有关高中数学抽象函数问题专题

有关高中数学抽象函数问题专题 抽象函数问题丏题 抽象函数是相对于具体函数而言的，它是指没有给出具体函数的解析式，仅仅给出函数的部分性质，如函数f (x)满足f (x，y),f (x)，f (y)等，解题时依据题设所给的条件解决相关问题的一类函数。通过抽象函数设置的考题，主要考查函数的基本性质(单调性、奇偶性和周期性)，考查学生的抽象思维、理性思维和严谨细腻的逻辑推理能力，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。因此对抽象函数的考查是历年 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 的热点、焦点和难点。 由于抽象函数没有给出具体的函数解析式，具有一定的隐藏性和抽象性，不少学生在解决这类问题时不能透彻理解题设条件，缺乏严谨的推理和全面的思考，容易忽视某些隐藏的函数性质。对于抽象函数的考查，主要以选择题、填空题为主，有时也会在大题出现。 一、抽象函数与函数的函数值、定义域、值域、解析式以及复合函数 1【例1】?(04全国IV)设函数f (x)(x?R)为奇函数，f (1),，f (x，2),f (x)，f (2)，则f (5),2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????( ) 5 A(0 B(1 C( D(5 2 ?(2010陕西)下列四类函数中，个有性质“对任意的x,0，y,0，函数f (x)满足 f (x，y),f (x)f (y)”的是 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ( C ) A. 幂函数 B. 对数函数 C. 指数函数 D. 余弦函数 ?(2011广东文10)设f (x)，g (x)，h (x)是R上的任意实值函数(如下定义两个函数(f g)(x)和(f ,g)(x);对任意x?R，(f g)(x),f (g (x));(f ,g)(x),f (x)g (x)(则下列等式恒成立的是( ) A. ((f g) ,h) (x),((f ,h)(g ,h))(x) B. ((f ,g) h) (x),((f h),(g h))(x) C. ((f g) h) (x),((f h)(g h))(x) D. ((f ,g) ,h) (x),((f , h),(g ,h))(x) 【例2】?已知函数f (x)的定义域是[1，4]，则f (x，2)的定义域是 ; 2?已知函数f (x)的定义域是[1，4]，则f (x)的定义域是 ; ?已知函数f (x，2)的定义域是[1，4]，则f (x)的定义域是 ; 2?已知函数f (x)的定义域是[1，4]，则f (x)的定义域是 ; 4?已知函数f (x)的值域是[1，4]，则函数g (x),f (x)，的值域是 . f (x) 2【例3】已知f (x)是二次函数，且f (x，1)，f (x,1),2x,4x，求f (x). 1 【总结】在解决抽象函数与函数的定义、函数值、解析式有关的问题，往往可以考虑换元法、赋值法、待定系数法等。 二、抽象函数与函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 【例4】?若f (x)是周期为T(T > 0)的奇函数，则F(x),f (2x,1)?f (2x + 1)是 ???????????( ) TT A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 22 TT C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函 44 ?设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题: g (x)是单调递增; ?若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x), ?若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x),g (x)是单调递增; ?若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x),g (x)是单调递减; ?若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x),g (x)是单调递减. 其中，正确的命题是 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????( ) A. ?? B. ?? C. ?? D. ?? ?已知定义在R上的函数f (x)满足f (1,x),f (1，x)，f (3,x),f (3，x)，则 ????????????( ) A. f (x)一定是奇函数 B. f (x)一定是偶函数 1 C. f (x)的图象一定关于直线x,,2对称 D. f (2x)的图象一定关于直线x,,对称 2 ?已知y,f (2x，1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是 ????????????????????????????????( ) 11 A. x,1 B. x,2 C. x,, D. x, 22 ?(2006山东)定义在R上的奇函数f (x)满足f (x，2),,f (x)，则f (6), ??????????????( ) A. ,1 B. 0 C. 1 D. 2 ,log(1,x)， x?02,?定义在R上的函数f (x)满足f (x), ，则f (2009)的值为( ) f (x,1),f (x,2)，x,0, A. ,1 B. ,2 C. 1 D. 2 【例5】?(2011湖南)已知f (x)为奇函数，g (x),f (x)，9，g (,2),3，则f (,2), ; 1?