微积分课后习题参考答案第六章

微积分课后习题参考答案第六章 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 第六章 微分方程与差分方程 ?1微分方程的基本概念 习 题 6 — 1 1.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型: ,3,xy，3y,0?，; y,Cx ,3,xy，3y,0解:是的通解; y,Cx y2,?，，其中a，b为常数; y,，axy,ax，bxx y2,解:是的特解(因为不是任意常数); by,，axy,ax，bxx 2,,,,,?，; ，，，，xy,xy，xy，yy,2y,0，，y,lnxy 2,,,,,解:是的特解; ，，，，xy,xy，xy，yy,2y,0，，y,lnxy 3x4x,,,y,7y，12y,0?，; y,Ce，Ce12 3x4x,,,y,7y，12y,0解:是的通解; y,Ce，Ce12 3x2x,5x,,,y，3y,10y,2x?，. ,，,,yCeCe12550 3x2x,5x,,,y，3y,10y,2x解:是的通解. ,，,,yCeCe12550 知识点:，定义6.2(若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为微分方程的解)和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。 2x,y,1y,12.在曲线族中找出满足条件，的曲线. ，，y,C，Cxe12x,0x,0 2x,解:由题意得:，，， y,2C，C，2Cxe122 ,y,1y,1?，， x,0x,0 ?解得,， C,1C,,112 2x2x故所求曲线为，，()。 y,1,xey,xe 3.某企业的净资产W因资产本身的利息而以8%的年利率增长，同时企业还必须以每年100 W万元的数额连续地支付员工的工资.试给出描述该企业净资产(万元)的微分方程. (0.08W,100)解:因为该企业的每年增加的净资产为万元，所以所求的微分方程为 第1页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 dW. ,0.08W,100dt ?2一阶微分方程 习 题 6 — 2 1.求下列微分方程的通解: 22,,,,?; ; ?3x，5x,5y,0y,xy,a，，y，y 3dydy22解: 解: ，，1,a,x,ay,x，x5dxdx dydx3,,2, dy,x，xdx ,,21,a,xay5,, dydxC3,,2,, dy,x，xdx，C ,,2,,,,1,a,xaay5,, 11231C; y,x，x，C，，,,,ln1,a,x, 25aya 2?; ydx，，，x,4xdy,0 1y,; 2解: ，，C，aln1,a,xydx,，，4x,xdy dydxcosxsinydx，sinxcosydy,0?; , 2y4x,x cosx,sinydx,,sinx,cosydy解: dy1111,,,，dx，lnC ,,,,cosxcosyy4x4,x4,,,dx,dy sinxsiny ，，4lny,lnx,ln4,x，lnC cosxcosy1,dx,dy，ln 4,,; sinxsinyC，，x,4y,Cx 1x，y,lnsinx,lnsiny，ln, ?; y,10C dyxysinx,siny,C; ,10,10解: dx dyxx，yxx，yy ,10dx?; ，，，，e,edx，e，edy,0y10 dyCxyxxy10dx ,,解: e，，，，e，1dy,e1,edx,,yln1010 yx,yx1010Cee,,,,dydx yxln10ln10ln101,1，ee,yx10，10,C; 第2页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 1,cosxyx; y,eee1dydx ,，ln,Cxyx,,Cee1,1，22?. ，，，，xy，xdx，y,xydy,01yxee ，，，，,ln1,,ln，1，ln,C22解: x，，，，y，1dx,yx,1dyxy; ，，，，e，1e,1,C xy, dxdyy22,?; y，,ysinx,，x1y1x 2y2xdy1,,dy,dx，ln,C ,ysinx,解: ,,22,,y，1x,1dxx,, 22dy1 ,,ln，，，，y，1,lnx,1，ln,C,sinx,dx ,,yx,,21，y,C 2dy1,,1,x,sinx,dx,lnC ,,,,yx,, lny,,cosx,lnx,lnC 2.求下列微分方程的通解: 222,ydyydyxy,y，x，y?; ,,，,, 解:,,xdxxdx,,2dyyy,,解:,，1， 2,,ydyy,,,,dxxx,, ,1,,,,,xdxx,,,,y令得: u,yx令得: u,dux2 x，u,u，1，udx2duux，u, dudx，，dxu,1, 2x1，uu,1dxdu, uxdudx,，lnC ,,2x1dx1,,1，u1,du,，ln ,,,,uxC,,2，，lnu，1，u,lnx，lnC 1u,lnu,lnx，ln C2u，1，u,Cx uex, 222y，x，y,Cx; uC y22,,?; y，xy,xyyxy,Ce; 第3页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 x22? ，，x，ydx,xydy,0ydy1，2e ,x22dx,,x，dyxyy,,2e,1, ,,ydxxy,, yy令得: 令得: u,u,xx 1du1u x，u,，udu1，2edxu，,xu 1dx1,,dxu2e,1,, udu,u,,x 1dx11,, udu,，lnCu21e,,,,,x2dxu,, du,12xu1u12ue，,lnx，lnC 2211,,u2e,1,,222222dxu,,(); y,xlnCxy,,xlnCxdu,,lnC 1,,xuxx1，2ue,,,,xyy,,?. ,,1，2edx，2e1,dy,01,,,,,,yu,,,,,ln1，2ue,lnx,lnC ,,,,,,xx,,,,xyy,,,,解: 2,1,1，2edyedx1,,,,Cy,,u,,1，2ue, x x yx，2ye,C. 3.