=1,P(A)=1,=. 30 第43题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷?(新课程)) 题目 从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„( ) A. B. C. D. 答案 D 第44题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖南卷(新课程)) 题目 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为?;在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为?.则完成?、?这两项调查宜采用的抽样方法依次是„„„„„„( ) A.分层抽样法，系统抽样法 B.分层抽样法，简单随机抽样法 C.系统抽样法，分层抽样法 D.简单随机抽样法，分层抽样法 答案 B 31 总题数:22 题 第45题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)重庆卷(新课程)) 题目 某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)，而二班的2位同学没有被排在一起的概率为„„„„„„„„„( ) (A) (B) (C) (D) 答案 B 第46题(2001年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程)) 题目 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:?单向倾斜;?双向倾斜;?四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P、P、P. 123 若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则„„„„„„„„( ) A.P,P,P 321 32 B.P,P,P 321 C.P,P,P 321 D.P,P,P 321 答案 D 第47题(2001年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程)) 题目 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量是„„„„„„„„„„„„( ) A.26 B.24 C.20 D.19 答案 D 第48题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(天津卷)) 题目 33 某学院的A,B,C三个专业共有1 200名学生.为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取___________名学生. 答案 40 解析:由题知C专业有学生1 200,380,420,400,那么C专业应抽取的学生数为名. (2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(辽宁卷)) 第49题 题目 某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比也为1?2?1,用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________ h. 答案 1 013 解析:利用分层抽样可知从3个分厂抽出的100个电子产品中,每个厂中的产品个数比为1?2?1,故分别有25,50,25个.再由三个厂子算出的平均值可得100件产品的总的平均寿命为 (h). 第50题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(浙江卷)) 题目 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量(单位:千瓦时) 高峰电价(单位:元/千瓦时) 34 50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分 0.598 超过200的部分 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量(单位:千瓦时) 低谷电价(单位:元/千瓦时) 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时,低谷时间段用电量为100千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为_________元(用数字作答). 答案 148.4 解析:A,50×0.568+150×0.598+50×0.288+50×0.318,148.4. 第51题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(福建卷)) 题目 某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛,9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误,则数字x应该是______. 答案 1 35 解析:去掉88,94后，A平均分为89×2+92×2+90+x+91+93,91×7,解得x,1(可以验证90+x为最高分是不可能的). 第52题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖北卷)) 题目 样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在,6,10)内的频数为___________，数据落在,2,10)内的概率约为___________. 答案 64 0.4 解析:频数为:200×(0.08×4)=64,数据落在区间,2,10)内的概率约为0.02×4+0.08×4=0.4. 第53题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖南卷)) 题目 一个总体分为A,B两层,其个体数之比为4?1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个体数为_____________. 答案 40 解析:设B层中个体数为x,由分层抽样的方法可知容量为10的样本中，B层的个体数为2, ?. 36 ?A层中个体数为32,则总体中的个体数为40. 第54题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(安徽卷)) 题目 2若随机变量X,N(μ,σ),则P(X?μ),_______________. 答案 2解析:X,N(μ,σ)则其密度曲线关于X,μ对称,则P(X?μ),. 第55题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(广东卷)) 题目 已知离散型随机变量X的分布列如右表.若EX,0，DX,1，则a,___________，b,_____________. 答案 解析: 第56题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(上海卷)) 37 题目 在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是___________.(结果用分数表示) 答案 答案: 解析:?三点共线的取法有+=5(种), ?构成三角形的概率为1=. 第57题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(上海卷)) 题目 已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小,则a、b的取值分别是___________. 答案 答案:10.5、10.5 解析:?总体的个体数是10,且中位数是10.5, ?=10.5,即a+b=21. ?总体的平均数是10. 22要使总体的方差最小,只要(a-10)+(b-10)最小, 222即(a-10)+(b-10)?2()=. 38 当且仅当a=b时取“=”,?a=b=10.5. 第58题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖南卷)) 题目 对有n(n?4)个元素的总体,1,2,3,„,n,进行抽样，先将总体分成两个子总体,1,2,„，m,和,m+1、m+2,„，n,(m是给定的正整数，且2?m?n-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P=______;所有P(1?i,j?的和等于_______________. 1mij 答案 6解析: (1)=, 从m和(n-m)中各取两个,两个元素组成样本共有2×2=4种可能. (2)当i,j?m时,P=. ij 又?ij取法共有种,?=1. 当m,i,j?n时,同理=1, 当1?i?m,j?n时,P=,ij共有m(n-m)种取法, ij ?=4. ?=1+1+4=6. 第59题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(海南、宁夏卷)) 39 题目 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm)，结果如下: 由以上数据设计了如下茎叶图: 甲 乙 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论: ?____________________________________________________________________________________ ?____________________________________________________________________________________ 答案 1(乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度)( 2(甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散((或:乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定)(甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大)( 40 3(甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm( 4(乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近)(甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外，也大致对称，其分布较均匀( 第60题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(全国?)) 题目 214.在某项测量中，测量结果x服从正态分布N(1，s)(s,0)，若x在(0，1)内取值的概率为0.4，则x在(0，2)内取值的概率为 。 答案 (2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(浙江卷)) 第61题 题目 (15)随机变量的分布列如下: -1 0 1 a b c 其中成等差数列，若，则的值是 . 答案 答案: 解析:? 41 ?Dξ=. 第62题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(福建卷)) 题目 (15)两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望Eξ,_______; 答案 答案: 解析: ξ 0 1 2 P ?Eξ=0?+1?+2?==. 第63题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖北卷)) 题目 14.某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为 .(用数值作 答) 答案 答案: 42 310,3解析:C()?()=. 第64题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(广东卷新课标)) 题目 9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .(答案用分数表示) 答案 答案: 解析:P(A)= ==. 第65题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷?(新课程)) 题目 (16)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在(元)月收入段应抽出,,,,,人。 43 答案 25 解析:分析频率分布直方图可知:收入在,1000,1500)频率0.10; ,1500，2000)频率0.20;,2000，2500)频率0.25;,2500，3000)频率0.25; ,3000,3500)频率0.15;,3500，4000)频率0.05. ?设在,2500,3000)抽x人 =0.25 ?x=25人. 第66题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程)) 题目 (15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标 以数2。将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是,,,,,。 答案 44 解析:设所得两数之积为ξ，则ξ的可能值为0，1，2，4， p(ξ=0)=2 p(ξ=1)== p(ξ=2)=2 p(ξ=4)= ? ξ 0 1 2 4 P ?Eξ=0+++= 总题数:22 题 第67题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程)) 题目 12(接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率 为_____________。(精确到0.01) 答案 0.94 45 解析:至少3人发热可分为3人，4人，5人发热三种情况. 3323人发热:P(A)=C?(0.8)?(0.2). 5 444人发热:P(B)=C?(0.8)?0.2. 5 55人发热:P(C)=(0.8). P(A)+P(B)+P(C)?0.94. 第68题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)四川卷(新课程)) 题目 (14)设离散型随机变量可能取的值为1,2,3,4。，又的数学期望，则________________; 答案 解析:由已知随机变量ξ的概率分布为 ξ 1 2 3 4 P(s) a+b 2a+b 3a+b 4a+b ? 解方程组得 b=0 a= ?a+b= 第69题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷?(新课程)) 46 题目 15、设为平面上过点的直线，的斜率等可能地取，用表示坐标原点到的距离，则随机变量的数学期望 。 答案 15( 解析: k 0 ,2 2 , , ξ 1 P ?Eξ=××2+××2+××2+1×=. 第70题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程)) 题目 15(某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果: 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是___________(元). 答案 47 15.4760 ，投资失败的概率是， 解析:投资成功的概率是 ?收益的期望是,12%×+(,50%)×,×50 000=4 760. 第71题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖南卷(新课程)) 题目 11、一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品。 答案 11(5600 解析:设甲、乙、丙各生产了T、T、T件. 甲乙丙 ?T、T、T成等差数列， 甲乙丙 48 ==5 600. T乙 (2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)重庆卷(新课程)) 第72题 题目 15(某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 . 答案 15( 6解析:6位乘客进入4节车厢的方案共有4种. 6位乘客按各节车厢人数恰好为0，1，2，3进入共有CCCA种方法. ?概率为=. 第73题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷?(新课程)) 题目 13.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 P 49 答案 13. 0.1，0.6，0.3 第74题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程)) 题目 13.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品.产品数量之比依次为2?3?5.