(2010重庆)已知函数f (x)满足:f (1),，4 f (x) f (y),f (x，y)，f (x,y)(x，y?R)，则f (2010)4 , ; 1?(06安徽)函数f (x)对于任意实数x满足条件f (x，2),，若f (1),,5, 则f (f (5)), . f (x) 2 ?设定义在R上的函数f (x)满足f (x)?f (x，2),13，若f (1),2，则f (99), . f (x)1，?已知函数f (x)满足f (x，1),，若f (0),2004，f (2011), ，f (2012) , . 1,f (x) ?设函数f (x)对任意实数x，y，都有f (x，y),f (x)，f (y)，若x,0时f(x),0，且f (1),,2,则f (x) 在[,3，3]上的最大值和最小值分别是 . 【例6】已知函数f (x)的定义域为R，对任意实数m、n满足f (m，n),f (m)，f (n),1. 11且f (),2，当x,,时，f (x),0 22 1?求f (,)的值; 2 ?证明:f (x)在定义域R是增函数. x1【例7】定义在R上的函数f (x)满足f (0),0，f (x)，f (1,x),1，f (),f (x)，且 52 1当0?x,x?1时，f (x)?f (x)，则f (), ????????????????????????????????????????????????????????( ) 12122012 1111 A. B. C. D. 2163264 【总结】用抽象函数考查函数的性质是高考的重点难点，解决这类问题的思维是根据函数各种性质的定义结合已知条件进行逻辑推理，特别是周期性、对称性，是家常便饭，往往我们都要注意从中挖掘函数的周期，在解决这类问题还要注意结合函数(也可以构造三角函数)的草图加以快速的解答，关于对称问题主要转化为点与直线，点与点的对称而解决. 一般的: ?若定义域为I的函数f (x)满足f (x，a),,f (x)，则f (x)是T,2a的周期函数; 若定义域为I的函数f (x)满足f (x，a)，f (x),b，则f (x)是T,2a的周期函数; 1?若定义域为I的函数f (x)满足f (x，a),?，则f (x)是T,2a的周期函数; f (x) 若定义域为I的函数f (x)满足f (x，a)?f (x),?b，则f (x)是T,2a的周期函数; ?若定义域为I的函数f (x)满足f (a，x),f (a,x)，f (b，x),f (b,x)(a?b)，则f (x)是周期 3 T,2(a,b)的周期函数. ?若定义域为I的函数f (x)满足f (a，x),f (a,x)，f (b，x)，f (b,x),0(a?b)，则f (x)是周期 T,4(a,b)的周期函数. ?若定义域为I的函数f (x)满足f (a，x)，f (a,x),0，f (b，x)，f (b,x),0(a?b)，则f (x)是周 期T,2(a,b)的周期函数. 1?若定义域为I的函数f (x)满足f (x，a),，则f (x)是T,3a的周期函数. 1,f (x) 【特别提醒】 ),f (x)f (x12?若函数f (x)在区间D上满足，对于任意x?x，都有,0(或,0)，则函数f (x)在12x,x12 区间D上是增(减)函数; ?若f (x，a)是偶函数，则f (,x，a),f (x，a)，函数f (x)的图象关于直线x,a对称，经常会误认为f (,x,a),f (x，a); ?若f (x，a)是奇函数，则f (,x，a),,f (x，a)，函数f (x)的图象关于点(a，0)对称，经常会误认为f (,x,a),,f (x，a); ?注意函数图象本身的对称性和两个函数图象的对称性的区别: a，b1: f (a，x),f (b,x) , y,f (x)的图象关于直线x,轴对称; 2 b,a而函数y,f (a，x)与y,f (b,x) 的图象关于直线x,轴对称; 2 a，bc2: f (a，x) + f (b,x),c , y,f (x)的图象关于点(，)中心对称; 22 b,ac而函数y,f (a，x)与y,c,f (b,x) 的图象关于点(，)中心对称. 22 三、抽象函数与导数、不等式 【例8】?(2011辽宁理)函数f (x)的定义域为R，f (,1),2，对任意x?R，f, (x),2，则 f (x),2x，4的解集为 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????( ) A((,1，1) B((,1，，?) C((,?，,1) D((,?，，?) ?(04湖南)设f (x)、g (x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x,0时， f ,(x)g (x)，f (x)g, (x),0，且g (3),0.则不等式f (x)g(x),0的解集是 ???????????????????????( ) A. (,3，0) : (3，，?) B. (,3，0) : (0，3) C. (,?，,3) : (3，，?) D. (,?，,3) : (0，3) ?(09陕西,12)定义在R上的偶函数f (x)满足:对任意的x，x?(,?，0](x?x)，有(x12122 4 ,x)( f (x),f (x)),0(则当n?N*时，有 ?????????????????????????????????????????????????????????????????( ) 121 A. f (,n),f (n,1),f (n，1) B. f (n,1),f (,n),f (n，1) C. f (n，1),f (,n),f (n,1) D. f (n，1),f (n,1),f (,n) 2?设函数f (x)在R上的导函数为f ,(x)，且满足2 f (x)，x f ,(x),x，则下面不等式在R上恒成立的是 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????