求下列方程的通解: Cx，，2y,,设原方程，求导得 ?; ，，x,1y，2xy,cosx21,x解:将方程变形为 2,Cx1,x，2xCx，，，，，，2xcosx,y, 2,y，y,2 ，，1,x22x,1x,1 解对应的线性齐次方程 将上两式代入原方程，化简得 dy2x, ，y,0，，Cx,,cosx2dxx,1 dy2x? ，，Cx,,sinx,Cdx, 2y1,x故原方程的通解为 sinx，C2y,; lny,,ln，，1,x，lnC2x,1 C,sinxy,, ?; y，ycosx,e21,x 解:解对应的线性齐次方程 第4页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 dy3 ，ycosx,0x32，，Cx,，x，2x，C ?dx32dy,,cosxdx 故原方程的通解为 y 2x3Cy,，x，2，; lny,,sinx，lnC 32x ,sinx,y，ytanx,sin2x?; y,Ce 解:解对应的线性齐次方程 ,sinx设原方程，求导得 ，，y,Cxedy ，ytanx,0dx,sinx,sinx,, ，，，，y,Cxe,Cxecosx dy,,tanxdx 将上两式代入原方程，化简得 y , ，，Cx,1cosx lny,ln，lnC2? ，，Cx,x，CC,cosxy, 故原方程的通解为 2 Cx,cosx，，,sinxy,设原方程，求导得 ; ，，y,x，Ce2 ,Cxcosx,Cxsinx，，，，2,y,, ?; xy，y,x，3x，22解:将方程变形为 将上两式代入原方程，化简得 12,,y，y,x，3， ，，Cx,4sinxxx 解对应的线性齐次方程 ? ，，Cx,,4cosx，2Cdy1 ，y,0故原方程的通解为 dxx 2dydx; y,Ccosx,2cosx,, yx ,y，2xy,4x?; lny,,lnx，lnC 解:解对应的线性齐次方程 dyCy, ，2xy,0xdx Cx，，dyy,设原方程，求导得 ,,2xdx xy,Cxx,Cx，，，，,y, 2x2 lny,,x，lnC将上两式代入原方程，化简得 22,x, ，，Cx,x，3x，2y,Ce 2,x，，y,Cxe设原方程，求导得 第5页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 dy222,x,x; ?，，y,6x，2y,0,, ，，，，y,Cxe,2xCxedx将上两式代入原方程，化简得 解:将方程变形为 2xdx3y, ，，Cx,4xe,x,, dyy22x? ，，Cx,2e33，，,,dy,dy,,y,,yy ,,,，xeedyC故原方程的通解为 ,,,,,2,,,,，，2,x; y,2，Ce ,,13,, ,y,dy，C2,,,?; ，，ylnydx，x,lnydy,02y,,解:将方程变形为 ,,13 ,,,y，C,,dx112y,,，x, dyylnyy 2y311,，Cy ,,,dydy,,1Clnlnyyyy2,, ,,，xeedy,,,2y,,132x,Cy，y?; 2,,1lnyC ,,dy,，dy2,,,?; ,3xy，xylnyy2,,dx 解:将方程变形为 11C,,2,lny， dy,,,2,1 y,3xy,xln22y,,dx 1Clny,1,lny， 令得 z,y22 dzdy,22y ,,?; 2xlny,lny，Cdxdx dy将上式代入变形后方程化简得 3?，，，，; x,2,y，2x,2dzdx ，3xz,,x解:将方程变形为 dx dy12,3xdx3xdxC，， ，y,2x,2，，,,，，,,,，zexedx dx2,x,,,3，，11,dxdx，，,,2,,2x2x，，y,e2x,2,edx,C 33,,22,,xx,,C22，，,,,,，exedx ,,,3,,,,，，，，,,x,2,2x,2dx,C ,3322,xx,,1C22,,ee,,， 2,,,,，，，，,x,2x,2，C 33,, 332,x，，，，,x,2，Cx,2 1C2,,，e 333，，，，?y,x,2，Cx,2; 第6页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 3dz2,x ,z,2x,12? 3z，1,Cedx 3322x,x,,1dx,1dx,,,,33，，,,22 ,，，,,，ze2x1edxC(); ,,,,，e,C，e,C11,,,,,,,，，yy,,,, dyy1,2xx,x4,,，，,e2x,1edx，C ，,y?. ,dx33 解:将方程变形为 x,x ,,，，,e,2x,1e，C ,312dyy,x,4y,, x,,1,2x，Ce 33dx ,3x令得 z,yz,,1,2x，Ce? dzdy,41y ,,3x,,1,2x，Ce. dxdx3y将上式代入变形后方程化简得 4.求下列微分方程的特解: 1cosx,y，3y,8y,2?