现用分层抽样方法抽出一个容 量为的样本，样本中种型号产品有16件.那么此样本的容量= . nAn 答案 13. 80 (2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程)) 第75题 题目 (15)某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响. 有下列结论: ?他第3次击中目标的概率是0.9; 3?他恰好击中目标3次的概率是0.9×0.1; 4?他至少击中目标1次的概率是1,0.1 其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号). 答案 (15)??. 第76题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程)) 题目 (13)设随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k)=，a为常数,k=1,2,„，则a= . 50 答案 (13)4 第77题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖南卷(新课程)) 题目 14.同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上,ξ=0表示结果中没有正面向上,则ξ= . E 答案 14.0.75 (2004年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)安徽卷(新课程)) 第78题 题目 14.在5名学生(3名男生,2名女生)中安排2名学生值日,其中至少有1名女生的概率是 . 答案 14.0.7 第79题(2003年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷(新课程)) 题目 14.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 、 、 辆. 答案 14. 6 30 10 第80题(2001年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程)) 题目 51 14.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球.从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是___________.(用数字作答) 答案 14.1.2 第81题(2000年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津、江西卷(新课程)) 题目 13.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品数的概率分布是 0 1 2 p 答案 13. 0 1 2 0.9025 0.095 0.0025 p 解:所设随机变量的概率分布是二项分布B(2，5%)， 0220?P=C(0.05)(0.95)，P=C0.05×0.95，P=C(0.05)(0.95)， 012 求值得:P=0.9025，p=0.095，P=0.025. 012 第82题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(全国?卷)) 题目 52 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立.已知前2局中，甲、乙各胜1局. (?)求甲获得这次比赛胜利的概率; (?)设ξ 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望. 答案 分析:本题主要考查相互独立事件的概率,随机变量的分布列等基础知识,考查运用知识解决实际问题的能力. 解:记A表示事件:第i局甲获胜，i=3,4,5. i B表示事件:第j局乙获胜，j=3,4. j (?)记B表示事件:甲获得这次比赛的胜利. 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 B=A?A+B?A?A+A?B?A. 34345345 由于各局比赛结果相互独立，故 P(B)=P(A?A)+P(B?A?A)+P(A?B?A) 34345345 =P(A)P(A)+P(B)P(A)P(A)+P(A)P(B)P(A) 34345345 =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 =0.648. (?)ξ的可能取值为2，3. 由于各局比赛结果相互独立，所以 P(ξ=2)=P(A?A+B?B) 3434 =P(A?A)+P(B?B) 3434 53 =P(A)P(A)+P(B)P(B) 3434 =0.6×0.6+0.4×0.4 =0.52. P(ξ=3)=1-P(ξ=2)=1-0.52=0.48. ξ的分布列为 ξ 2 3 P 0.52 0.48 Eξ=2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3) =2×0.52+3×0.48 =2.48. 第83题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(全国?卷)) 题目 某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层 内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核. (?)求从甲、乙两组各抽取的人数; (?)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率; (?)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望. 答案 54 解:(?)由于甲组有10名工人,乙组有5名工人,根据分层抽样原理,若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行 技术考核,则从甲组抽取2名工人,乙组抽取1名工人. (?)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则 . (?)ξ的可能取值为0,1,2,3. A表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0,1,2. i B表示事件:从乙组抽取的是1名男工人. A与B独立,i=0,1,2. i P(ξ=0)=P(A?)=P(A)?P()=, 00 P(ξ=1)=P(A?B+A?)=P(A)?P(B)+P(A)?P() 0101 =, P(ξ=3)=P(AB)=P(A)?P(B)=, 22 P(ξ=2)=1-,P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=3),=. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 55 Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=. 第84题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(北京卷)) 题目 某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2 min. (?)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (?)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望. 答案 分析:第(?)小问考查相互独立事件同时发生的概率, 第(?)小问考查二项分布的分布列及期望. 解:(?)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为 . (?)由题意可得,ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min).事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在上学路上遇到k次红灯”(k=0,1,2,3,4)，所以 P(ξ=2k)=(k=0,1,2,3,4). 即ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 56 P 所以ξ的期望是 . 第85题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(天津卷)) 题目 在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求: (1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望; (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率. 答案 分析:本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力. 解:(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为,从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为 ,k,0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P X的数学期望. 57 (2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A,“恰好取出2件一等品”为事件A,“恰好取出3件一等品”为事件A.由于事件A,A,A彼此互123123斥,且A,A?A?A, 123 ,,, 而 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 . 第86题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(辽宁卷)) 题目 某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为,该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1?3?6,击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比. (1)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列; (2)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A). 答案 解:(1)依题意知X,B(4,), 即X的分布列为: X 0 1 2 3 4 P (2)设A表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分”,i,1,2. i B表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i,1,2. i 58 依题意知P(A),P(B),0.1,P(A),P(B),0.3, 1122 A?B?AB?AB, 111122 所求的概率为 P(A),P(A)+P(B)+P(AB)+P(AB) 111122 ,P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B) 111122 ,0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3,0.28. 12分 第87题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(浙江卷)) 题目 在1,2,3,„,9这9个自然数中,任取3个数. (1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率; (2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和2,3,此时ξ的 值是2).求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ. 答案 本题主要考查排列组合,随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括能力. (1)解:记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A, 则 . (2)解:随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列是 59 ξ 0 1 2 P 所以ξ的数学期望 . 第88题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(福建卷)) 题目 从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中,等可能地取出一个. (1)记性质r:集合中的所有元素之和为10,求所取出的非空子集满足性质r的概率; (2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望Eξ. 答案 分析:本题主要考查排列与组合、概率与统计等基础知识,考查数据处理能力,考查分类与整合、化归与转化 思想. (1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A. 基本事件总数; 事件A包含的基本事件是{1,4,5},{2,3,5},{1,2,3,4}; 事件A包含的基本事件数m,3. ?. (2)依题意,ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5. 60 又,, ,, , 故ξ的分布列为: ξ 1 2 3 4 5 P 从而. 总题数:22 题 第89题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖北卷)) 题目 一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5;另一个盒子也装有4张大小形状 ，4，5，6.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x;再从另一盒完全相同的卡片，分别标有数3 子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η,x+y，求η的分布列和数学期望. 答案 分析:本小题主要考查概率、随机变量的分布列和数学期望等基础知识,考查基本运算能力. 解:依题意,η可取5,6,7,8,9,10,11, 则有,,, 61 ,,,. ?η的分布列为 η 5 6 7 8 9 10 11 P . 第90题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖南卷)) 题目 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求ξ的分布列及数学期望. 答案 分析:由相互独立事件的概率公式可求得. 解:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A,B,C,i=1,2,3,iii由题意知A,A,A相互独立,B,B,B相互独立,C,C,C相互独立,A,B,C(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)123123123ijk 相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=. iii 62 (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3!P(ABC)=6P(A)P(B)P(C)=. 123123 (2)解法一:设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η, 由已知，η,B(3,),且ξ=3-η, 所以P(ξ=0)=P(η=3)=, P(ξ=1)=P(η=2)=, P(ξ=2)=P(η=1)=, P(ξ=3)=P(η=0)=. 故ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P ξ的数学期望. 解法二:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D,i=1,2,3. i由已知,D,D,D相互独立,且 123 63 P(D)=P(A+C)=P(A)+P(C)=. iiiii 所以ξ,B(3,),即P(ξ=k)=,k=0,1,2,3. 故ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P ξ的数学期望. 第91题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(安徽卷)) 题目 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到过疫区,B肯定是受A感染的.对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值(即数学期望). 答案 本题主要考查了离散型随机变量、分布列及均值的知识,以及列举法解决问题的方法. 