高中数学三角函数诱导_推理公式_习题大全

高中数学三角函数诱导_推理 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 _习题大全 习题大全 高中数学三角函数诱导_推理公式_ 公式一: sin(2kπ，α),sinα (k?Z) cos(2kπ，α),cosα (k?Z) tan(2kπ，α),tanα (k?Z) cot(2kπ，α),cotα (k?Z) 公式二: sin(π，α),,sinα cos α),,cosα (π， tan(π，α),tanα cot(π，α),cotα 公式三: sin(,α),,sinα cos(,α),cosα tan(,α),,tanα cot(,α),,cotα 公式四: sin(π,α),sinα cos(π,α),,cosα π,α),,tanα cot(π,α),,cotα tan( 公式五: sin(2π,α),,sinα cos(2π,α),cosα tan(2π,α),,tanα cot(2π,α),,cotα 公式六:sin(π/2，α),cosα cos(π/2，α),,sinα tan(π/2，α),,cotα cot(π/2，α),,tanα sin(π/2,α),cosα cos(π/2,α),sinα tan(π/2,α),cotα cot(π/2,α),tanα sin(3π/2，α),,cosα cos(3π/2，α),sinα tan(3π/2，α),,cotα cot(3π/2，α),,tanα sin(3π/2,α),,cosα cos(3π/2,α),,sinα tan(3π/2,α),cotα cot(3π/2,α),tanα (以上k?Z) ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于π/2*k 〒α(k?Z)的三角函数值， ?当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ?当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin?cos;cos?sin;tan?cot，cot??tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 上述的记忆口诀是: 1 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k〃360?+α(k?Z)，-α、180?〒α，360?-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 两角和与差的三角函数公式 sin(α，β),sinαcosβ，cosαsinβ sin(α,β),sinαcosβ,cosαsinβ cos(α，β),cosαcosβ,sinαsinβ cos(α,β),cosαcosβ，sinαsinβ tan(α，β),(tanα+tanβ),(1-tanαtanβ) tan(α,β),(tanα,tanβ),(1，tanα〃tanβ) 二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式) sin2α,2sinαcosα cos2α,cos (α),sin (α),2cos (α),1,1,2sin (α) tan2α,2tanα/[1,tan (α)] 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式) sin (α/2),(1,cosα),2 c os (α/2),(1，cosα),2 tan (α/2),(1,cosα),(1，cosα) 另也有tan(α/2)=(1,cosα)/sinα=sinα/(1+cosα) 三角函数的和差化积公式 sinα，sinβ,2sin[(α，β)/2]〃cos[(α,β)/2] sinα,sinβ,2cos[(α，β)/2]〃sin[(α,β)/2] cosα，cosβ,2cos[(α，β)/2]〃cos[(α,β)/2] cosα,cosβ,,2sin[(α，β)/2]〃sin[(α,β)/2] 积化和差公式 2 三角函数的积化和差公式 sinα〃cosβ,0.5[sin(α，β)，sin(α,β)] cosα〃sinβ,0.5[sin(α，β),sin(α,β)] cosα〃cosβ,0.5[cos(α，β)，cos(α,β)] sinα〃sinβ,,0.5[cos(α，β),cos(α,β)] 和差化积公式推导 四(【典例解析】 题型1:象限角 例1(已知角 45 ;(1)在区间[,720 ,0 ],720 45 ,k 360 0 ， 得 ,765 k 360 ,45 76545 k , 360360 从而k ,2或k ,1 解得 , 代回 ,675 或 ,315 (2)因为M x|x (2k,1) 45 ,k Z 表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的 集合;而集合N x|x (k,1) 45 ,k Z 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角 的集合，从而:MØN。 点评:(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角 有相同终边的角， 然后列出一个关于k的不等式，找出相应的整数k，代回求出所求解;(2)可对整数k的奇、 偶数情况展开讨论。 例2(若sinθcosθ,0，则θ在( ) A(第一、二象限 B(第一、三象限 C(第一、四象限 D(第二、四象限 解析:答案:B;?sinθcosθ,0，?sinθ、cosθ同号。 当sinθ,0，cosθ,0时，θ在第一象限，当sinθ,0，cosθ,0时，θ在第三象限，因此， 选B。 3 例3(若A、B是锐角?ABC的两个 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:B 解析:?A、B是锐角三角形的两个内角，?A，B,90?，?B,90?,A，?cosB,sinA，sinB,cosA，故选B。 例4(已知“ 是第三象限角，则是第几象限角? 3 把各象限均分3等份，再从x次将各区域标上I、?、?、?，并依次循环一周，则 原来是第?象限的符号所表示的区域即为的终边所3 在的区域。 