( ) A. f (x),0 B. f (x),0 C. f (x),x D. f (x),x ?(07陕西)f (x)是定义在(0，，?)上的非负可导函数，且满足x f ,(x)，f (x)?0(对任意正数a， b，则必有 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????( ) b，若a, A(af (b)?bf (a) B(bf (a)?af (b) C(a f (a)?f (a) D(bf (b)?f (a) 2R满足f (2),3，且f (x)在R上的导函数f ,(x)满足f ,(x),1,0，则不等式f (x)?已知函数f (x)，x? 2,x，1的解集为 ; 2?已知f (x)是定义域为[,1，1]上的偶函数，且在[0，1]上是增函数，若f (1,a),f (1,a)，则实 数a的取值范围是 . 2【例9】奇函数f (x)在定义域(,1，1)内递减，求满足f (1,m)，f (1,m),0的实数m的取值范围. 四、抽象函数与图象、零点 【例10】?(2011陕西理3)设函数f (x)(x?R)满足f (,x),f (x)，f (x，2),f (x)，则函数 y,f (x)的图像可能是 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????( ) y y -2-2-1121-1O2Oxx A B y y -4-22-4-2244OOxx C D ?(07安徽)定义在R上的函数f (x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期(若将 5 方程f (x),0在闭区间[,T，T]上的根的个数记为n，则n可能为 ????????????????????????( ) A(0 B(1 C(3 D(5 ?已知实数集上的函数f (x)恒满足f (2，x),f (2,x)，程f (x),0有5个实根，则这5个根之和 ,_____________ 五、抽象函数与函数的性质的综合考查 【例11】?(2004福建)定义在R上的偶函数f (x)满足f (x),f (x，2)，当x?[3，5]时， f (x),2,|x,4|，则 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????( ) 2,2,,, A(f (sin),f (cos) B(f (sin1),f (cos1) C(f (cos),f (sin) D(f (cos2),f (sin2) 6633 ?已知函数y,f (x)是R上的偶函数，对于x?R都有f (x，6),f (x)，f (3)成立，且 ),f (x)f (x12f (,5),,2，当x，x?[0，3]且x?x时，都有,0，则给出下列命题: 1212x,x12 ?f (2011),,2; ?函数y,f (x)图象的一条对称轴为x,,6; ?函数y,f (x)在[,9，,6]上为减函数; ?方程f (x),0在[,9，9]上有4个根; 上述命题中的所有正确命题的序号是 ((把你认为正确命题的序号都填上) 【例12】已知函数f (x)对一切x，y?R，都有f (x，y),f (x)，f (y)，求证: ? f (x)是奇函数; ?若f (x)的图象关于直线x,1对称，则f (x)恒等于0. 【例13】(2002北京)已知f (x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的a、b?R都满足:f (ab),af (b)，bf (a). ?求f (0)、f (1)的值; ?判断函数f (x)的奇偶性，并加以证明. 6 【例14】定义在R上的函数y,f (x)，f (0)?0，当x,0时，f (x),1，且对任意的a、b?R， 有f (ab),f (a)，f (b). ?证明:f (0),1; ?对任意x?R，恒有f (x),0; ?证明:f (x)在R上是增函数; 2?若f (x)?f (2x,x),1，求x的取值范围. 【总结】 1、在解决有关函数基本概念等问题，往往采用换元法、赋值法、待定系数法; 2、涉及函数性质讨论时，也可构造的具体函数法——模型法 模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。 应掌握下面常见的特殊模型: 特殊模型 抽象函数 正比例函数f (x),kx (k?0) f (x，y),f (x)，f (y) xf (x)n幂函数f (x),x f (xy),f (x) f (y)(或f ( ),) yf (y) f (x)x指数函数 f (x),a(a,0且a?1) f (x，y),f (x) f (y)(或f (x,y),) f (y) x对数函数 f (x),logx (a,0且a?1) f (xy),f (x)，f (y) (或f ( ),f (x),f (y)) ay f (x，T),f (x)，g (x，T)=g (x) f (x?y),f (x) g (y)?g (x) f (y) 正、余弦函数 f (x),sin x，g (x),cos x ,g (x?y),g (x) g (y)，f (x) f (y) f (x)，f (y)正切函数 f (x),tan x f (x，y), 1,f (x) f (y) 由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本(原型)函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象——具体——抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 的几种基本函数相关知识的重要性。 3、根据函数各种性质的定义转化为已经学习的问题来解答; 4、根据提供的性质，大致画出函数的图象. 7