，; ，，,,5e，Cx,0sinx dycosx解: ,8,3y ysinx，5e,Cdx 将y,,4代入通解，得 ,dyx,,dx 28,3y C,1 11故原方程的特解为 ，，,ln8,3y,x,lnC33cosx; ysinx，5e,11,3x y,，，8,Ceysinx3,y，,y,1?，; x,,xxy,2将代入通解，得 x,0dxdx,,,sinx,,xx,,y,eedx，C 8,C,,, ,2x,,3 1C,2 ，， ,sinxdx，C,故原方程的特解为 x 12,3x; ，， y,，，4,e,,cosx，C3x cosxC,cosx,y,,4?，; y，ycotx,5e,y, x,2x ,cotxdx,cotxdxy,1将代入通解，得 C,,cosx,,x,,5y,eeedx， ,,,2,,C，1 1,,25C,,cosxsin,exdx， ,,C,,,1 ,sin22x,,故原方程的特解为 第7页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 ,1,cosx,3,,2y,; ,233x2y,x，xex,23,,e22,3x,,2y，y,1?，; y,133,x,13x,,(); 2y,x，xex 22xx2,32,32x,y,,dxdx,,,?，y,0. y,eC,,33,,xxx,0 ,，yeedx,,,2,,2xdye, y,2,2C,,3x,3,xdxe,xexedx， ,,,2,,y2x edy,edx ,2,21C,,3x,x,xee， 1,,y2x e,e，C22,,2 ,2133x将y,0代入通解，得 ，，,x，Cxex,02 1,233x 1,，C 2y,x，Cxe2 1y,1将代入通解，得 C, x,,2 故原方程的特解为 ,233, 2,,，C,e11y2x e,e，223,,2,C ,23,,e 故原方程的特解为 2x，y5.求一曲线方程，该曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率为. ，，x，y ,,y,2x，yy,y,2xy,0解:由题意得，，.方程变形得， x,0 ,,1dx,1dx,,x,xx,x,,,,，，，，? y,e2xedx，C,e2xedx，C,e,2x，1e，C,,,,,, xy,0故，将代入上式得C,2， y,Ce,2x,2x,0 x所以所求的曲线方程为. y,2，，e,x,1 6.某银行账户以当年余额的5%的年利率连续每年盈取利息，设最初存入的数额为10 000元， 且这之后没有其他数额存入或取出，给出账户中余额所满足的微分方程，并求存款到第10 年的余额. dy解:设为时余额，由题意得,,0.05y，. ，，，，ytty0,10000dt dy0.05tlny,0.05t，lnC,0.05dt，，，将代入上式得， y,Ce，，y0,10000y 第8页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 0.05t0.5，所以账户中余额所满足的微分方程为，， C,10000，，y,10000ey10,10000e 0.510000e所以存款到第10年的余额为元. 7.已知某产品的净利润P与广告支出x有如下关系: ,， ，，P,b,ax，P 其中，，为正的常数，，求. b，，P0,P,0，，P,Pxa0 ,解:方程变形得， P，aP,b,ax ,adxadxb，,ax1,,，，,axax,axax,,,,，，，，PebaxedxCebaxeCeeC,,，,,，,， ,,,,,,a，，,, bb1，1，,axPCexCP，将代入上式得， ，，P0,P,,，,,00aa bb，1，1,,,axPPex,,,，所以. ,,0aa,, 8.某公司办公用品的平均成本与公司职员人数的关系为 Cx 2,x,C,Ce,2C， 且，求. ，，，，C0,1Cx dzdC,2,1,x,1,2,CC，2C,ez,CC解:方程变形为，令，即，代入变形后方程得 ,,dxdxdz,x ， ,2z,,edx ,,2dx,2dx1CCC,,,,,,,xx,xx,x2323,,111 ,,,，,,，,，zeeedxeedxee,,,,,,,,3333,,,,,, ,11xx3,x2x，，C,3e1，Ce,，，，将代入上式得， z，，eCe，，C0,1C,21113 ,1x3x，，，，C,Cx,3e1，2e所以. ?3可降阶的二阶微分方程 习 题 6 — 3 1.求下列方程的通解: x3,,?; y,x,e,0xxy,，e，Cx，C; 126x,,解: y,x，e ,,,xy，y,0?; 2xx,yeC,，， 12 第9页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 dp3,,,y,p解:设，则， y,xy,,sinx，Cx，C; dx126于是原方程变为 dp,,,y,y，x?; x，p,0dx dp,dpdx,,y,p解:设，则y,， ,, dxpx于是原方程变为 dp ,p,xlnp,,lnx，lnC1dx ,,1dx,1dxC,,,,1 p,exedx，C, yp,,,,1,,,x x,x，，,exedx，C ; y,Clnx，C112, x,x,,,,,y,y?; ,,，，,e,x,1e，C1 dpx,,,,,y,p设，则， ,y, y,p,,x,1，Ce1dx 于是原方程变为 2xxdp,，,,yCeCx; 12 ,p2dx 2dp,,,?. ，，y,y,1,dx pdp,,,y,py,解:设，则， dx lnp,x，lnC1于是原方程变为 dp2x,, ,1，p y,p,Ce1dx xdp, y,Ce，C12,dx 21，p xy,Ce，Cx，C; 123 arctanp,x，C1,,y,x，sinx; ? , ，，y,p,tanx，C12x,y,,cosx，C 1. ，，y,,lncosx，C，C212 2.