由图可知，是第一、三、四象限角 3 点评:已知角 的范围或所在的象限，求所在的象限n 是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下:把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、?、?、?， 并循环一周，则 原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n?N*)的终边所n 在的区域。 题型2:三角函数定义 例5(已知角 的终边过点(a,2a)(a 0)，求 的四个三角函数值。 解析:因为过点(a,2a)(a 0)，所以r a|，x a,y 2a。 当a 0时，sin y; r co s xa，tan 2。 r5xy，cos ; rr当a 0时， sin tan 2。 例6(已知角 的终边上一点P( m)，且sin 值。 ，求cos ,sin 的4 解析:由题设知x y m，所以r2 |OP|2 (2,m2， 4 得r 从而sin m， r解得m 0或16 6,2m2 m 当m 0时，r x cos xy ,1,tan 0; rx xy当m r x cos rxxy当m r x cos rx题型3:诱导公式 例7((2009辽宁文，8)已知tan 2，则sin2 ,sin cos ,2cos2 ( ) 4A., 3 B.5 43C., 4D.4 5 答案 D 例8(化简: ,sin(180 , ),sin(, ),tan(360 , )(1); tan( ,180),cos(, ),cos(180, ) (2)sin( ,n ),sin( ,n )(n Z)。 sin( ,n )cos( ,n ) sin ,sin ,tan tan , ,1; tan ,cos ,cos tan 解析:(1)原式 (2)?当n 2k,k Z时，原式 sin( ,2k ),sin( ,2k )2 。 sin( ,2k )cos( ,2k )cos ?当n 2k,1,k Z时，原式 sin[ ,(2k,1) ],sin[ ,(2k,1) ]2 ,。 sin[ ,(2k,1) ]cos[ ,(2k,1) ]cos 点评:关键抓住题中的整数n是表示 的整数倍与公式一中的整数k有区别，所以必须把n分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论 题型4:同角三角函数的基本关系式 例9 合。 ,2tan ，试确定使等式成立的角 的集5 =|1,sin ||1,sin 1,sin ,1,sin 2sin ==。 ,|cos ||cos ||cos ||cos | ,2tan ， ?2sin 2sin , 0， |cos |cos 即得sin 0或|cos | ,cos 0 所以，角 的集合为:{ | k 或2k , 例10((1)证明: 2 2k ,2,cos ,sin ,cos sin ,; 1,sin ,cos 1,sin 1,cos cosx1,sinx (2)求证:。 1,sinxcosx 解析:(1)分析:证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要AC证 ，只要证A〃D=B〃C,从而将分式化为整式BD3 ,k Z}。 2 cos ,cos2 ,sin ,sin2 证法一:右边= 1,sin 1,cos = ,cos ,sin ,,1,cos ,sin , 1,sin cos ,sin ,cos 2,cos ,sin ,,1,cos ,sin , 21,sin ,cos ,sin cos 2,cos ,sin ,,1,cos ,sin , 1,sin2 ,cos2 ,2sin ,2cos ,2sin cos =2,cos ,sin ,,1,sin ,cos , 左边 1,sin ,cos 证法二:要证等式，即为 2,cos ,sin ,,cos ,sin ,,1,sin ,cos , 1,sin 1,cos 1,sin ,cos oc )=,1,sin ,cos ,2 只要证 2(1,sin )(1,s 即证:2,2sin ,2cos ,2sin cos 1,sin2 ,cos2 ,2sin ,2cos ,2sin cos ， 6 即1=sin2 ,cos2 ，显然成立， 故原式得证。 点评:在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。 (2)同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系 (2)证法一:由题义知cosx 0，所以1,sinx 0,1,sinx 0。 ?左边=cosx(1,sinx)cosx(1,sinx)1,sinx 右边。 cosx(1,sinx)(1,sinx)cos2x ?原式成立。 证法二:由题义知cosx 0，所以1,sinx 0,1,sinx 0。 又?(1,sinx)(1,sinx) 1,sin2x cos2x cosx cosx， ?cosx1,sinx 。 1,sinxcosx 证法三:由题义知cosx 0，所以1,sinx 0,1,sinx 0。 cosx1,sinxcosx cosx,(1,sinx)(1,sinx)cos2x,1,sin2x, 0， 1,sinxcosx(1,sinx)cosx(1,sinx)cosx cosx1,sinx 。 1,sinxcosx 点评:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有:(1)从一边开始，证明它等于另一边(如例5的证法一);(2)证明左右两边同等于同一个式子(如例6);(3)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立 (以下来自2009年各地高考试题) ? 1.(2009海南宁夏理，5).有四个关于三角函数的命题: p1:,x R, sin2 p3: ,x 0, , 其中假命题的是 xx1+cos2= p2: ,x、y R, sin(x-y)=sinx-siny 222 p4: sinx=cosy x+y= 2A(p1，p4 B.p2，p4 C.p1，p3 D.p2，p4 答案 A 22..(2009辽宁理，8)已知函数f(x)=Acos( x, )的图象如图所示，f() ,，23 7 则f(0)=( ) 2112A., B. C.- D. 3223 答案 C 3.(2009全国I文，1)sin585?