数学建模之汽车租凭

汽车租赁案例 摘  要 一个小型的汽车租赁公司只提供一种类型的汽车，并提供以下四个租借点：A,B,C,D.本文根据调查该公司租凭汽车的各项数据，从公司的营运成本、营运收益，租凭后顾客对汽车大致损坏率和各租借点的转移费以及相应的价格与优惠政策等方面对公司设计一个“稳态”的汽车租凭 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 。运用题中给出的相关数据和条件，可运用线性规划来建立模型。 经过分析，我们可以根据公司的最大盈利与成本和收益之间的关系建立目标函数，利用题中提供的各类数据提取信息建立约束条件，建立线性规划模型，然后利用lingo和matlab软件对其进行求解。得出结果为：当公司拥有453辆汽车可使每周的利润最大化，最大利润为108255.1英镑。 每周各借租点的车辆安排如下：   A B C D 星期一 70 178 311 68 星期二 57 136 205 55 星期三 61 142 257 71 星期四 60 167 165 70 星期五 137 144 195 83 星期六 71 188 159 151           对于问题三，可利用题中估计的A、B、C、D四个租借点的需求量与问题二各租借点求得的车辆数相比较，利用spss软件中因子分析法，得到一个数值，数值越高者，说明其不满意度越大。不满意得分最大的那个租借点最值得被选定，得出结果为D点。 评价模型与数据间的关系的健壮性，可以理解为模型的稳定性及对参数的敏感性，。人为对数据进行扰动，改动量取为原数据的1%、3%、5%，然后用模型求解结果，在计算变量Dif，从变量Dif中可以看出模型与数据间的关系的健壮性较好。 利用控制利用控制变量法来求公司的最优方案，即控制c，e方案不实施，只分析计算a方案对公司的盈利情况和满意度情况，以确定是否实施a方案，如果a方案好，在考虑b方案，以此类推，控制其他方案，只对一个方案进行分析，，盈利的方案采取，不盈利的方案放弃。得出结果：只选择c方案时，即选择在C租借点扩大其维修能力，公司制定的方案可以取得最大的利润，且满意度提高最大。 【关键词】线性规划    利润最大化   lingo软件    因子分析法    变量Dif 控制变量法 Ⅰ 问题重述 现在有一个汽车租凭公司提供一种类型的汽车，并且有四个租借点：A、B、C、D，每天顾客可以从各个租借点租借汽车，且可以再任意组节点归还汽车，为了使每周的利润最大化，公司希望获得一个“稳态”的经营方案，即在每周固定的日子，将固定预计数目的车辆安排于固定的租借点。对此，公司对顾客租车的需求量有以下估计（公司每周开放从周一至周六，周日休息）： 日期/租借点 A B C D 周一 100 150 135 83 周二 120 230 250 143 周三 80 225 210 98 周四 95 195 242 111 周五 70 124 160 99 周六 55 96 115 80           租期与原地点及到达地点无关。通过以往数据统计，租期的分配为：55%的车辆被租借1天，20%租借2天，25%租借3天。当前的统计显示了从各个租借点租借并归还的比例如下： 到达地点 出发地点   A B C D A 60 20 10 10 B 15 55 25 5 C 15 20 54 11 D 8 12 27 53             公司租赁一辆车的‘边际成本’（包括磨损费和经营费）的估计如下： 租借1天    20英镑 租借2天    25英镑 租借3天    30英镑 其拥有一辆车的‘机会成本’（包括资本，存放以及服务的利息）为每周15英镑。 转移每辆车子的费用如下： 到达地点 出发地点   A B C D A --- 20 30 50 B 20 --- 15 35 C 30 15 --- 25 D 50 35 25 ---             顾客归还的车辆中至少有10%是损坏的。当此情况发生时，顾客需要额外缴纳100英镑的罚金。 只有两个租借点有修理能力（容量）： B：12辆/天                  C：20辆/天 租赁价钱取决于租赁的时间长短以及是否归还至原租借点。