求下列方程的特解: 代入方程后，得 3,,,y,1y,0?，，; yy，1,0x,1x,1 dp3yp，1,0 dpdy,,,y,py,p解:令，则， dy 第10页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 dy1, pdp,,y,p,,3ax，Cy12,?y,,1 1Cp1x,0 ,，2222y ? C,11 1, y,p,，C112,故y,, yax，1 1,?y,1，y,0 ，，y,,lnax，1，C2x,1x,1a ?y,0 ? C,,11x,0 2y1,? C,012,故y ,,1,2yy1故; ，，y,,lnax，1aydy ,dx2y2,,,y,0y,0?，，. y,e1,yx,0x,0 2dp,1,y,x，C 2,,,y,py,p解:令，则， dyy,1? x,1 dp2yp,e ? C,,1dy2 2y2 pdp,edy,1,y,x,1故 22y2Cpey,2x,x化简得:; 1,， 2222,,,y,0?，，，，y,ay,0x,02y,y,p,e，C 1,y,,1; x,0 ,y,0y,0?，， x,0x,0dp,,,y,py,解:令，则， dx? C,,11代入方程后，得 dp2 ,ap,012yy,yee,,1,1,故 dx2yedp,adx 2dyp ,dx 1y1e,2y1e,,ax，C 1p 第11页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 11, ,,，arcsinxC,,2y,sin,x,cosx ,,ey2e,, ?y,0x,0ye,secx ,? C,,222y2e,secx. 1,arcsin故 ,,x,y2e ?4二阶常系数线性微分方程 习 题 6 — 4 1.求下列方程的通解: ,,,,,,y,5y，6y,0y，5y,6y,0?; ; ? 22r,5r，6,0r，5r,6,0解:特征方程为， 解:特征方程为， 特征根为，， 特征根为，， r,2r,3r,,6r,11212故方程的通解为 故方程的通解为 62x3x,xx; ; y,Ce，Cey,Ce，Ce1212 ,,,,,,4y,20y，25y,0y，2y，5y,0?; ?; 224r,20r，25,0r，2r，5,0解:特征方程为， 解:特征方程为， 5特征根为， r,,1,2i特征根为， r,r,1，2122 故方程的通解为 故方程的通解为 5,xx; ，，y,eCcos2x，Csin2x212，，y,eC，Cx; 12 ,,,y,6y,13y,14?; 2r,6r,13,0解:其对应的齐次方程的特征方程为 解得:， r,3，22r,3,2212 ，，，，3，22x3,22x22,223x，，，，yx,Ce，Ce,Ce，Cee故对应的齐次方程的通解为 1212?,,0不是特征方程的根，?设特解为 ，，y*x,a ,,,求导得:， ，，，，y*x,0y*x,0 ,,,将，，代入原方程，化简得 ，，，，，，y*xy*xy*x 第12页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 1414，解得，故特解为， y*x,,,13a,14a,,，，1313 1422,223x从而非齐次线性方程的通解为 ，，y,Ce，Cee,1213 143xcos22sin22(); ，，y,Cx，Cxe,1213 ,,,y,7y，6y,sinx?; 2r,7r，6,0解:其对应的齐次方程的特征方程为 6xx解得:，，故对应的齐次方程的通解为 ，，yx,Ce，Cer,6r,11212 ?不是特征方程的根，?设特解为 i，，y*x,acosx，bsinx ,,,求导得:， ，，，，y*x,,asinx，bcosxy*x,,acosx,bsinx,,,将，，代入原方程，化简得 ，，，，，，y*xy*xy*x 7,a,,5a,7b,0,,74，故，解得， ，，，，5a,7bcosx，7a，5bsinx,sin,,57a，5b,1,,b,,74, 75故特解为， ，，y*x,cosx，sinx7474 756xx从而非齐次线性方程的通解为; y,Ce，Ce，cosx，sinx127474 3x,,,?; ，，y,6y，9y,ex，1 2r,6r，9,0解:其对应的齐次方程的特征方程为 3x解得:，故对应的齐次方程的通解为 ，，，，yx,C，Cxer,r,31212 23x323x,,3?是特征方程的重根，?设特解为 ，，，，y*x,xax，be,，，ax，bxe 323x,求导得:,,， ，，，，y*x,3ax，3a，3bx，2bxe 323x,,,, ，，，，，，y*x,9ax，18a，9bx，6a，12bx，2be ,,,将，，代入原方程，化简得 ，，，，，，y*xy*xy*x 第13页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 1,a,,6a,1,,6，故，解得， 6ax，2b,x，1,,12b,1,,b,,2, 211xx,,,,323x3x，，y*x,x，xe,，1e故特解为， ,,,,6223,,,, 2xx,,3x3x，，y,C，Cxe，，1e从而非齐次线性方程的通解为; ,,1223,, x,,?; y，y,e，cosx 2r，1,0解:其对应的齐次方程的特征方程为 解得:r,,i，故对应的齐次方程的通解为 ，，yx,Ccosx，Csinx1,212 ?不是特征方程的根，而是特征方程的根， ,,1i x?