解:随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 64 X的均值. 附:X的分布列的一种求法 共有如下6种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是: ? ? ? ? ? ? 在情形?和?之下,A直接感染了一个人;在情形?、?、?之下,A直接感染了两个人;在情形?之下,A直接感染了三个人. 第92题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(山东卷)) 题目 在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次:在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次.某同学在A处的命中率q为0.25,在B1处的命中率为q.该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分,2 其分布列为 ξ 0 2 3 4 5 P 0.03 P P P P 1234(1)求q的值; 2 (2)求随机变量ξ的数学期望Eξ; 65 (3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小. 分析:本题考查了离散型随机变量分布列及数学期望等基础知识,考查应用数学知识分析和解决实际问题的能力. 答案 解:(1)由题设知,“ξ,0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”,由对立事件和相互独立事件性质 2可知P(ξ,0),(1-q)(1-q),0.03, 12 解得q,0.8. 2 (2)根据题意 P,P(ξ,2) 1 1,(1-q)C(1-q)q,0.75×2×0.2×0.8 1222 ,0.24. P,P(ξ,3) 2 22,q(1-q),0.25×(1-0.8),0.01. 12 P,P(ξ,4) 3 22,(1-q)q,0.75×0.8,0.48. 12 P,P(ξ,5) 4 ,qq+q(1-q)q,0.25×0.8+0.25×0.2×0.8,0.24. 12122 因此Eξ,0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24,3.63. (3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”,则 P(C),P(ξ,4)+P(ξ,5),P+P,0.48+0.24,0.72. 34 122P(D),q+Cq(1-q)q,0.8+2×0.8×0.2×0.8,0.896. 22222 66 故P(D),P(C). 即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率. 第93题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(江西卷)) 题目 某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助;若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助;若未获得“支持”，则不予资助.令ξ表示该公司的资助总额. (1)写出ξ的分布列; (2)求数学期望Eξ. 答案 解:(1)ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30,P(ξ=0)=,P(ξ=5)=,P(ξ=10)=,P(ξ=15)=, P(ξ=20)=,P(ξ=25)=,P(ξ=30)=. (2). 第94题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(四川卷)) 题目 为振兴旅游业,四川省2009年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团 67 到四川名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡. (?)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率; (?)在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ. 答案 分析:本小题主要考查相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算,考查运用概率知识解决实际问题的能力. 解:(?)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡. 设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件A为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 1 事件A为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”. 2 P(B)=P(A)+P(A)= 12 =. 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是. (?)ξ的可能取值为0,1,2,3. , 68 , , , 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以. 第95题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(重庆卷)) 题目 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中: (?)两种大树各成活1株的概率; (?)成活的株树ξ的分布列与期望. 答案 分析:本题主要考查概率等基础知识，考查运算求解能力，应用数学知识分析和解决实际问题的能力. 69 解:设A表示甲种大树成活k株，k=0,1,2, k B表示乙种大树成活l株，l=0,1,2, l 则A，B独立，由独立重复试验中事件发生的概率公式有 kl , . 据此算得 , . (?)所求概率为 P(A?B)=P(A)?P(B)=. 1111 (?)解法一: ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且 P(ξ=0)=P(A?B)=P(A)?P(B)=， 0000P(ξ=1)=P(A?B)+P(A?B)=， 0110 70 P(ξ=2)=P(A?B)+P(A?B)+P(A?B)=， 021120 P(ξ=3)=P(A?B)+P(A?B)=， 1221 P(ξ=4)=P(A?B)=. 22 综上知ξ有分布列: ξ 0 1 2 3 4 P 从而，ξ的期望为 (株). 解法二: 分布列的求法同前. 令ξ、ξ分别表示甲、乙两种树成活的株数，则 12 ξ&B(2,),ξ&B(2,), 12 故有,, 从而知Eξ=Eξ+Eξ=(株). 12 第96题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(陕西卷)) 71 题目 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示.据统计,随机变量ξ的概率分布如下: ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 2a a (1)求a的值和ξ的数学期望; (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率. 答案 分析:第(1)问利用分布列的概率和为1求出a=0.2,第(2)问分两类讨论:?2次投诉在同一个月.?2次投诉每月一次. 解:(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1, 解得a=0.2. ?ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 ?Eξ=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7. (2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”;事件A表示“两个月内有一个月被投拆2次,另外一个月被投1 诉0次”;事件A表示“两个月内每个月均被投诉1次”. 2 则由事件的独立性得 1P(A)=CP(ξ=2)P(ξ=0)=2×0.4×0.1=0.08, 12 22P(A)=,P(ξ=1),=0.3=0.09, 2 ?P(A)=P(A)+P(A)=0.08+0.09=0.17. 12 72 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17. 第97题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(海南、宁夏卷)) 题目 某工厂有工人1 000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层抽样方法(按A类,B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数). (1)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为A类工人,乙为B类工人; (2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1: 生产能 ,100,110) ,110,120) ,120,130) ,130,140) ,140,150) 力分组 人数 4 8 x 5 3 表2: 生产能力分组 ,110,120) ,120,130) ,130,140) ,140,150) 人数 6 y 36 18 ?先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论) 图1 A类工人生产能力的频率分布直方图 73 图2 B类工人生产能力的频率分布直方图 同一组中的数?分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数(据用该组区间的中点值作代表) 答案 分析:本小题第(1)问考查分层抽样和相互独立事件同时发生的概率. 第(2)问考查频率分布直方图及期望的求解. 解:(1)甲、乙被抽到的概率均为,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立,故甲、乙两工人都被抽到的概率为. (2)?由题意知A类工人中应抽查25名,B类工人中应抽查75名. 故4+8+x+5+3,25,得x,5, 6+y+36+18,75,得y,15. 频率分布直方图如下: 74 图1 A类工人生产能力的频率分布直方图 图2 B类工人生产能力的频率分布直方图 从直方图可以判断:B类工人中个体间的差异程度更小. ?, , . A类工人生产能力的平均数,B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1. 第98题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(广东卷)) 75 题目 根据空气质量指数API(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表: 0,50 51,100 101,150 151,200 201,250 251,300 ,300 API 级别 ? ? ? ? ? ? ? 1212 中度重污状况 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 重度污染 染 对某城市一年(365天)的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间 ,0,50,,(50,100,,(100,150,,(150,200,,(200,250,,(250,300,进行分组，得到频率分布直方图如下图. (1)求直方图中x的值; (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. 7(结果用分数表示.已知5,78 7125,2,128,,365,73×5) 答案 分析:本小题主要考查频率分布直方图,考查频率与概率的关系,考查用概率知识分析实际问题的能力. 76 解:(1)由图可知50x,1-()×50,,解得 (2)365×(),219; (3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 ,则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为,一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 . 第99题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(全国?)) 题目 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物(血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病(下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验，直到能确定患病动物为止( 方案乙:先任取3只，将它们的血液混在一起化验(若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验( (?)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (?)表示依方案乙所需化验次数，求的期望( 答案 解: 77 记A、A分别表示依方案甲需化验1次、2次， 12 B、B分别表示依方案乙需化验2次、3次， 12 A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数. 依题意知A与B独立. 22 第100题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(全国?)) 题目 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金(假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立(已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为( (?)求一投保人在一年度内出险的概率; 78 (?)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元)( 答案 解: 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为， 则( (?)记表示事件:保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， ， 又， 故( (?)该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和( 支出 ， 盈利 ， 盈利的期望为 ， 由知，， 79 ( (元)( 故每位投保人应交纳的最低保费为15元( 第101题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(北京卷)) 题目 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每上岗位至少有一名志愿者. (?)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率; (?)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (?)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列. 答案 解:(?)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E，那么 A P(E)= A 即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是 (?)记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E，那么 80 P(E), 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P()=1-P(E)= (?)随机变量ξ可能取的值为1，2.事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则 P(ξ,2), 所以p(ξ,1),1-P(ξ,2),.ξ的分布列是 ξ 1 2 第102题(2008年普通高等学校夏季招生考试数P 学理工农医类(天津卷)) 题目 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均未命中的概率为 . (1)求乙投球的命中率p; (2)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 答案 本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率,离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力. 81 解:(1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B. 22P(B))=(1-p)=, 由题意得(1- 解得p=或p=(舍去),所以乙投球的命中率为. (2)由题设和(1)知P(A)= , P()=,P(B)=,P()=. 