高中数学三角函数诱导_推理公式_习题大全
习题大全 高中数学三角函数诱导_推理公式_
公式一:
sin(2kπ,α),sinα (k?Z) cos(2kπ,α),cosα (k?Z) tan(2kπ,α),tanα (k?Z) cot(2kπ,α),cotα (k?Z) 公式二: sin(π,α),,sinα cos
α),,cosα (π,
tan(π,α),tanα cot(π,α),cotα
公式三: sin(,α),,sinα cos(,α),cosα
tan(,α),,tanα cot(,α),,cotα
公式四: sin(π,α),sinα cos(π,α),,cosα
π,α),,tanα cot(π,α),,cotα tan(
公式五: sin(2π,α),,sinα cos(2π,α),cosα
tan(2π,α),,tanα cot(2π,α),,cotα
公式六:sin(π/2,α),cosα cos(π/2,α),,sinα tan(π/2,α),,cotα cot(π/2,α),,tanα sin(π/2,α),cosα cos(π/2,α),sinα tan(π/2,α),cotα cot(π/2,α),tanα sin(3π/2,α),,cosα cos(3π/2,α),sinα
tan(3π/2,α),,cotα cot(3π/2,α),,tanα sin(3π/2,α),,cosα
cos(3π/2,α),,sinα tan(3π/2,α),cotα cot(3π/2,α),tanα
(以上k?Z)
※规律
总结
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※
上面这些诱导公式可以概括为: 对于π/2*k 〒α(k?Z)的三角函数值, ?当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变;
?当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin?cos;cos?sin;tan?cot,cot??tan.
(奇变偶不变)
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
(符号看象限)
上述的记忆口诀是:
1
奇变偶不变,符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时,角k〃360?+α(k?Z),-α、180?〒α,360?-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变;符号看象限。
两角和与差的三角函数公式
sin(α,β),sinαcosβ,cosαsinβ
sin(α,β),sinαcosβ,cosαsinβ
cos(α,β),cosαcosβ,sinαsinβ
cos(α,β),cosαcosβ,sinαsinβ
tan(α,β),(tanα+tanβ),(1-tanαtanβ)
tan(α,β),(tanα,tanβ),(1,tanα〃tanβ)
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)
sin2α,2sinαcosα
cos2α,cos (α),sin (α),2cos (α),1,1,2sin (α) tan2α,2tanα/[1,tan
(α)]
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
sin (α/2),(1,cosα),2 c
os (α/2),(1,cosα),2
tan (α/2),(1,cosα),(1,cosα)
另也有tan(α/2)=(1,cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)
三角函数的和差化积公式
sinα,sinβ,2sin[(α,β)/2]〃cos[(α,β)/2]
sinα,sinβ,2cos[(α,β)/2]〃sin[(α,β)/2]
cosα,cosβ,2cos[(α,β)/2]〃cos[(α,β)/2]
cosα,cosβ,,2sin[(α,β)/2]〃sin[(α,β)/2]
积化和差公式
2
三角函数的积化和差公式
sinα〃cosβ,0.5[sin(α,β),sin(α,β)]
cosα〃sinβ,0.5[sin(α,β),sin(α,β)]
cosα〃cosβ,0.5[cos(α,β),cos(α,β)]
sinα〃sinβ,,0.5[cos(α,β),cos(α,β)]
和差化积公式推导
四(【典例解析】
题型1:象限角
例1(已知角 45 ;(1)在区间[,720 ,0 ],720 45 ,k 360 0 ,