具体价格如下（以英镑为单位）：   归还至原租借点 归还至另一租借点 1天租期 50 70 2天租期 70 100 3天租期 120 150       对于在周六租借车辆并与次周一归还的顾客提供20英镑的优惠，并且这种租借被作为租期为1天的租赁。 为了给公司获得利润最大化和“稳态’的方案，我们分别对以下问题进行求解： 1． 公司需要拥有多少车辆？ 2． 每天将车辆分别安排于哪个租借点？ 3． 如果公司致力于在某一租借点提高需求量，哪个租借点最值得被选定？ 4． 你认为你的模型与数据间的关系多健壮？（健壮性） 5．公司在考虑如何最有效的扩大租借点的维修能力/容量。 Ⅱ 合理假设 Ⅱ.1 顾客于应当归还车辆的当天归还车辆； Ⅱ.2 从其他租借点转移至该租借点的完好无损的车子到达 Ⅱ.3 汽车还当天允许马上出借； Ⅱ.4 汽车于每天开始营业时，该从租借点转出的汽车已经发出，该转入租借点的汽车已经到达； Ⅱ.5 汽车租期只能是一天，两天或三天，而不能是其他天数； Ⅱ.6 修理完毕的汽车既可以再次日在修理点出租，也可以于次日作为完好无损的汽车转移到其他租借点后，第三天进行出租； Ⅱ.7 受损车辆被归还到有维修能力的租借点后并须在此修理，不可转移； Ⅱ.8 无论是当天归还的受损汽车还是从其他无维修能力租借点转入的汽车均能在当天修理完毕； Ⅱ.9 汽车不区分新旧均能在每天租给顾客； Ⅱ.10 损坏的车辆与完好的车辆在各租借点间的转移费用相同，转移在一天内完成。 Ⅱ.11假设汽车租借点A、B、C、D点分别对应1、2、3、4。 Ⅲ 符号说明 ? N … … … … … … … … … …  … … … …该公司拥有的汽车总量 ? … … … … … … … … … … … … … … 各租借点归还比例矩阵 ? … … … … … … … … 其他租借点转移过来的完好汽车的转移矩阵 ? … … … …  … …  A、D租借点转移到B、C租借点的坏车转移矩阵 ? … … … … … … … … … … … 第j天第i租借点剩余完好车辆数 ? … … … … …  … … … … …  第j天归还到第i租借点汽车总量 ? … … … … …  … … … … …第j天从第i个租借点借出的汽车总量 ? … … … … … … … … …第j天从a转移到b完好无损的汽车总量 ? … … … … …第j天从第k个租借点转移到第l个租借点的受损车辆 ? … … … … … ……第j天第i个租借点当天不能维修的受损车辆数 ? … … … … … … … … … … … … … … 该公司拥有的汽车总量 ? … … … … … … … … … … … … … … … … … … 运营成本 ? … … … … … … … … … … … … … … … … … … 固定成本 ? … … … … … … … … … …  … …  …租借点间汽车的转移成本 ? … … … … … … … … … … … … … … … …  …公司的收益 ? … … … … … … … … … … … … … … … …  …公司总利润 Ⅳ 问题分析 对于问题一，为求出公司需要拥有多少车辆，应该对应于公司在需要这么多车辆时能是公司利润最大化。可用线性规划进行建模及求解。首先，建立目标函数，即建立公司利润与营运收入和成本的关系式，那么我们可以根据条件从营运收入和成本两方面入手，了解公司经营问题。 然后就是列出相应的条件函数，可把公司的汽车情况可以分为四个方面：公司每天完好的汽车库存量，公司每天租出的汽车量，公司每天维修中的汽车量和公司每天处于转移中的汽车量。分别求出这四个方面跟四个借租点的关系，即可表示出公司总的车辆需求量。当然，这其中计算第i个租借点第j天库存完好的汽车辆时，包括有各点每天归还的汽车总量，每天归还的汽车中受损的车辆数，建立之间的函数关系式，作为条件函数给出。然后利用lingo软件解线性规划函数，可以得出该公司需要的车辆数和每个租借点租出的车辆数，即可得出第一、第二问题的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 。 