2ξ可能的取值为0,1,2,3,故P(ξ=0)=P()P(?)=×()=, P(ξ=1)=P(A)P(?)+P(B)P()P() 2=×()+2×××=, 2P(ξ=3)=P(A)P(B?B)=×()=, P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=. ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 82 ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=2. 第103题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(辽宁卷)) 题目 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示: 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 (1)根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨、3吨和4吨的频率; (2)已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元);若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求ξ的分布列和数学期望. 答案 本题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力. 解:(1)周销售量为2吨,3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3.3分 2(2)ξ的可能值为8,10,12,14,16,且P(ξ=8)=0.2=0.04, P(ξ=10)=2×0.2×0.5=0.2. 2P(ξ=12)=0.5+2×0.2×0.3=0.37, P(ξ=14)=2×0.5×0.3=0.3, 2P(ξ=16)=0.3=0.09. ξ的分布列为 ξ 8 10 12 14 16 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 Eξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4(千元). 83 第104题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(浙江卷)) 题目 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。 (?)若袋中共有10个球， (i)求白球的个数; (ii)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。 (?)求证:从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。 答案 本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力( (?)解:(i)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则 ， 得到( 故白球有5个( (ii)随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是 0 1 2 3 84 的数学期望 ( (?)证明:设袋中有个球，其中个黑球，由题意得， 所以，，故( 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则 ( 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于( 故袋中红球个数最少( 第105题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(福建卷)) 题目 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试 85 成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (?)求他不需要补考就可获得证书的概率; (?)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E. 答案 本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力. 解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A;“科目B第一次考试合格”12 为事件B，“科目B补考合格”为事件B. 12 (?)不需要补考就获得证书的事件为A?B,注意到A与B相互独立， 1111 则. 答:该考生不需要补考就获得证书的概率为. (?)由已知得，,2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 86 故 答:该考生参加考试次数的数学期望为. 第106题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖北卷)) 题目 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. (?)求ξ的分布列，期望和方差; (?)若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值. 答案 本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力. 解:(?)的分布列为: ? 2(?)由，得a×2.75,11，即又所以 87 当a=2时，由1,2×1.5+b,得b=-2; 当a=-2时，由1,-2×1.5+b，得b=4. ?或即为所求. (2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖南卷)) 第107题 题目 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求: (?)至少有1人面试合格的概率; (?)签约人数的分布列和数学期望. 答案 解 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且 P(A),P(B),P(C),. (?)至少有1人面试合格的概率是 (?)的可能取值为0，1，2，3. 88 , , = = 所以，的分布列是 0 1 2 3 P 的期望 第108题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(广东卷)) 题目 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为ξ. 89 (1)求ξ的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少? 答案 解:(1)ξ的可能取值为6,2,1,-2, P(ξ=6)==0.63, P(ξ=2)==0.25, P(ξ=1)==0.1, P(ξ=-2)==0.02, ?ξ的分布列为 ξ 6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)Eξ=0.63×6+0.25×2+0.1×1+0.02×(-2)=4.34. 答:一件产品的平均利润为4.34万元. (3)设三等品率为x,依题意,有0.7×6+0.01×(-2)+x×1+(0.29-x)×2?4.73. ?x?0.03. 答:三等品率最多为3%. 90 第109题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(安徽卷)) 题目 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望E为3，标准差为。 (?)求n,p的值，并写出的分布列; (?)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 答案 本题主要考查二项分布的分布列、数学期望以及标准差的概念和计算，考查分析问题及解决实际问题的能力。 解:由提议知，服从二项分布B(n,p),P(=k)=,k=0,1,???,n. (1)由得,从而 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 (2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得 或 91 第110题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(江西卷)) 题目 因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施;若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二， 0.5; 第二年可预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案第一年与第二年相互独立。令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数( (1)(写出的分布列; (2)(实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大, (3)(不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元.问实施哪种方案的平均利润更大, 答案 解:(1)的所有取值为 的所有取值为, 、的分布列分别为: 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 92 (2)令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件， , 可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 (3)令表示方案的预计利润，则 10 15 20 P 0.35 0.35 0.3 10 15 20 P 0.5 0.18 0.32 所以 可见，方案一的预计利润更大。 总题数:22 题 第111题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(四川卷)) 题目 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购 买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. 93 (?)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (?)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (?)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望. 答案 解: 记A表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品， B表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品， C表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， D表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种. (?) ,0.5×0.4+0.5×0.6 ,0.5. (?) 94 (?)，故的分布列为 所以 第112题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(四川卷延考)) 题目 一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类:类、类、类. 检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有类产品或2件都是类产品，就需要调整设备，否则不需要调整. 已知该生产线上生产的每件产品为类品，类品和类品的概率分别为，和，且各件产品的质量情况互不影响. (?)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率; (?)若检验员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列和数学期望. 答案 解答:(?)设表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为类品”， 表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为类品”， 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”. 95 则. 由已知， 所以，所求的概率为 . (?)由(?)知一次抽检后，设备需要调整的概率为 ，依题意知，的分布列为 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 . 第113题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(重庆卷)) 题目 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时 ,且各局胜负相互独立.求: 停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为 (1)打满3局比赛还未停止的概率; (2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ. 答案 解:令A,B,C分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜. kkk 96 (1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满3局比赛还未停止的概率为 P(ACB)+P(BCA)=+=. 123123 (2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6,且 P(ξ=2)=P(AA)+P(BB)=+=, 1212 P(ξ=3)=P(ACC)+P(BCC)=+=, 123123 P(ξ=4)=P(ACBB)+P(BCAA)=+=, 12341234 P(ξ=5)=P(ACBAA)+P(BCABB)=+=, 1234512345 P(ξ=6)=P(ACBAC)+P(BCABC)=+=, 1234512345 故有分布列 ξ 2 3 4 5 6 P 从而Eξ=2×+3×+4×+5×+6×=(局). 第114题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(山东卷)) 题目 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 97 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分. (?)求随机变量分布列和数学期 望; 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这(?)用AB 一事件，求(). PAB 答案 (?)解法一:由题意知，的可能取值为0，1，2，3,且 所以的分布列为 0 1 2 3 P 的数学期望为 E=解法二:根据题设可知 因此的分布列为 98 (?)解法一:用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C?D,且C、D互斥，又 由互斥事件的概率公式得 解法二:用A表示“甲队得k分”这一事件，用B表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件kk AB,AB为互斥事件，故有 3021 P(AB)=P(AB?AB)=P(AB)+P(AB). 30213021 由题设可知，事件A与B独立，事件A与B独立，因此 3021 P(AB)= P(AB)+P(AB)= P(A)P( B)+P(A)P(B) 30213021 第115题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(海南、宁夏卷)) 99 题目 A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X和X。根据市场分析，X和X的分布列分别为 1212 X 5% 10% X 2% 8% 12% 12 P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3 (1)在A、B两个项目上各投资100万元，Y和Y分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY、DY;1212(2)将x(0?x?100)万元投资A项目，100,x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。 (注: 2D(aX + b) = aDX) 答案 解: (?)