得 ,765 k 360 ,45
76545 k , 360360
从而k ,2或k ,1 解得 ,
代回 ,675 或 ,315
(2)因为M x|x (2k,1) 45 ,k Z 表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的
集合;而集合N x|x (k,1) 45 ,k Z 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角
的集合,从而:MØN。
点评:(1)从终边相同的角的表示入手分析问题,先表示出所有与角 有相同终边的角,
然后列出一个关于k的不等式,找出相应的整数k,代回求出所求解;(2)可对整数k的奇、
偶数情况展开讨论。
例2(若sinθcosθ,0,则θ在( )
A(第一、二象限 B(第一、三象限
C(第一、四象限 D(第二、四象限
解析:答案:B;?sinθcosθ,0,?sinθ、cosθ同号。
当sinθ,0,cosθ,0时,θ在第一象限,当sinθ,0,cosθ,0时,θ在第三象限,因此,
选B。
3
例3(若A、B是锐角?ABC的两个 )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案:B
解析:?A、B是锐角三角形的两个内角,?A,B,90?,?B,90?,A,?cosB,sinA,sinB,cosA,故选B。
例4(已知“ 是第三象限角,则是第几象限角? 3
把各象限均分3等份,再从x次将各区域标上I、?、?、?,并依次循环一周,则 原来是第?象限的符号所表示的区域即为的终边所3
在的区域。 由图可知,是第一、三、四象限角 3
点评:已知角 的范围或所在的象限,求所在的象限n
是常考题之一,一般解法有直接法和几何法,其中几何法具体操作如下:把各象限均分n等份,再从x轴的正向的上方起,依次将各区域标上I、?、?、?,
并循环一周,则 原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n?N*)的终边所n
在的区域。
题型2:三角函数定义
例5(已知角 的终边过点(a,2a)(a 0),求 的四个三角函数值。
解析:因为过点(a,2a)(a
0),所以r a|,x a,y 2a。
当a 0时,sin y; r
co s xa,tan 2。
r5xy,cos ; rr当a 0时,
sin
tan 2。
例6(已知角
的终边上一点P(
m),且sin
值。
,求cos ,sin 的4
解析:由题设知x y
m,所以r2 |OP|2 (2,m2,
4
得r
从而sin
m, r解得m
0或16 6,2m2 m
当m
0时,r x cos xy ,1,tan 0;
rx
xy当m
r x
cos
rxxy当m
r x
cos rx题型3:诱导公式
例7((2009辽宁文,8)已知tan 2,则sin2 ,sin cos ,2cos2 ( ) 4A., 3 B.5 43C., 4D.4 5
答案 D
例8(化简:
,sin(180 , ),sin(, ),tan(360 , )(1); tan( ,180),cos(, ),cos(180, )
(2)sin( ,n ),sin( ,n )(n Z)。 sin( ,n )cos( ,n )
sin ,sin ,tan tan , ,1; tan ,cos ,cos tan 解析:(1)原式
(2)?当n 2k,k Z时,原式 sin( ,2k ),sin( ,2k )2 。 sin( ,2k )cos( ,2k )cos
?当n 2k,1,k Z时,原式 sin[ ,(2k,1) ],sin[ ,(2k,1) ]2 ,。 sin[ ,(2k,1) ]cos[ ,(2k,1) ]cos 点评:关键抓住题中的整数n是表示 的整数倍与公式一中的整数k有区别,所以必须把n分成奇数和偶数两种类型,分别加以讨论
题型4:同角三角函数的基本关系式
例9
合。
,2tan ,试确定使等式成立的角 的集5
=|1,sin ||1,sin 1,sin ,1,sin 2sin ==。
,|cos ||cos ||cos ||cos |
,2tan , ?2sin 2sin , 0, |cos |cos
即得sin 0或|cos | ,cos 0
所以,角 的集合为:{ | k 或2k ,
例10((1)证明: 2 2k ,2,cos ,sin ,cos sin ,; 1,sin ,cos 1,sin 1,cos
cosx1,sinx (2)求证:。 1,sinxcosx
解析:(1)分析:证明此恒等式可采取常用方法,也可以运用分析法,即要AC证 ,只要证A〃D=B〃C,从而将分式化为整式BD3 ,k Z}。 2