对于第三问，求在哪一租借点提高需求量，可利用题中估计的A、B、C、D四个租借点的需求量与问题二各租借点求得的车辆数相比较，利用spss软件中T检验法，得到一个数值，数值越高者，说明其不满意度越大。那么，可以说明，不满意度越大的租借点的需求量越大，此时提高其租借点的需求量，该租借点最能给公司带来利润，也更能给顾客带来方便，提高公司的信誉度，可确定此租借点最值得被选定。 对于第四问，模型与数据间的关系的健壮性，可以理解为模型的稳定性及对参数的敏感性，。若人为对数据进行扰动，改动量取为原数据的1%、3%、5%，然后用模型求解结果，在计算变量Dif，从变量Dif中可以看出模型与数据间的关系的健壮性的好坏。 第五问， Ⅴ 模型建立与求解 Ⅴ.1汽车租凭公司的营运收入： 有题可知，营运总收入主要分为租金收入与顾客赔偿收入。顾客从A、B、C、D租借点任意一个点租车，可在另外三个租借点中任意一个方便的地点还车。租期的分配为：55%的车辆被租借1天，20%租借2天，25%租借3天。并由题中各个租借点借并归还的比例列出归还比例矩阵： 由此可知，A、B、C、D四个租借点分别归还汽车至原租借点和归还至另一租借点的比例为： A：60% 归还到原租借点和40%归还到另一租借点 B：55% 归还到原租借点和45%归还到另一租借点 C：54% 归还到原租借点和46%归还到另一租借点 D：53% 归还到原租借点和47%归还到另一租借点 （1）具体价格如下（以英镑为单位）：   归还至原租借点 归还至另一租借点 1天租期 50 70 2天租期 70 100 3天租期 120 150       对于租金问题，该公式还有一个特别优惠：对于在跨周日的顾客免周日一天的费用，那么只算星期一至星期六的即可。对于在周六租借车辆并与次周一归还的顾客提供20英镑的优惠，并且这种租借被作为租期为1天的租赁。 那么每周的租金收入为： （2）当顾客归还的汽车受损时，顾客不用承担自己修理汽车的责任，但需要额外缴纳100英镑作为罚款。所以可得出每周的罚金收入为： Ⅴ.2汽车租凭公司的营运成本 营运成本（TC）主要由三方面组成：边际成本 ，机会成本 ，转移成本 。 即：                    （1）公司租赁一辆车的‘边际成本’（包括磨损费和经营费）的估计如下： 租借1天    20英镑 租借2天    25英镑 租借3天    30英镑 所以该公司每周的边际成本为： （2）其拥有一辆车的‘机会成本’（包括资本，存放以及服务的利息）为每周15英镑。 所以该公司没周的机会成本为： 到达地点 出发地点   A B C D A --- 20 30 50 B 20 --- 15 35 C 30 15 --- 25 D 50 35 25 ---             （3）转移每辆车子的费用如下： 所以该公司的转移成本： 为A、D租借点转移到B、C租借点的坏车转移矩阵； 为其他租借点转移过来的完好汽车的转移矩阵。 （4）该公司运营的总成本： Ⅴ.3公司的总利润 由经济学规律可以知道该公司的总利润： Ⅴ.4公司的汽车情况 1、第j天该汽车租凭公司的完好汽车总库存： （1）A、D两个租借点都是没有维修能力的，B、C两租借点有维修能力，那么，A、D两点完好车辆的进出情况应该一致，B、C两点因维修，可以额外获得维修好了的完好汽车。所以，可列出如下关系式： 其中， 表示第i个租借点在完成第j天剩余完好的车辆数； 表示第j天归还到第i租借点的汽车总量； 表示第j天从a租借点转移到b租借点的完好无损的汽车总量； 表示第j天从第i个租借点借出的汽车总量； 为从其他三个租借点归还到第一个租借点A的汽车总量； 表示从A租借点迁移到其他三个点的汽车总量； 为归还到A租界点的受损车辆。第四个租借点D的情况跟租借点A的情况大体相同。 （2）下面是第二个租借点B的汽车库存情况： 第三个租借点C的情况与租界点B的情况大体相同。 2、第j天该公司汽车租凭公司各租凭点租出的汽车总和： 表示第j天从第i个租借点借出的汽车总量 3、第j天该公司未能修理的汽车数量： 表示第j天从第k个租借点转移到第l个租借点的受损车辆； 第j天第i个租借点当天不能维修的受损车辆数。 4、第j天在各租借点间转移中的车辆数，包括好车和坏车。 