设特解为 ，，，，y*x,ae，xbcosx，csinx x,求导得:， ，，，，y*x,ae，bcosx，csinx，x,bsinx，ccosx x,, ，，，，y*x,ae,2bsinx，2ccosx,xbcosx，csinx,,,将，，代入原方程，化简得 ，，，，，，y*xy*xy*x 1,a,,2a,1,2,,xx2ae,2bsinx，2ccosx,e，cosx，故，解得， ,2b,0b,0,, ,,12c,1,,c,2, xex，，y*x,，sinx故特解为， 22 xexy,Ccosx，Csinx，，sinx从而非齐次线性方程的通解为; 1222 1,cos2x,,22,,y,y,sinx提示sinx,?. ,,2,, 11,,解:将原方程变形为 y,y,,cos2x22 2r,1,0其对应的齐次方程的特征方程为 第14页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 x,x解得:，故对应的齐次方程的通解为 ，，r,,1yx,Ce，Ce，1122 ?不是特征方程的根，而不是特征方程的根， ,,02i ?设特解为 ，，y*x,a，bcos2x，csin2x ,,,求导得:， ，，，，y*x,,2bsin2x，2ccos2xy*x,,4bcos2x,4csin2x,,,将，，代入原方程，化简得 ，，，，，，y*xy*xy*x 11,,,a,a,,,,22,,1111,,，故，解得， ,a,5bcos2x,5csin2x,,cos2x,5b,,b,,,21022,, ,5c,0c,0,, ,,,, 11故特解为， ，，y*x,,，cos2x210 11x,x从而非齐次线性方程的通解为. y,Ce，Ce,，cos2x12210 2.求下列方程满足初始条件的特解: 2dsdsds，2，s,0,2s,4?，，; 2t,0dtdtdtt,0 2r，2r，1,0解:特征方程为，特征根为， r,r,,112 ds,t,t故方程的通解为，?，，， ，，,C,C,Ctes,C，Cte21212dt ,4C,4C,,ds11,2s,4将，代入上两式得，解得 ,,t,0dtC,C,2C,6t,0212,, ,t故方程的特解为; ，，s,22，3te ,,,,y,8y，25y,0y,0y,4?，，; x,0x,0 2r,8r，25,0r,4,3i解:特征方程为，特征根为， 1,2 4x故方程的通解为， ，，y,eCcos3x，Csin3x12 4x,?， ，，，，y,e,,4C，3Ccos3x，4C,3Csin3x1221 C,0,1,0C,,1,y,0y,4将，代入上两式得，解得 ,,4x,0x,04C，3C,4C,12,2,3, 第15页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 44x故方程的特解为; y,esin3x3 ,,,,y，y,2cosx，，; ?y,2y,0x,0x,0 2r，r,0解:其对应的齐次方程的特征方程为 ,x解得:，，故对应的齐次方程的通解为 ，，yx,Ce，Cr,,1r,01212 ?不是特征方程的根，?设特解为 i，，y*x,acosx，bsinx ,,,求导得:， ，，，，y*x,,asinx，bcosxy*x,,acosx,bsinx,,,将，，代入原方程，化简得 ，，，，，，y*xy*xy*x a,,1b,a,2,,，故，解得， ，，，，b,acosx,a，bsinx,2cosx,,，，,a，b,0b,1,, 故特解为， ，，y*x,,cosx，sinx ,x从而非齐次线性方程的通解为; y,Ce，C,cosx，sinx12 ,x,?， y,,Ce，sinx，cosx1 ，,1,2CC,1C,,121,y,2y,0将，代入上两式得，解得 ,,x,0x,0,，1,0CC,212,, ,x故方程的特解为; y,e，2,cosx，sinx x,,,y,0y,1?，，. y,y,4xex,0x,0 2r,1,0解:其对应的齐次方程的特征方程为 x,x解得:，故对应的齐次方程的通解为 ，，r,,1yx,Ce，Ce1，212 x2x,,1?是特征方程的单根，?设特解为 ，，，，y*x,xax，be,，，ax，bxe 2x2x,,,求导得:,,，,, ，，，，，，，，y*x,ax，2a，bx，bey*x,ax，4a，bx，2a，2be ,,,，，代入原方程，化简得 将，，，，，，y*xy*xy*x 4a,4a,1,,4ax，2a，2b,4x，故，解得， ,,2a，2b,0b,,1,, 2x故特解为，，， y*x,，，x,xe 第16页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 x,xx2从而非齐次线性方程的通解为; y,Ce，Ce，e，，x,x12 x,xx2,?， y,Ce,Ce，e，，x，x,112 ，,0CC,1C,,121,将y,0，y,1代入上两式得，解得 ,,x,0x,0,,1,1CCC,,1122,, x,xx2故方程的特解为. y,e,e，e，，x,x ,x,,,3.设方程为，求在原点处与直线相切的那一条积分曲线. y,xy,y,2y,3e 2,x,,,r,r,2,0解:方程对应的齐次方程的特征方程为 y,y,2y,3e 2x,x解得:，故对应的齐次方程的通解为 ，，yx,Ce，Cer,2r,,11212 ,x?是特征方程的单根，?设特解为 ,,,1，，y*x,axe ,x,x,,,求导得:， ，，，，，，，，y*x,a1,xey*x,ax,2e ,,,将，，代入原方程，化简得 ，，，，，，y*xy*xy*x ,x,3a,3，解得a,,1，故特解为， ，，y*x,,xe 2x,x,x从而非齐次线性方程的通解为; y,Ce，Ce,xe12 2x,x,x,?