由题设可知和的分布列分别为 ， ， ， ( 100 (?) ， 当时，为最小值( 第116题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(全国?)) 题目 18.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元;分2期或3期付款，其利润为250元;分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润。 (?)求事件A:“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率; (?)求的分布列及期望。 答案 解: 101 (1) 由A表示事件，“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款” 知表示事件:“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款” 的可能取值为200元，250元，300元 (2) 的分布列为: 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 (元). 第117题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(全国?)) 题目 18. 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)=0.96 (1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p; (2)若该批产品共有100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列 答案 解:(1)记表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”. 则互斥，且，故 102 于是. 解得(舍去). (2)的可能取值为. 若该批产品共100件，由(1)知其二等品有件，故 . . . 所以的分布列为 0 1 2 第118题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(北京卷)) 题目 (18)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100 名学生，他们参加活动的次数统计如图所示. 103 (?)求合唱团学生参加活动的人均次数; (?)从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率; (?)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ. 答案 解:由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40. (?)该合唱团学生参加活动的人均次数为=2.3. (?)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为 P=. 0 (?)从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C.易知 P(ξ=1)=P(A)+P(B)=; P(ξ=2)=P(C)= 104 又P(ξ=0)=P=. 0 ξ的分布列: 0 1 2 ξ P ξ的数学期望:Eξ=0×+1×+2×=. 第119题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(天津卷)) 题目 18.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球. (?)求取出的4个球均为黑球的概率; (?)求取出的4个球中恰有1个红球的概率; (?)设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望. 答案 (?)本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 解:设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件.由于事件相互独立，且，. 故取出的4个球均为黑球的概率为. (?)解:设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件.由于事件互斥， 105 且，. 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为. 可能的取值为.由(?)，(?)得，， (?)解: .从而. 的分布列为 0 1 2 3 的数学期望. 第120题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(辽宁卷)) 题目 19.某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示: 市场情形 概率 价格与产量的函数关系式 好 0.4 中 0.4 差 0.2 设分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量表示当产量为而市场前景无法确定时的利润. 106 (I)分别求利润与产量的函数关系式; (II)当产量确定时，求期望E; (III)试问产量取何值时，E取得最大值. 答案 (I)解:由题意可得 =(164-3)?- Lqq1 = 同理可得L=-+81q-10(q,0). 2 =-+50Lq-10(q,0). 3 (II)解:由期望定义可知 E=0.4L+0.4L+0.2L 1 23 =0.4×(-+144q-10)+0.4×(-+81q-10)+0.2×(-+50q-10) =-+100q-10. (III)解:由(II)可知E是产量q的函数,设 f(q)= E=-+100q-10(q,0), 得 q=10,q=-10(舍去). 由题意及问题的实际意义(或当0,q,10时(q),0;当q,10时，(q),0,可知，当q=10时,f(q)取 得最大值，即E最大值时的产量q为10. 107 第121题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖北卷)) 题目 17.在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表: (?)在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图; (?)估计纤度落在中的概率及纤度小于1.40的概率是多少; (?)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值是1.32)作为代表. 据此，估计纤度的期望. 分 组 频 数 4 25 30 29 10 2 合 计 100 答案 本小题主要考查频率分布直方图，频率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概 率统计知识解决实际问题的能力。 解:(?) 分组 频数 频率 [1,30,1,34) 4 0.04 [1,34,1,38) 25 0.25 [1,38,1,42) 30 0.30 [1,42,1,46) 29 0.29 [1,46,1,50) 10 0.10 [1,50,1,54) 2 0.02 108 合计 100 1.00 (?)纤度落在,1,38,1,50)中的概率约为0.30+0.29+0.10=0.69,纤度小于1.40的概率约为0.04+0.25+×0.30,0.44. (?)总体数据的期望约为 1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02=1.4088. 第122题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖南卷)) 题目 17.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (I)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率; (II)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 答案 解:任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，. 109 (I)解法一:任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是. 解法二:任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 该人参加过两项培训的概率是. 所以该人参加过培训的概率是. (II)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布， ，，即的分布列是 0 1 2 3 0.001 0.027 0. 243 0.729 的期望是. (或的期望是). 第123题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(广东卷新课标)) 题目 17.下表提供了某厂节油降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=; 110 (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生 产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤, (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5,66.5) 答案 解: (1)如答图 (2)=32.5+43+54+64.5=66.5 ==4.5 ==3.5 =+++=86 所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为 . 故线性回归方程为y=0.7x+0.35 111 (3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨). 第124题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(安徽卷)) 题目 20.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数. (?)写出ξ的分布列(不要求写出计算过程); (?)求数学期望Eξ; (?)求概率(ξ?ξ). PE 答案 本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力。 解:(?)ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (?)数学期望为. (?)所求的概率为 . 第125题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(江西卷)) 题目 112 19.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望. 答案 解:分别甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A、A、A、. 123 (1)设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 =0.5×0.4×0.6，0.5×0.6×0.6，0.5×0.4×0.4=0.38. (2)解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为P=0.3, 所以, 故， 解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，则 P(A)=P(B)=P(C)=0.3, 所以，， ，. 于是，. 第126题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(四川卷)) 题目 113 (18)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. (?)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率; (?)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率. 答案 本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机变量的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。 解:(?)记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A来算，有 (?)可能的取值为 ，， 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率 所以商家拒收这批产品的概率为 114 第127题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(重庆卷)) 题目 18.某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次).设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为、、，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中: (?)获赔的概率; (?)获赔金额ξ的分布列与期望. 答案 解:设A表示第k辆车在一年内发生此种事故,k=1,2,3,由题意知A,A,A独立,且 k123 P(A)=,P(A)=,P(A)= . 121 (?)该单位一年内获赔的概率为 1-P()=1-P()P()P()=1-. (?)ξ的所有可能值为0,9000,18000,27000. P(ξ=0)=P()=P()P()P()=, P(ξ=9000)= P()+P(P()+P() =P(A)P()P()+P()P(A)P()+P()P()P(A) 123 = =, 115 P(ξ=18000)=P(AA)+ P(AA)+P(AA) 121323=P(A)P(A)P()+P(A)P()P(A)+P()P(A)P(A) 121323= =, P=(ξ=27000)=P(AAA)=P(A)P(A)P(A) 123123 =. 综上知, ξ的分布列为 ξ 0 9000 18000 27000 P 求ξ的期望有两种解法: 解法一:由ξ的分布列得 Eξ=0×+9000×+18000×+27000× =?2718.18(元). 解法二:设ξ表示第k辆车一年内获赔金额,k=1,2,3, k 则ξ有分布列 1 ξ 0 9000 1 P 故Eξ=9000×=1000. 1 116 同理得Eξ=9000×=900,Eξ=9000×?818.18. 23 综上有 Eξ=Eξ+Eξ+Eξ=1000+900+818.18=2718.18(元). 123 第128题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(山东卷新课标)) 题目 2(18)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x+bx+c=0实根的个数(重根按一个计). 2(?)求方程x+bx+c=0有实根的概率; (?)求ξ的分布列和数学期望; 2(?)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x+bx+c=0有实根的概率. 答案 22解:(?)由题意知:设基本事件空间为Ω，记“方程x+bx+c=0没有实根”为事件A，“方程x+bx+c=0有 2且仅有一个实根”为事件B，“方程x+bx+c=0有两个相异实根”为事件C，则Ω={(b，c)|b，c=1，2，„，6}， 2A={(b，c)|b-4c,0，b，c=1，2，„，6}， 2B={(b，c)|b-4c=0，b，c=1，2，„，6}， 2C={(b，c)|b-4c,0，b，c=1，2，„，6}， 所以Ω中的基本事件总数为36个，A中的基本事件总数为17个，B中的基本事件总数为2个，C中的基本事件总数为17个， 又因为B、C是互斥事件， 故所求概率P=P(B)+B(C)=. 117 (?)由题意，ξ的可能取值为0，1，2，则 P(ξ=0)=， P(ξ=1)=， ， P(ξ=2)= 故ξ的分布列为: ξ 0 1 2 P 所以ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×=1. 2(?)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D，“方程x+bx+c=0有实根”为事件E， 由上面分析得 P(D)=，P(D?E)=， ?P(E|D)=. 第129题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(陕西卷)) 题目 18.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响. (?)求该选手被淘汰的概率; (?)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望. 答案 118 解法一: (?)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事情为(=1,2,3)，则()=,()=,AiPAPA i12(A)=,?