表示第j天从a租借点转移到b租借点的完好无损的汽车总量 5、公司需要的汽车拥有量N为： Ⅴ.5每天归还的汽车中受损汽车的情况 由于A、D两租借点没有修理能力，归还到这两个租借点的汽车必须于当天转移到有修理能力的B或C租借点进行修理。则： 因为从A、D租借点受损的车迁移到B、C点需要一天，维修需要一天。且只有两个租借点有修理能力（容量）： B：12辆/天  C：20辆/天 故B租借点当天已修的车辆数： 当天未能修好的车辆数： 表示第j天提供给第二个租借点修理的汽车数量；若 表示有未能维修的汽车数量。 到达C租借点的坏车维修情况与B租借点基本相同，只是B租借点的维修能力为20辆/天。故C租借点当天已修的车辆数： 当天未能修好的车辆数： Ⅴ.6各租借点每天的汽车归还量 由题中各个租借点借并归还的比例列出归还比例矩阵： 那么，可以得出各租借点每天的汽车归还量为： 表示第j天从第i个租借点借出的汽车总量 Ⅴ.7模型一的建立与求解： 根据前面模型的分析和问题的条件提取，我们可以提取出来初步建立线性规划函数模型。 （1）目标函数的建立 （2）条件函数的建立： 其中j=1、2、3、4、5、6            i=1、2、3、4 (3)模型的求解 (3.1)问题一的求解： 利用lingo和matlab软件对其进行求解，对于求出车辆数有小数位的数据采用四舍五入法将小数化为整数。整理后公司总共拥有453辆车，最大收益为112075.1英镑。考虑到特别优惠的租借条件，星期六借出去的车的总车辆数为：55+96+115+80=346量，其中按顾客租车天数的租借比率可知有346*0.55=190.3,约合191量，所以最大优惠额为191*20=3820英镑，因为不排除一个顾客租多辆车的情况，所以公司的最大收益为112075.1-3820=108255.1英镑。 (3.2)问题二的求解： 由模型一求解中，我们可以获得该公司在利润最大化经营下，每天安排于各个租借点的车辆数，具体安排如下表所示：   A B C D 星期一 70 178 311 68 星期二 57 136 205 55 星期三 61 142 257 71 星期四 60 167 165 70 星期五 137 144 195 83 星期六 71 188 159 151           (3.3)问题三的求解： 利用题中估计的A、B、C、D四个租借点的需求量与问题二各租借点求得的车辆数相比较，采用因子分析法，先求出各租借点每天的供给量与需求量的差额 ，在此基础上，将数据进行标准化，然后利用SPSS软件进行因子分析，并求出因子分析系数矩阵， 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 见下图： 各租借点每天的供给量与需求量的差额   A B C D 星期一 30 -28 -176 15 星期二 63 94 45 88 星期三 19 83 -47 27 星期四 35 28 77 41 星期五 -67 -20 -35 16 星期六 -16 -92 -44 -71 标准化数据   A B C D 星期一 0.42154 -0.54428 -1.65525 -0.0836 星期二 1.14107 1.16564 0.8503 1.32477 星期三 0.1817 1.01147 -0.19273 0.14791 星期四 0.53056 0.2406 1.21309 0.41801 星期五 -1.69343 -0.43215 -0.05669 -0.06431 星期六 -0.58143 -1.44129 -0.15872 -1.74277                 然后利用SPSS软件进行因子分析，并求出因子分析系数矩阵 因子分析表格 Component Matrixa   Raw Rescaled Component Component 1 1 Zscore(VAR00001) .746 .746 Zscore(VAR00002) .935 .935 Zscore(VAR00003) .588 .588 Zscore(VAR00004) .917 .917 Undefined error #11401 - Cannot open text file "F:\SPSS\lang\en\spss.err": No such file or directory a. 1 components extracted.       