， ，，y,2Ce,Ce，x,1e12 2,C,1,，,0CC,,312,y,0y,1由题意得，，代入上两式得，解得 ,,x,0x,022C,C,1,112,,C,,2,3, 222x,x,x故方程的特解为. y,e,e,xe33 ?5差分及差分方程的基本概念 习 题 6 — 5 1.对下列序列列出一阶、二阶的差分表: ?; ?; ? ,,,,,,2，5，6，4，3，2，,31，1，2，3，5，8，13，2122，31，31，31，22，22，31 第17页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 2ta,a,attt22taaataaa,,,,tttttt111212221025323193211,361,233109 431044,2,3431005521,,53,1152299683162,106220971352，，7,3,5,4473199821832.求下列函数的一阶、二阶差分: ?; a,lntt 2解:，，，，，; ，，,a,lnt，2,2lnt，1，lnt,a,lnt，1,lnttt ?; a,costt 2，，，，解:，; ，，,a,cost，2,2cost，1，cost,a,cost，1,costtt 2?. a,t,3t，5t 2解:，. ,a,2,a,2t,2tt 3.证明下列各等式: ?; ，，,uv,u,v，v,uttt，1ttt 解:. ，，，，，，,uv,uv,uv,uv,uv，uv,uv,u,v，v,uttt，1t，1ttt，1t，1t，1tt，1tttt，1ttt ,,uvuuv,,,ttttt,,?. ,,,,vvvttt，1,, ,,,,,,uuuuuuuvuuuvv，，，，,,,tt，1tt，1ttttt，1ttt，1t,,,,,,解: ,,,,,,,,,,,,,,vvvvvvvvvtt，1tt，1t，1tt，1tt，1,,,,,, ,,,vuuvtttt, . vvtt，1 4.确定下列方程的阶: 2y，ty,3y,t,1?; t，3t，1t 解:三阶.?; ，，t，3,t,3 ?. y，y,yt,2t，2t,4 第18页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 解:六阶.?. ，，，，t，2,t,4,6 知识点:方程中含有未知函数差分的最高阶数或方程中未知函数的最大下标与最小下标的差 数称为差分方程的阶. 5.设分别是下列拆分方程的解. U，V,Wttt ，， ，，，，y，ay,fty，ay,ftt，1t1t，1t2 . ，，y，ay,ftt，1t3 试证:是差分方程的解. ，，，，，，y，ay,ft，ft，ftZ,U，V，Wttttt，1t123 ，， 解:由题意得:，，，，，，ft,U，aUft,V，aVft,W，aW1t，1t2t，1t3t，1t ，，，，，，，，，，，，ft，ft，ft,U，aU，V，aV，W，aW123t，1tt，1tt，1t ，，，，,U，V，W，aU，V，W,y，ayt，1t，1t，1tttt，1t?是差分方程的解. ，，，，，，y，ay,ft，ft，ftZ,U，V，Wttttt，1t123 ?6一阶常系数线性差分方程 习 题 6 — 6 ，，i1.设是差分方程 yt ，，，，y，pty,ft，，i,1，2，？，mt，1ti m，，iy的解，试证是差分方程 ,ti,1 m ，，，，y，pty,ft ,t，1ti,1i 的解. ii，，，，，，，，解:由题意得:y，pty,ft， t，1ti mmmm，，，，，，，，iiii,,，，，，，，y，pty,y，pty,ft故 ,,,,，1，1tttti,1,1,1,1iiii mm，，i，，，，yy，pty,ft?是差分方程的解. ,,t，1titi,1,1i 2.求下列差分方程的通解及特解: 第19页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 特征根为r,,47,,y,? ; y,5y,3,,t0t，1t相应的齐次方程的通解为，， y,C,43,,t解:特征方程为 r,5,02因为，不是特征根， b,1，，ft,2t，t,1特征根为 r,5 *2t相应的齐次方程的通解为 故可设特解为: y,C5y,At，At，At210t 2,因为，不是特征根， b,1，，ft,3A,2,5,*故可设特解为: y,A1,t0代入原方程，再比较系数得 A,,125,3代入原方程，再比较系数得 A,,36,0A,,40,125,3*因此 y,,t36124*2ytt因此 ,,，，t3125255t从而原方程的通解为， y,,，C5t从而原方程的通解为 4 73612t2把初始条件代入，得相应的特解为 ， ，，y,y,,，t，t，C,40t3125255 337t把初始条件代入，得相应的特解为 y,1; y,,，50t412 3612161tt2? ; ; y，y,2，，，，y,2y,,，t，t，,4，10ttt125255125解:特征方程为 r，1,0t15,,r,,1特征根为 ? . y,y,，，y,,1,,，10tt22,,t，，y,C,1相应的齐次方程的通解为 t1解:特征方程为 r,,02t因为，b,2不是特征根， ，，ft,21r,特征根为 2*t故可设特解为:y,2,A 0tt1,,1相应的齐次方程的通解为 y,C,,t代入原方程，再比较系数得 A,20,,3 1t*t因此 y,255,,tb,，，因为ft,，不是特征根， 3,,22,,1tt从而原方程的通解为，，， y,2，C,1tt35,,*yA故可设特解为: ,,,0t把初始条件代入，得相应的特解为 y,202,, 151tt，，代入原方程，再比较系数得; A, y,2，,10t233 t2y，4y,2t，t,1? ，，; y,115,,t，t01*因此y, ,,t22,,r，4,0解:特征方程为 第20页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 从而原方程的通解为 tt1531,,,,; y,,tt,,,,t151,,,,2222,,,,， y,，C,,,,t222,,,, 把初始条件代入，得相应的特解为 y,,10 3.