该选手被淘汰的概率 3P =(++) PPAAA112 =P()+P(A)P()+P(A)P(A)P()= 112 (?)ξ的可能值为1,2,3. P(ξ=1)=P()=, P(ξ=2)=P(A)=P(A)P()= 11 P(ξ=3)=P(AA)=P(A)P(A)= 1212 ?ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P ?Eξ=1×+2×+3×= 解法二: (?)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A(i=1,2,3),则P(A)=, P(A)=, P(A)=. i123?该选手被淘汰的概率P=1-P()=1-P()P()P()=1- (?)同解法一. 第130题(2007年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(海南、宁夏卷新课标)) 题目 119 20.如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积:在正方形 中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形 的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目. (I)求的均值; (II)求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率. 附表: 答案 解:每个点落入中的概率均为. 依题意知. (?). (?)依题意所求概率为， 120 . (2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷?(新课程)) 第131题 题目 (18)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。 (?)求一个试验组为甲类组的概率。 (?)观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。 答案 解:(?)设A表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，I=0，1，2，B表示事件“一个试11验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，I=0，1，2， 依题意有 所求的概率为 121 (?)的可能值为且 ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 数学期望. 第132题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷?(新课程)) 题目 (18)某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。 122 (I)用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望; (II)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率。 答案 解: (?)可能的取值为0，1，2，3。 ， 的分布列为 0 1 2 3 P 123 数学期望为E=1.2. (?)所求的概率为 总题数:22 题 第133题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)北京卷(新课程)) 题目 (18)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案( 方案一:考试三门课程，至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过( 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影 响( (?)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (?)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小((说明理由) 答案 解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C， 则P(A)=a，P(B)=b，P(C)=c. (?)应聘者用方案一考试通过的概率 124 p=P(A?B?)+P(?B?C)+P(A??C)+P(A?B?C) 1 =ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)+abc =ab+bc+ca-2abc; 应聘者用方案二考试通过的概率 p= 2 =(ab+bc+ca). (?)因为a，b，c?,0，1,,所以 p-p= 12 =,ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b),?0, 故P?P， 12 即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大. 第134题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程)) 题目 (18)某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响( 125 (?)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答); (?)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答); (?)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列( 答案 本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，及分析和解决实际问题的能力( (?)解:记“射手射击1次，击中目标”为事件A，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率 P=P(A?A?)+P(?A?A)+P(A?A?A) 1 =. (?)解:射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率 2P=×()×. 2 (?)解:由题设，“ξ=k”的概率为 2k-3P(ξ=k)=×()×()× 126 k-33* =×()×()(k?N且k?3). 所以，ξ的分布列为: ξ 3 4 … k … P … … k-33()() 第135题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)辽宁卷(新课程)) 题目 (19)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中,价格下降的概率都是 ,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润. (I) 求、的概率分布和数学期望、; (II) 当时,求的取值范围. 答案 本小题主要考查二项分布、分布列、数学期望等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力. (?)解法一:ξ的概率分布为 1 ξ 1.2 1.18 1.17 1 127 P Eξ=1.2×=1.18. 1 由题设得ξ-B(2，p)，即ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 22(1-p) 2p(1-p) P p 故ξ的概率分而为 2 ξ 1.3 1.25 0.2 2 22(1-p) 2p(1-p) P p 所以ξ的数学期望为 2 22Eξ=1.3×(1-p)+1.25×2p(1-p)+0.2×p 2 222 =1.3×(1-2p+p)+2.5×(p-p)+0.2×p 2 =-p-0.1p+1.3. 解法二:ξ的概率分布为 1 ξ 1.2 1.18 1.17 1 P 128 Eξ=1.2× =1.18. 1 设A表示事件“第1次调整，价格下降”(i=1，2)，则 i 2P(ξ=0)=P()P()=(1-p)， 12 P(ξ=1)=P(A)P()+P()P(A) 2112 1-p) =2p( 2P(ξ=2)=P(A)P(A)=p. 12 故ξ的概率分布为 2 1(3 1(25 0(2 ξ 2 22(1-p) 2p(1-p) P p 所以ξ的数学期望为 2 22Eξ=1.3×(1-p)+1.25×2p(1-p)+0.2×p 2 222 =1.3×(1-2p+p)+2.5×(p-p)+0.2×P 2 = -p-0.1p+1.3. (?)解:由Eξ,Eξ，得 12 129 2-p-0.1p+1.3,1.18. 整理得 (p+0.4)(p-0.3),0, 解得 -0.4,p,0.3. 因为0,p,1,所以，当Eξ,Eξ时，p的取值范围是 12 0,p,0.3. 第136题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)浙江卷(新课程)) 题目 (18)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球;乙袋装有2个红球，n个白 球，现从甲、乙两袋中各任取2个球。 (?)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率; (?)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n. 答案 本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。 解:(?)记“取到的4个球全是红球”为事件A。 P(A)=。 (?)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B，“取1到的4个球全是白球”为事件B。 2 由题意，得 130 P(B)=。 P(B)= 1 =; P( =; 所以 P(B)= = =， 化简，得 2 7n ， 解得 n=2，或(舍去)， 故 n=2. 第137题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程)) 131 题目 19(在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70，100)。已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名。 (?)试问此次参赛的学生总数约为多少人, (?)若该校 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分, 可供查阅的(部分)标准正态分布表(x)=P(x,x) 00 答案 19(本小题主要考查正态分布、对立事件的概念和标准正态分布表的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。 解:(?)设参赛学生的分数为,因为(70，100)，由条件知，P()=1-P()=1-F(90)=1- 这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%。 因此，参赛的人数约为 (?)假定设奖的分数线为X分，则 P( 132 即查表得解得x=83.1. 故设奖的分数线约为83分。 第138题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖南卷(新课程)) 题目 17(某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)(若安检不合格，则必须整改(若整改后经复查仍不合格，则强制关闭(设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01): (?)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (?)平均有多少家煤矿必须整改; (?)至少关闭一家煤矿的概率( 答案 17(解 (?)每家煤矿必须整改的概率是1-0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的(所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 23 P=C×(1-0.5)×0.5==0.31( 1 (?)由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B(5，0.5)，从而ξ的数学期望是Eξ=5×0.5=2.5(即平均有2.50家煤矿必须整改( (?)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9(由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立2 5的，故至少关一家煤矿的概率是P=1-0.9=0.41( 3 第139题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)安徽卷(新课程)) 题目 133 (18)在添加剂的搭配适用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现在芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据实验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配实验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。 (?)写出的分布列:(以列表的形式给出结论，不必写计算过程) (?)求的数学期望E。(要求写出计算过程或说明道理) 答案 本小题主要考查等可能性场合下的概率计算、离散型随机变量分布列、数学期望的概念与计算，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. 解:(?)的分布列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (?)由的定义得 第140题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)江西卷(新课程)) 题目 18(某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元;摸出两个红球可获得奖金50元(现有甲、乙两位顾客，规定:甲摸一次，乙摸两次(令ξ表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额(求 (1)ξ的分布列; (2)ξ的数学期望( 答案 134 解: (1)ξ的所有可能的取值为0，10，20，50，60. )=; P(ξ=0 P(ξ=10)=; P(ξ=20)=; P(ξ=50)=; P(ξ=60)=; (2)Eξ=0×=3.3(元) 第141题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)四川卷(新课程)) 题目 (18)某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为;在实验考核中合格的概率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响 (?)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; (?)求这三人该课程考核都合格的概率。(结果保留三位小数) 答案 135 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力。 解:记“甲理论考核合格”为事件;“乙理论考核合格”为事件;“丙理论考核合格”为事件;记事件为事件的对立事件，; 记“甲实验考核合格”为事件;“乙实验考核合格”为事件;“丙实验考核合格”为事件; (?)记“理论考核中至少有两人合格”为事件，记为事件的对立事件 解法1: 解法2: 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 (?)记“三人该课程考核都合格” 为事件 136 ,0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9 所以，这三人该课程考核都合格的概率为 第142题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)重庆卷(新课程)) 题目 (18) 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠。若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这5位乘客在20层下电梯的人数，求: (?)随即变量的分布列; (?)随即变量的期望; 答案 )的所有可能值为,，,，,，,，,，,( 解法一:(I 由等可能性事件的概率公式得 ， ( 137 ，( ，( 从而，的分布列为 , , , , , , (?)由(?)得的期望为 . 解法二:(?)考察一位乘客是否在第,,层电梯为一次试验，这是,次独立重复试验，故， 即有 由此计算的分布列如解法一， (?) 解法三:(?)同解法一或解法二 138 (?)