因子分析系数矩阵 Component Score Coefficient Matrixa   Component 1 Zscore(VAR00001) .285 Zscore(VAR00002) .357 Zscore(VAR00003) .225 Zscore(VAR00004) .350 Undefined error #11401 - Cannot open text file "F:\SPSS\lang\en\spss.err": No such file or directory a. Coefficients are standardized.     将A B C D 各租借点每天的供给量与需求量的差额乘以因子分析系数矩阵，得到顾客对各租借点的不满意得分 A点：0.285*(30+63+19+35-67-16)=0.285*64=18.24 B点：0.357*（）=23.205 C点：0.225*（）=-40.5 D点：0.350*（）=40.6 因为D点的不满意度最高，所以公司应该选择在租借点提高该公司的需求量。 (3.4)问题四的求解： 模型与数据间的关系的健壮性，可以理解为模型的稳定性及对参数的敏感性，本文中，模型的建立对立于数据，数据的变化对求得的结果有影响，但不影响模型自身的求解过程。本题中的数据大部分是统计数据，因此是不精确地，主要的统计数据有四个： A、顾客归还车辆的损坏率 B、租期的概率分布 C、顾客每周的需求矩阵 D、各个租借点租借并归还的概率矩阵 这些数据如果发生变化将会对结果产生一定的影响。这里定义变量Dif来衡量这种差别： 其中 为数据摄动后的结果。变量Dif的意义是从一种“稳态”到另一种“稳态”时发生转移的大小的近视结果，只能够用来做定性判断。 若人为对数据进行扰动，改动量取为原数据的1%、3%、5%，然后用模型求解结果，在计算变量Dif。得到的结果如下表： 扰动的对象 扰动量的大小 Dif值 影响大小评价 顾客归还车辆的损坏率 1% 20 较小 3% 56 较大 5% 93 很大 租期的概率分布 1% 0 很小 3% 0 很小 5% 1 很小 顾客每周的需求矩阵 1% 1 很小 3% 3 较小 5% 6 较小 3% 35 较大 5% 67 很大         从上表可以看出：顾客归还车辆的损坏率对模型影响最大，各个租借点租借并归还的概率矩阵影响次之，顾客每周的需求矩阵影响较小，租期的概率分布影响最小。这是因为当前情况下，维修能力是整个系统的关键，所以维修量的变化将极大的影响整个运营情况。我们的模型通过调整租借点的安排量来减少完好车辆的转移，而各个租借点租借并归还的概率分布主要影响着各个租借点的平均借车量，如果发生变化将明显的影响公司运营情况。而需求量基本处于充沛的状态，发生扰动对运营情况影响很小。所以，模型与数据间的关系的健壮性较好。 (3.5)问题五的求解： 利用控制变量法来求公司的最优方案： A、只采用a方案时：B租借点总共增加维修车辆：6*20=120辆 B租借点每天的汽车供给量为 B租借点 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期几 198 156 162 187 164 208               公司的增加的利润＝租借车辆归还到原点的费用＋租借车辆归还到其他点的费用＋损坏车辆的罚款+节省的车辆转移费用-固定成本 损坏的车辆的罚款=120*100=12000(英镑) 租借车辆归还到原点的费用=120*0.55*(50*0.55+70*0.20+120*0.25)=4719（英镑） 租借车辆归还到其他点的费用=120*0.45*(70*0.55+100*0.20+150*0.25)=5184（英镑） 增加租借点的维修能力以减少的车辆转移费用=120*30=3600（英镑） 公司的增加的利润＝12000+4719+5184+3600-25000=503（英镑）