某人 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 最初存入银行1万元，以后每年年终再连续加存1千元，年后此人存款有多m少,试列出差分方程并计算.再用迭代法求出前四年的存款额(年利率为4%). 解:设是第年银行存款额，故(万)。由题意得(万)m，1y,1.04y,0.1yy,1m0m，1m m其特征方程为，解得，故其相应的齐次方程的通解为因r,1.04,0r,1.04y,C1.04m *为，不是特征根，故可设特解为:，代入原方程，再比较系数得b,1y,A，，fm,0.1m0 *m，因此，从而原方程的通解为，把初始条件y,,2.5y,,2.5，C1.04A,,2.5m0m m(万)代入，得相应的特解为(万);前四年的存款额:第y,,2.5，3.5，1.04y,10m 一年(万)，第二年(万)，第三年y,0.1，1.04y,1.14y,1y,0.1，1.04y,1.285601021(万)，第四年(万)(万). ,1.43702y,0.1，1.04y,1.43702432 4.某房屋总价8万元，先付一半就可入住，另一半由银行以年利率4.8%贷款，五年付清，问平均每月需付多少元,共付利息多少元, Q解:设是第个月还欠的款额，平均每月需付元，共付利息元，月利率为ytat y1.004ya,,,,1t，t0.048,y40000,，由题意得:，差分方程的特征方程为p,,0.004,012,y0,60, t，解得，故其相应的齐次方程的通解为，因为r,1.004,0r,1.004y,C1.004t *，b,1不是特征根，故可设特解为:y,A，代入原方程，再比较系数得，，ft,,at0 *t，因此y,250a，从而原方程的通解为y,250a，C1.004，把初始条件A,250at0t t，，代入，得相应的特解为y,250a，40000,250a，1.004，?， y,40000y,0060t a,751.19?解得元，?元， Q,60a,y,5071.40 答:平均每月需付751.19元，共付利息5071.4元. 5.若贷款2 500元，月利率为1%，要在12个月内用分期付款的方法偿还，平均每月要付款多少元,共付利息多少元, p,0.01Q解:设是第个月还欠的款额，平均每月需付元，共付利息元，月利率为，ytat 第21页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 y1.01ya,,,,1t，t,由题意得:y2500，差分方程的特征方程为，解得，故,r,1.01,0r,1.01,0 ,y0,12, t其相应的齐次方程的通解为，因为，不是特征根，故可设特解y,C1.01b,1，，ft,,at **为:，代入原方程，再比较系数得，因此，从而原方程的通y,Ay,100aA,100at0t0 t解为，把初始条件代入，得相应的特解为y,100a，C1.01y,25000t t，，，?，?解得元， y,100a，2500,100a，1.01a,222.12y,012t 元， ?Q,60a,y,165.440 答:平均每月需付222.12(222.13)元，共付利息165.44(165.56)元. 6.设某产品在第个时间段的价格为，总供给为，总需求为，且三者之间满足如下DPStttt关系: ，，. D,,4P，5S,2PS,Dtttt,1tt?求价格满足的差分方程; Pt 52解:由题意得:，变形得(); 2P,,4P，5P，P,P，2P,2tt,1t，1tt，1t2 ?已知时，求差分方程的解. P0 r,,2解:价格满足的差分方程的特征方程为r，2,0，解得，故其相应的齐次方程的Pt 5t*，，y,C,2通解为，因为f，，t,，b,1不是特征根，故可设特解为:y,A，代入t0t2 555t*原方程，再比较系数得，因此，从而原方程的通解为，把，，A,y,y,，C,20tt666 55,,t，，y,，P,，,2初始条件代入，得相应的特解为P,,0t066,, 55,,t，，y,，P,，,2(). ,,0t66,, 复习题六 1.填空题 22,,，，?微分方程xy,2y，x,0的阶数为 一阶 . 知识点:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数，称为微分方程的阶. 第22页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 ?设曲线上任一点处的切线与线段垂直，则该曲线所满足的微分方程为 OP，，Px，y dyx,,. dxy y,0ydyk,,解:曲线上任一点处的切线的斜率为k,，线段的斜率为， OP，，Px，y12dxx,0x dyx,,?两线垂直，?，解得. k,k,,112dxy dyyyy,，tan?微分方程的通解是. sin,Cxdxxxx dudxdududxy解:令得:，,， x，u,u，tanu,，lnCu,,,xtanuxdxtanux y，，?. lnsinu,lnx，lnCsinu,Cxsin,Cxx 12Cx1,,,，，y，y,0?