cos ,cos2 ,sin ,sin2 证法一:右边= 1,sin 1,cos =
,cos ,sin ,,1,cos ,sin , 1,sin cos ,sin ,cos 2,cos ,sin ,,1,cos ,sin ,
21,sin ,cos ,sin cos 2,cos ,sin ,,1,cos ,sin , 1,sin2 ,cos2 ,2sin ,2cos ,2sin cos
=2,cos ,sin ,,1,sin ,cos , 左边 1,sin ,cos 证法二:要证等式,即为
2,cos ,sin ,,cos ,sin ,,1,sin ,cos , 1,sin 1,cos 1,sin ,cos
oc )=,1,sin ,cos ,2 只要证 2(1,sin )(1,s
即证:2,2sin ,2cos ,2sin cos
1,sin2 ,cos2 ,2sin ,2cos ,2sin cos ,
6
即1=sin2 ,cos2 ,显然成立,
故原式得证。
点评:在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时,需要仔细观察题目的特征,灵活、恰当地选择公式,利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。
(2)同角三角函数的基本关系式有三种,即平方关系、商的关系、倒数关系
(2)证法一:由题义知cosx 0,所以1,sinx 0,1,sinx 0。
?左边=cosx(1,sinx)cosx(1,sinx)1,sinx 右边。 cosx(1,sinx)(1,sinx)cos2x
?原式成立。
证法二:由题义知cosx 0,所以1,sinx 0,1,sinx 0。
又?(1,sinx)(1,sinx) 1,sin2x cos2x cosx cosx, ?cosx1,sinx 。 1,sinxcosx
证法三:由题义知cosx 0,所以1,sinx 0,1,sinx 0。
cosx1,sinxcosx cosx,(1,sinx)(1,sinx)cos2x,1,sin2x, 0, 1,sinxcosx(1,sinx)cosx(1,sinx)cosx
cosx1,sinx 。 1,sinxcosx
点评:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法有:(1)从一边开始,证明它等于另一边(如例5的证法一);(2)证明左右两边同等于同一个式子(如例6);(3)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立
(以下来自2009年各地
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) ?
1.(2009海南宁夏理,5).有四个关于三角函数的命题:
p1:,x R, sin2
p3: ,x 0,
,
其中假命题的是 xx1+cos2= p2: ,x、y R, sin(x-y)=sinx-siny 222 p4: sinx=cosy x+y= 2A(p1,p4 B.p2,p4 C.p1,p3 D.p2,p4
答案 A
22..(2009辽宁理,8)已知函数f(x)=Acos( x, )的图象如图所示,f() ,,23
7
则f(0)=( )
2112A., B. C.- D. 3223
答案 C
3.(2009全国I文,1)sin585?的值为
A.
B.
C.
D. 2
答案 A
14.(2009全国I文,4)已知tana=4,cot =,则tan(a+ )= ( ) 3
7777A. B., C. D. , 11111313
答案 B
12, 则cosA 5
125512 A. B. C., D. , 13131313
12 解析:已知 ABC中,cotA ,, A
(, ). 525.(2009全国II文,4) 已知 ABC中,cotA ,
cosA ,12 故选D. 13
6.(2009全国II文,9)若将函数y tan( x,
位长度后,与函数y tan( x, 4)( 0)的图像向右平移 个单6
6的图像重合,则 的最小值为( )
1111A. B. C. D. 243 6
答案 D
7.(2009北京文)“ 1”是“cos2 ”的 62
A( 充分而不必要条件
C( 充分必要条件
答案 A B(必要而不充分条件 D(既不充分也不必要条件
解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基
8
础知识、基本运算的考查. 当
6时,cos2 cos
3
6 11,反之,当cos2 时,222 2k ,
3 k , ,k Z,,
6或2 2k ,
3 k ,,k Z,,故应选A.