的值为 A. B. C. D. 2 答案 A 14.(2009全国I文，4)已知tana=4,cot =,则tan(a+ )= ( ) 3 7777A. B., C. D. , 11111313 答案 B 12， 则cosA 5 125512 A. B. C., D. , 13131313 12 解析:已知 ABC中，cotA ,， A (, ). 525.(2009全国II文，4) 已知 ABC中，cotA , cosA ,12 故选D. 13 6.(2009全国II文，9)若将函数y tan( x, 位长度后，与函数y tan( x, 4)( 0)的图像向右平移 个单6 6的图像重合，则 的最小值为( ) 1111A. B. C. D. 243 6 答案 D 7.(2009北京文)“ 1”是“cos2 ”的 62 A( 充分而不必要条件 C( 充分必要条件 答案 A B(必要而不充分条件 D(既不充分也不必要条件 解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基 8 础知识、基本运算的考查. 当 6时，cos2 cos 3 6 11，反之，当cos2 时，222 2k , 3 k , ,k Z,， 6或2 2k , 3 k ,,k Z,，故应选A. 1”的 28.(2009北京理)“ ( ) 6,2k (k Z)”是“cos2 A(充分而不必要条件 B(必要而不充分条件 C(充分必要条件 D(既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当 1 ,2k (k Z)时，cos2 cos 4k , cos 63 32 1 反之，当cos2 时，有2 2k , k ,,k Z,， 236 或2 2k , k ,,k Z,，故应选A. 36 129.(2009全国卷?文)已知?ABC中，cotA ,，则cosA 5 125512A. B. C. , D. , 13131313 答案:D 12知A为钝角，cosA<05 cosA1212 ,,和sin2A,cos2A 1求得cosA ,选D 排除A和B，再由cotA sinA513 10.(2009四川卷文)已知函数f(x) sin(x,x R)，下面结论错误的是 ((2解析:本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=, A. 函数f(x)的最小正周期为2 B. 函数f(x)在区间,0， ,上是增函数 2 C.函数f(x)的图象关于直线x,0对称 9 D. 函数f(x)是奇函数 答案 D 解析?f(x) sin(x, 2 ,cosx，?A、B、C均正确，故错误的是D 【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误 11.(2009全国卷?理)已知 ABC中，cotA , A. 12 1312， 则cosA ( ) 5512C., D. , 1313B.5 13 解析:已知 ABC中，cotA ,cosA 12 ， A (, ). 52 ,12 故选D. 13 答案 D 12.(2009湖北卷文)“sin =”是“cos2 ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由cos2a 件，故选A. 13.(2009重庆卷文)下列关系式中正确的是( ) A(sin110 cos100 sin1680 B(sin1680 sin110 cos100 1111可得sin2a ，故sina 是sin2a 成立的充分不必要条22241212 C(sin110 sin1680 cos100 D(sin1680 cos100 sin110 答案 C 解析 因为sin160 sin(180 ,12 ) sin12 ,cos10 cos(90 ,80 ) sin80 ，由于正弦函数y sinx在区间[0 ,90 ]上为递增函数，因此sin11 sin12 sin80 ，即sin11 si n160 cos10 二、填空题 10 414.(2009北京文)若sin ,,tan 0，则cos . 5 3答案 , 5 15.(2009湖北卷理)已知函数f(x) f’(cosx,sinx,则f()的值为 . 44 答案 1 16. 函数f,x, ,2sin2x,sin2x,1，给出下列4个命题: 5 ?在区间 , 上是减函数; ?直线x 是函数图像的一条对称轴; 8 88 ?函数f(x)的图像可由函数y 2sin2x的图像向左平移 而得到; 4 ?若x 0, ，则f(x)的值域是0,2( 2 其中正确命题序号是 。? 17. 已知边长为4的正三角形的中心为O，一个半径为 中心角为1200的扇形的顶点O与重合，当扇形绕着O逆 时针旋转时，请说明: ABC与扇形OMN的重叠部分 N C 的面积变化特征: 。 S 3tBa，n则A,B的最大值A 18. 锐角?ABC中，A?B，且tan 6 73 119. 设sin ( ), tan( , ) ,则tan( ,2 )的值等于24522 20. 在?ABC中，BC=1， B ，当?ABC的面积等于时，tanC __ 为 (3 ,21. 若?ABC的三个内角的正弦值分别等于?A B C 的三个内角的余弦值，则? ABC的三个内角从大到小依次可以为(写出满足题设的一组解)( ，另两角不惟一，但其和为 44 22. 在?ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，给出下列结论: 11 ?若A,B,C，则sinA sinB sinC; ?若a b c,则cosA cosB cosC; ?必存在A、B、C，使tanAtanBtanC tanA,tanB,tanC成立; ?若a 40,b 20,B 25 ，则?ABC必有两解. 其中，真命题的编号为 .(写出所有真命题的编号)?? 23. 若函数f(x) |2sin2x,1|对任意的x R存在常数c,使得f(x,c) f(x)恒 成立,则c的最小正值是: 五(【思维总结】 2(α、、2α之间的关系。 2 若α终边在第一象限则终边在第一或第三象限;2α终边在第一或第二象2 限或y轴正半轴。 若α终边在第二象限则终边在第一或第三象限;2α终边在第三或第四象2 限或y轴负半轴。 若α终边在第三象限则终边在第二或第四象限;2α终边在第一或第二象2 限或y轴正半轴。 12 若α终边在第四象限则限或y轴负半轴。 终边在第二或第四象限;2α终边在第三或第四象2 13