中考数学复习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
绝对值算术根
绝对值与算术平方根
一、绝对值
1(定义 一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0(在
数轴上，一个实数的绝对值
表
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示这一实数对应的点到原点的距离，恒有,a,?0(
a,a,0,,数(式)a的绝对值记作,a,，用算式表示，即 |a|,,,a,a,0.,
2(绝对值的性质
(1),a,=,a, ,
(2),,a,?a ?,a,
(3)若,a,=,b,，则a = ?b
(4)若,a,+,b,= 0，则a = b = 0
3(解含绝对值的数式的化简、求值、证明，以及方程、不等式等问题时，基本思路是:根据绝对值的定义，先设法去掉绝对值符号，再进行变形运算解答(有时需要针对题目的具体数值或结构特征，如采用平方法、数形结合或整体思想等特殊策略常常能够简捷求解( 二、算术平方根
1(定义 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根;0的算术平方根是0(记作(a?0)( a2(算术平方根的性质
2(1)当a?0时，有 (a),a
2(2)对任意实数a，有 a,|a|
a3(算术平方根的实质是它的双重非负性:a?0和a,0
a(a,0),,24(利用=可以将算术平方根问题转化为绝对值问题，再按照绝对值的意义a,|a|,,a(a,0),
讨论，是处理算术平方根问题的重要方法(这种方法可划分为三个步骤: (1)运用公式把被开方式配方成一个数(或式)的平方;
(2)根据已知条件判定这个代数式的正负性(或分情况讨论); (3)利用上述关系式进行化简(
例1 如果在数轴上表示a，b两个实数的点的位置如图所示， a b x O 那么化简,a,b,+,a + b,的结果是( )(
A(2a B(,2a C(0 D(2b 分析 观察图形，理理题意，可知a,0，b,0，且数a对应的点到原点O 的距离大于数b对
应的点到原点O的距离(这点容易被忽视～)(
? a,b,0，a + b,0(
故,a,b,+,a + b,=,(a,b),(a + b)= ,2a，选B(
|1,|1，x||例2 若 x,,2，则的值为 ( 2，x
分析 ? x,2， ? 1 + x,0，x + 2,0， 于是 ,1 + x,=(1 + x)， ,,? 分式的分子 =,1 + 1 + x,=,2 + x,=,(2 + x)，
故分式的值为,1(
12例3 若，化简( a,1,4a，4a，|2a,1|2
分析 注意到a的取值范围，可得 2a,1?0(
22于是 = (1,2a)，|2a,1|1,4a，4a，|2a,1|
=,1,2a,+,2a,1,
= 2,2a,1,= 2,4a(
说明 解答绝对值或二次根式的化简问题时，基本思路是化根式为绝对值，说明或讨论绝对值符号中代数式的正、负脱去绝对值符号(
1
例4 解方程:,x,,3x + 1,,= 4(
分析 这是一个由分类定义的概念给出的绝对值方程，绝对值的概念是分三类定义的，所以本
题应分3x + 1,0，3x + 1 = 0，3x + 1,0三种情况讨论(
1解 (1)当3x + 1,0，即时，原方程化为,x,3x,1,= 4， x,,3
53? 2x + 1 = 4，或 2x + 1 =,4( 解得 ，(舍去)( x,,x,22
11(2)当 3x + 1 = 0，即时，原方程左边=，右边= 4，矛盾，故原方程无解( x,,33
1(3)当3x + 1,0，即时，原方程化为,x + 3x + 1,= 4( x,,3
51? 4x + 1 = 4，或 ( 解得 ( x,,4x，1,,4(4x，1,,)43
35综上所述，原方程的解是，或( x,,x,42
例5 设A是锐角三角形ABC的一个内角(试化简:( 1，2sinAcosA，1,2sinAcosA
2分析 首先设法把被开方式配成一个完全平方式利用公式化去根号，于是联想到 1 = a,|a|22222sinA + cosA，得 1 + 2sinAcosA = sinA + cosA + 2sinAcosA =(sinA + cosA);同理1,22sinAcosA =(sinA,cosA)(
因而，原式 =,sinA + cosA,+,sinA,cosA,(
? A是锐角三角形ABC的一个内角， ? 0:,A,90:，因此分两类讨论如下:
22(1)当0:,A?45:时，，， 0,sinA,,cosA,122
从而 sinA + cosA,0，sinA,cosA?0，
故原式 = sinA + cosA,(sinA,cosA)= 2 cosA(
22(2)当45:,A,90: 时，，， 0,cosA,,sinA,122
从而 sinA + cosA,0，sinA,cosA,0，
故原式 = sinA + cosA + sinA,cosA = 2 sinA(
例6 解方程:( x，3,|x,2|,1
分析 由算术平方根的定义知，x首先应满足x + 3?0即x?,3(又2是,x,2,的零点，故
本题应分,3?x,2和x?2两类求解(
(1)当,3?x,2时，原方程化为， x，3,,x，1
3,173，17 解得(另一根舍去)( x,x,22
(2)当x?2时，原方程化为，解得 x = 6(另一根x = 1舍去)( x，3,x,3
说明 本题一开始就挖掘出算术平方根这一隐含条件，简化了分类(不然解答起来或运算量太
大或过程繁杂，均不可取(
2例7 当a在什么范围内取值时，方程,x,5x,= a有且只有相异二实数根, 分析 数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果( 解 (1)当a,0时，方程显然无实数根( 2(2)当a = 0时，原方程变为x,5x = 0，解之，得 x= 0，x= 5。此时原方程有且只有相异二实1 2
数根( 2(3)当a,0时，原方程可化为x,5x,a = 0， ? 2和x,5x + a = 0( ?
2
此时方程?的根的判别式? = 25 + 4a,0，故只须方程?的根的判别式? = 25 + 4a,0，解之，得1225( a,4
25综上所述，a的取值范围是或a = 0( a,4
练习
21(若a,1，化简的结果是( )( 1,a，a
A(1,2a *B(2a,1 C(,1 D(1
112(已知，那么代数式的值为( )( ,|a|,1，|a|aa
55 B(, C(, *D( A(5522
3(满足,a,b,=,a,+,b,成立的条件是( )(
A(ab,0 B(ab,1 *C(ab?0 D(ab?1
24(已知a、b是实数，且，则ab = ( (a，3)，|b,2|,0
5(若a,0，b,0，则使,x,a,+,x,b,= a,b 成立的x的取值范围是 (
226(化简= ( a,2a，1,(1,a)
2227(已知关于x方程x –2mx + m – 4m = 0无实数根，化简( m,8m，16，|1,m|
1,a8(已知(a?R)，化简( x，a,x,a，2x,2
3
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