由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等，即,从而 第143题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)山东卷(新课程)) 题目 20. 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个(从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求: (?)取出的3个小球上的数字互不相同的概率; (?)随机变量ξ的概率分布和数学期望; (?)计分介于20分到40分之间的概率( 答案 解:(?)解法一:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A， 则P(A)= 解法二:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为 P(B), 139 所以P(A),1-P(B),1-,. (?)由题意，ξ有可能的取值为:2，3，4，5( P(ξ=2)=; P(ξ=3)=; P(ξ=4)=; P(ξ=5)=. 所以随机变量ξ的概率分布为 ξ 2 3 4 5 P 因此ξ的数学期望为 Eξ,2×+3×+4×+5×=. (?)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则 P(C),P(“ξ=3”或“ξ=4”)=P(“ξ=3”)+P(“ξ=4”)= 第144题(2006年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)陕西卷(新课程)) 题目 140 (,,)甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是 (I)现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率; (II)用表示投篮3次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望 答案 解:(?)记“甲投篮1次投进”为事件A，“乙投篮1次投进”为事件A，“丙投篮1次投进”为事件12A，“3人都没有投进”为事件A. 则 P(A)=,P(A)=,P(A)=. 3123 ? P(A)=P()=P()?P()?P() =,1,P(A),?,1,P(A),?,1,P(A), 123 =(1,)(1,)(1,)=， ?3人都没有投进的概率为. (?)解法一: 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3。 则ξ,B(3，)， k3,k P(ξ=k)=C()()(k=0，1，2，3)，Eξ=np=3×=. 3 解法二: ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 141 Eξ=0×+1×+2×+3×=. 第145题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷?(新课程)) 题目 (20)9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望。(精确到) 答案 3(20)解:因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1,0.5)=，所以单个坑不需要补种的概率为 1,=. 3个坑都不需要补种的概率为 C 恰有1个坟需要补种的概率为 C 恰有2个坑需要补种的概率为 C 3个坑都需要补种的概率为 142 C 补种费用ξ的分布列为 ξ的数学期望为 0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75. Eξ=0× 第146题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷?(新课程)) 题目 (19)甲、乙两队进行一场排球比赛、根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响。令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望。(精确0.0001) 答案 19.解:单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1,0.6=0.4. 比赛3局结束有两种情况:甲队胜3局或乙队胜3局，因而 33P(ξ=3)=0.6+0.4=0.28. 比赛4局结束有两种情况:前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜;或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜，因而 2222P(ξ=4)=C×0.6×0.4×0.6+C×0.4×0.6×0.4=0.3744. 33 比赛5局结束有两种情况:前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第五局甲胜或乙胜.因而 222222P(ξ=5)=C×0.6×0.4×0.6+C×0.6×0.4×0.4=0.3456. 44 所以ξ的概率分布为 ξ 3 4 5 P 0.28 0.3744 0.3456 143 ξ的期望 Eξ=3×P(ξ=3)+4×P(ξ=4)+5×(ξ=5) =3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=4.0656. 第147题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷?(新课程)) 题目 17、设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125. (?)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少; (?)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率. 答案 17(解:记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照”为事件C，由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A、B、C是相互独立事件。 (?)由已知得 解得:，， 所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5 (?)记的对立事件为，的对立事件为，的对立事件为， 则:，， 144 于是 所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7 (2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)北京卷(新课程)) 第148题 题目 (17)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率， (I)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ; (II)求乙至多击中目标2次的概率; (III)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率( 答案 (17)解:(I)P(ξ,0),，P(ξ,1),， P(ξ,2),， P(ξ,3),， ξ的概率分布如下表: ξ 0 1 2 3 P Eξ,, (或Eξ=3?=1.5); 145 (II)乙至多击中目标2次的概率为1,=; (III)设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B，甲恰击中1目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B，则A,B，B，B、B为互斥事件( 21212 所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为. 第149题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)浙江卷(新课程)) 题目 19(袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p( (?) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止((i)求恰好摸5次停止的概率;(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E( (?) 若A、B两个袋子中的球数之比为1:2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值( 答案 2219.解:(?)()C×()×()×= i (ii) 随机变量ξ的取值为0，1，2，3. 146 n,k由n次独立重复试验概率公式P (k)=CP(1,P)，得 nk 50)=×(1,)=， P(ξ, 4P(ξ,1)=××(1,)= 23P(ξ,2)=×()×(1,)=， P(ξ,3)=1,= 随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P ξ的数学期望是 Eξ=×0+×1+×2+×3= (?)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球， , 由 得 P=. 第150题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程)) 147 题目 ，投中得1分，投不中得0分. 18(甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 (?)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望; (?)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率; 答案 18(解:(?)依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则 甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为: ξ 0 1 2 P Eξ=0×+1×+2×= 答:每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为. (?)?事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 ?甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 148 答:甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为 第151题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程)) 题目 19(某地最近出台一项机动车驾照考试规定;每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率. 答案 19(解:的取值分别为1，2，3，4. ，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P()=0.6. ，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故 ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故 ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故 ?李明实际参加考试次数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 149 ?ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. 李明在一年内领到驾照的概率为 1,(1,0.6)(1,0.7)(1-0.8)(1,0.9)=0.9976. 第152题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖南卷(新课程)) 题目 18、某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没游览的景点数之差的绝对值。 (?)求ξ的分布列及数学期望; 2(?)记“函数f(x),x,3ξx，1在区间[2，，?)上单调递增”为事件A，求事件A的概率。 答案 18(解:(I)分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件A，A，A. 由已知A，A，A相互独立，P(A)=0.4，P(A)=0.5， 12312312 P(A)=0.6. 3 ，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2， 客人游览的景点数的可能取值为0 1，0，所以的可能取值为1，3. P(=3)=P(A?A?A)+ P() 123 = P(A)P(A)P(A)+P 123 =2×0.4×0.5×0.6=0.24， =1)=1,0.24=0.76. P( 所以的分布列为 150 E=1×0.76+3×0.24=1.48. (?)解法一 因为 所以函数上单调递增， 要使上单调递增，当且仅当 从而 解法二 的可能取值为1,3 2当,1时，函数f(x)=x-3x+1在区间[2，+?)上单调递增， 2当=3时，函数f(x)=x-9x+1在区让[2，+?)上不单调递增。 所以P(A)=P(=1)=0.76 第153题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)江西卷(新课程)) 题目 151 19(A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数. 的取值范围; (1)求 (2)求的数学期望E. 答案 19(解:(1)设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得: (2) 第154题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)重庆卷(新课程)) 题目 18(在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品;有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求: (?)该顾客中奖的概率; (?)该顾客获得的奖品总价值(元)的概率分布列和期望. 152 答案 18( 解法一: (?)，即该顾客中奖的概率为. (?)的所有可能值为:0，10，20，50，60(元). 0 10 20 50 60 P 故有分布列: 从而期望 解法二: 153 (?) (?)的分布列求法同解法一 由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值=2×8=16(元). 总题数:15 题 第155题(2005年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)山东卷(新课程)) 题目 (18)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取„„取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数. (I)求袋中所有的白球的个数; (II)求随机变量的概率分布; (III)求甲取到白球的概率. 答案 18.解:(I)设袋中原有个白球,由题意知 所以n(n-1)=6，解得(舍去)即袋中原有3个白球. 154 (II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5 所以，取球次数的分布列为: 1 2 3 4 5 (III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记“甲取到白球”为事件, 则 P(A)=P(“=1”，或“=3”，或“=5”). 因为事件“=1”、“=3”、“=5”两两互斥，所以 第156题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷?(新课程)) 题目 155 18.一接待中心有A、B、C、D四部热线电话.已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 答案 18.本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力. 22解:P(ξ=0)=0.5×0.6=0.09, 222P(ξ=1)=C×0.5×0.6+C×0.5×0.4×0.6=0.3, 22222P(ξ=2)=C×0.5×0.6+CC×0.5×0.4×0.6+C×0.5×0.4=0.37, 222P(ξ=3)=CC×0.5×0.4×0.6+CC×0.5×0.4=0.2, 22P(ξ=4)=0.5×0.4=0.04, 于是得到随机变量ξ的概率分布列为: ξ 0 1 2 3 4 P 0.09 0.3 0.37 0.2 0.04 所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8. 第157题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷?(新课程)) 题目 18.已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.求 (?)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率; (?)A组中至少有两支弱队的概率. 答案 156 18.本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力. (?)解法一:三支弱队在同一组的概率为. 故有一组恰有两支弱队的概率为1,=. 解法二:有一组恰有两支弱队的概率. (?)解法一:A组中至少有两支弱队的概率. 解法二:A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为. 第158题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷?(新课程)) 题目 19.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题.竞赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得,100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响. (?)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望; (?)求这名同学总得分不为负分(即ξ?0)的概率. 答案 19.本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解决实际问题的能力. 解:(?)ξ的可能取值为,300,,100,100,300. 3P(ξ=,300)=0.2=0.008, 157 2P(ξ=,100)=3×0.2×0.8=0.096, 2P(ξ=100)=3×0.2×0.8=0.384, 3P(ξ=300)=0.8=0.512. 所以ξ的概率分布为 ,300 ,100 ξ 100 300 0.008 0.096 0.384 0.512 P 根据ξ的概率分布,可得ξ的期望 Eξ=(,300)×0.008+(,100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180. (?)这名同学总得分不为负分的概率为 P(ξ?0)=0.384+0.512=0.896. 第159题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程)) 题目 18.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数. (?)求ξ的分布列; (?)求ξ的数学期望; (?)求“所选3人中女生人数ξ?1”的概率. 答案 18.本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力. (?)解:ξ可能取的值为0，1，2. P(ξ=k)=, k=0,1,2. 158 所以，ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P (?)解:由(?)，ξ的数学期望为 Eξ=0×+1×+2×=1. (?)解:由(?)，“所选3人中女生人数ξ?1”的概率为 (ξ?1)=(ξ=0)+(ξ=1) PPP =. 第160题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)浙江卷(新课程)) 题目 18.盒子中有大小相同的球10个,其中标号为1的球3个,标号为2的球4个,标号为5的球3个.第一次从盒子中任取1个球,放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同).记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ. (?)求随机变量ξ的分布列; (?)求随机变量ξ的期望Eξ. 答案 18.本题主要考查相互独立事件及随机变量的分布列、数学期望等数学概念,同时考查学生的逻辑思维能力. 解:(?)由题意可得,随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10. 随机变量ξ的分布列如下 ξ 2 3 4 6 7 10 P 0.09 0.24 0.16 0.18 0.24 0.09 159 (?)随机变量ξ的数学期望 Eξ=2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09 =5.2. 第161题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程)) 题目 (18)甲、乙两人参加一次 英语 关于好奇心的名言警句英语高中英语词汇下载高中英语词汇 下载英语衡水体下载小学英语关于形容词和副词的题 口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的 8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格. (?)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望; (?)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 答案 (18)本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力. 解:(?)依题意,甲答对试题数ξ的概率分布如下: ξ 0 1 2 3 P 甲答对试题数ξ的数学期望 Eξ=0×+1×+2×+3×=. 、,则 (?)设甲、乙两人考试合格的事件分别为AB P(A)===, P(B)===. 160 因为事件A、B相互独立, 方法一: ?甲、乙两人考试均不合格的概率为 P(?)=P()P()=(1,)(1,)=. ?甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1,P(?)=1,=. 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为. 方法二: ?甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=P(A?)+P(?B)+P(A?B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B) =×+×+×=. 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为. 第162题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程)) 题目 (21)某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3,一旦发生,将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元,采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用,请确定预防方案使总费用最少. (总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值) 答案 161 (21)本小题考查概率的基本知识和数学期望等概念及应用概率知识解决实际问题的能力. 解: ?不采取预防措施时,总费用即损失期望值为400×0.3=120(万元); ?若单独采取预防措施甲,则预防措施费用为45万元,发生突发事件的概率为1,0.9=0.1,损失期望值为 400×0.1=40(万元),所以总费用为45+40=85(万元); ?若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为30万元,发生突发事件的概率为1,0.85=0.15,损失期望值为400×0.15=60(万元).所以总费用为30+60=90(万元). 则预防措施费用为45+30=75(万元),发生突发事件的概率为 ?若联合采取甲、乙两种预防措施, (1,0.9)(1,0.85)=0.015,损失期望值为400×0.015=6(万元),所以总费用为75+6=81(万元). 综合?、?、?、?,比较其总费用可知,应选择联合采取甲、乙两种预防措施,可使总费用最少. 第163题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖南卷(新课程)) 题目 18.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为. (?)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率; (?)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 答案 18. 解(?)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件， 162 由题设条件有 即 2由?、?得P(B)=1,P(C),代入?得27,P(C),,51P(C)+22=0. 解得P(C)=或(舍去). 将P(C)=分别代入?、?可得P(A)=，P(B)=, 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是,,. (?)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件， 则P(D)=1,P()=1,(1,P(A))(1,P(B))(1,P(C)) =1,??=. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为. 第164题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)重庆卷(新课程)) 题目 (18)设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为，遇到红灯(禁止通行)的概率为.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求 (?)ξ的概率分布及期望Eξ; (?)停车时最多已通过3个路口的概率. 163 答案 (18) 解:(?)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4. 用A表示“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)”，则 k P(A)=(k=1,2,3,4),且A，A，A，A独立. k1234 故P(ξ=0)=P()=, P(ξ=1)=P(A?)=×=, 1 2P(ξ=2)=P(A?A?)=()=, 12 3(ξ=3)=(???)=()=， PPAAA123 4P(ξ=4)=P(A?A?A?A)=()=. 1234 从而ξ有序而列: ξ 0 1 2 3 4 P Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=. (?)P(ξ?3)=1,P(ξ=4)=1,=. 答: 停车时最多已通过3个路口的概率为. 第165题(2004年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)安徽卷(新课程)) 题目 164 21.已知盒中有10个灯泡,其中8个正品,2个次品.需要从中取出2个正品,每次取出1个,取出后不放回, 直到取出2个正品为止.设ξ为取出的次数,求ξ的分布列及Eξ. 答案 21.本小题考查离散随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识 解决实际问题的能力. 解: (ξ,2),×,; P (ξ,3),××，××,; P P(ξ,4),1,,,. 所取次数ξ的分布列如下: ξ 2 3 4 P 所以,Eξ,2×P(ξ,2)，3×P(ξ,3)+4×P(ξ,4),. 第166题(2003年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷(新课程)) 题目 20.A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A，A，A，B队队员 123是B，B，B，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下: 123 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A对B 11 A对B 22 165 A对B 33 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η. (?)求ξ、η的概率分布; (?)求Eξ，Eη. 答案 20. (?)ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0. P(ξ=3)=××=， P(ξ=2)=××+××+××=， P(ξ=1)=××+××+××=， P(ξ=0)=××=; 根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=， P(η=1)=P(ξ=2)=， (η=2)=(ξ=1)=， PP P(η=3)=P(ξ=0)=. (?)Eξ=3×+2×+1×+0×=; 166 因为ξ+η=3，所以Eη=3,Eξ=. 第167题(2002年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津、山西、江西卷(新课程)) 题目 (19)某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立). (?)求至少3人同时上网的概率; (?)至少几人同时上网的概率小于0.3, 答案 (19)本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 解: (?)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即 6661,C(0.5),C(0.5),C(0.5) ,1,. (?)至少4人同时上网的概率为 666C(0.5)，C(0.5)，C(0.5),,0.3. 6至少5人同时上网的概率为(C，C)(0.5),,0.3. 167 因此，至少5人同时上网的概率小于0.3. 第168题(2001年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程)) 题目 18.如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N、N，当元件A、B、C都正常工作时，系统N正 121常工作;当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N正常工作.已知元件A、B、C正常2 工作的概率依次为0.80、0.90、0.90.分别求系统N、N正常工作的概率、. PP1212 答案 18.本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 解:分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C.由已知条件 P(A),0.80，P(B)=0.90，P(C)=0.90. (?)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N正常工作的概率 1 P,P(A?B?C) 1 ,P(A)?P(B)?P(C) ,0.80×0.90×0.90,0.648. 故系统N正常工作的概率为0.648. 1 (?)系统N正常工作的概率 2 168 P,P(A)?[1,P(?)]=P(A) ?[1,P()?P()]. 2 ?P()=1,P(B)=1,0.90=0.10. P()=1,P(C)=1,0.90=0.10. ?P,0.80×[1,0.10×0.10]=0.80×0.99=0.792. 2 故系统N正常工作的概率为0.792. 2 第169题(2000年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津、江西卷(新课程)) 题目 17.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人依次各抽一题. (?)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少, (?)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少, 答案 17.本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力. 解: (?)甲从选择题中抽到一题的可能结果有C个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有C个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有CC个;又甲、乙依次抽一题的可能结果有CC个，所以甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为,，所求概率; (?)甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率 169 为1,,，所求概率为.或，，,，，,，所求概率 为. 170