1”的 28.(2009北京理)“
( ) 6,2k (k Z)”是“cos2
A(充分而不必要条件 B(必要而不充分条件
C(充分必要条件 D(既不充分也不必要条件 答案 A
解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当 1 ,2k (k Z)时,cos2 cos 4k , cos 63 32
1 反之,当cos2 时,有2 2k , k ,,k Z,, 236
或2 2k , k ,,k Z,,故应选A. 36
129.(2009全国卷?文)已知?ABC中,cotA ,,则cosA 5
125512A. B. C. , D. , 13131313
答案:D
12知A为钝角,cosA<05
cosA1212 ,,和sin2A,cos2A 1求得cosA ,选D 排除A和B,再由cotA sinA513
10.(2009四川卷文)已知函数f(x) sin(x,x R),下面结论错误的是 ((2解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由cotA=,
A. 函数f(x)的最小正周期为2
B. 函数f(x)在区间,0, ,上是增函数 2
C.函数f(x)的图象关于直线x,0对称
9
D. 函数f(x)是奇函数
答案 D
解析?f(x) sin(x,
2 ,cosx,?A、B、C均正确,故错误的是D
【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误
11.(2009全国卷?理)已知 ABC中,cotA ,
A. 12 1312, 则cosA ( ) 5512C., D. , 1313B.5 13
解析:已知 ABC中,cotA ,cosA 12 , A
(, ). 52 ,12 故选D. 13
答案 D
12.(2009湖北卷文)“sin =”是“cos2 ”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A
解析 由cos2a 件,故选A.
13.(2009重庆卷文)下列关系式中正确的是( )
A(sin110 cos100 sin1680 B(sin1680 sin110 cos100 1111可得sin2a ,故sina 是sin2a 成立的充分不必要条22241212
C(sin110 sin1680 cos100 D(sin1680 cos100 sin110
答案 C
解析 因为sin160 sin(180 ,12 ) sin12 ,cos10 cos(90 ,80 ) sin80 ,由于正弦函数y sinx在区间[0 ,90 ]上为递增函数,因此sin11 sin12 sin80 ,即sin11 si n160 cos10
二、填空题
10
414.(2009北京文)若sin ,,tan 0,则cos . 5
3答案 , 5
15.(2009湖北卷理)已知函数f(x) f’(cosx,sinx,则f()的值为 . 44
答案 1
16. 函数f,x, ,2sin2x,sin2x,1,给出下列4个命题: 5 ?在区间 , 上是减函数; ?直线x 是函数图像的一条对称轴; 8 88
?函数f(x)的图像可由函数y 2sin2x的图像向左平移 而得到; 4
?若x 0, ,则f(x)的值域是0,2( 2
其中正确命题序号是 。?
17. 已知边长为4的正三角形的中心为O,一个半径为
中心角为1200的扇形的顶点O与重合,当扇形绕着O逆
时针旋转时,请说明: ABC与扇形OMN的重叠部分 N C 的面积变化特征: 。 S 3tBa,n则A,B的最大值A 18. 锐角?ABC中,A?B,且tan
6
73 119. 设sin ( ), tan( , ) ,则tan( ,2 )的值等于24522
20. 在?ABC中,BC=1, B ,当?ABC的面积等于时,tanC __ 为 (3
,21. 若?ABC的三个内角的正弦值分别等于?A B C 的三个内角的余弦值,则?
ABC的三个内角从大到小依次可以为(写出满足题设的一组解)(
,另两角不惟一,但其和为 44
22. 在?ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,给出下列结论:
11
?若A,B,C,则sinA sinB sinC;
?若a b c,则cosA cosB cosC;
?必存在A、B、C,使tanAtanBtanC tanA,tanB,tanC成立;
?若a 40,b 20,B 25 ,则?ABC必有两解.
其中,真命题的编号为 .(写出所有真命题的编号)??
23. 若函数f(x) |2sin2x,1|对任意的x R存在常数c,使得f(x,c) f(x)恒
成立,则c的最小正值是:
五(【思维总结】
2(α、、2α之间的关系。 2
若α终边在第一象限则终边在第一或第三象限;2α终边在第一或第二象2
限或y轴正半轴。
若α终边在第二象限则终边在第一或第三象限;2α终边在第三或第四象2
限或y轴负半轴。
若α终边在第三象限则终边在第二或第四象限;2α终边在第一或第二象2
限或y轴正半轴。
12
若α终边在第四象限则限或y轴负半轴。 终边在第二或第四象限;2α终边在第三或第四象2
13