微分方程的通解是. y,Ce，121,y dpdp1dpdy2,,,y,py,pp，p,0,解:令，则，代入方程后，得， dypy,1dy1,y dydy,,Cdx,Cdx，lnC，，， ，，，，lnp,lny,1，lnCy,p,Cy,111211,,，，，，,1yy,1 Cx1，?. y,Ce，1，，lny,1,Cx，lnC212 2x2x?设，，则它们所满足的二阶常系数线性齐次微分方程为 ，，，，yx,eyx,xe12 ,,,y,4y，4y,0. rx注:由题目所给的两个特解可以联想到，再由此构造方程. ，，y,C，Cxe12 tt，，?差分方程y,y,t2的通解为y,C，t,22. ，1ttt r,1r,1,0解:其特征方程为，特征根为，相应的齐次方程的通解为，因为y,Ct *tt，，，b,2不是特征根，故可设特解为:y,2,At，A，代入原方程，再比，，ft,t210t A,1,1*tt，，，，较系数得，因此y,t,22，从而原方程的通解为y,C，t,22. ,ttA,,20, 第23页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 51,,t，，y,C,5，t,?差分方程的通解为. 2y，10y,5t,0,,tt，1t126,, 55解:差分方程变形得,其特征方程为，特征根为，相应的r，5,0r,,5y，y,tt，1t2 5t，，齐次方程的通解为y,C,5，因为，不是特征根，故可设特解为:，，b,1ft,tt2 5,A,1,51,,,12**yt,,，代入原方程，再比较系数得，因此，从而原y,At，A,,,tt105126,,,A,,0,72, 51,,t，，y,C,5，t,方程的通解为. ,,t126,, ?某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以表示第年Wtt的工资总额(单位:百万元)，则满足的差分方程是. WW,1.2W，2ttt,1注:根据题目写出关系式. 2.选择题: ?下列方程中线性的是(A) xx,,(A). . (B)，，y,sinxy，ey,xsiny，e y,xy,cosy，1(D). ,(C). y,sinx，e 注:如果一个微分方程对于未知函数及其各阶导数是一次方程，则称它为线性微分方程. ,例如:一阶线性微分方程，二阶常系数线性微分方程，，，，y，pxy,qx ,,,(其中p，为常数)，一阶常系数线性差分方程q，，y,ay,ft，，y，py，qy,fxt，1t(a,0为常数). ?下列方程中齐次的是(D) 32xx,,. (B)y,y,(A). 2x，yx，y x，yx，y,y,(D). e,y,(C). xx dyy,,,,f注:例如:一阶齐次微分方程，一阶线性齐次微分方程，二阶，，y，pxy,0,,dxx,, ,,,y，py，qy,0p常系数线性齐次微分方程(其中，q为常数)，一阶常系数线性齐次差 第24页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 分方程(为常数). a,0y,ay,0t，1t ?下列方程中可分离变量的是(B) x2(A). . (B)，，sinxydx，edy,0xsinydx，ydy,0 2xy(C). (D). ，，，，1，xydx，ydy,0sinx，ydx，edy,0 dy注:能化为形如或的微分方程称为可分，，，，,xy,,，，，，，，，，MxMydx,NxNydy1212dx 离变量的微分方程. dy?给定一阶微分方程，下列结果正确的是(C) ,2xdx 22Cxx,15(A)通解为. . (B)通过点(1,4)的特解是 1522(C)满足的解为. x，ydx,2y,2x，3x，1(D)与直线相切的解为. ,03 dy2dy,2xdx解:微分方程，，解得通解为，故(A)错;?通过点(1,4)，,2xy,x，Cdx 12?y,4，代入通解得，?特解为，故(B)错;?满足，C,3y,x，3ydx,2,x,10 115115,,232，，x，Cdx,x，Cx,，C,2?，解得，?特解为，故(C)对;x，C,,,,03333,,0 2y,2x，3?与直线，易知在x,1相切，?1，C,5，解得C,4，?特解为，y,x，4故(D)错. ?若与是某个二阶线性齐次方程的解，则(为任意，，，，，，，，yxyxCyx，CyxC，C12112212常数)必须是该方程的(C) (A)通解. (B)特解. (C)解. (D)全部解. ，，，，yxyx11,k解:当不恒等于常数时，是方程的通解;当时，k，，，，Cyx，Cyx1122，，，，yxyx22 不是方程的通解.?只是该方程的解. ，，，，，，，，Cyx，CyxCyx，Cyx11221122 ?下列等式是差分方程的为(B) t. (B)2,y,y，t(A),3,y,3y，a. tttt 22(C),y,y,2y，y. (D),y,y，t. tt，2t，1ttt，1知识点:定义6.4(含有自变量，未知函数或未知函数的差分的方程称为差分方程. yyttt ?下列差分方程中阶数为二阶的是(A) t. (C),y,3y,3y，4y，3y,2(A). tt，2，1ttt 第25页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 22(B). y,3y,t(D). ,y,y，3tt，2t，1tt 形式，再算差分方程的阶数.注:全转化为，，Ft，y，y，？，y,0tt，1t，m t?函数是差分方程(C)的通解. y,C2，8t (A). . (B)y,3y，2y,0y,3y，2y,0t，2t，1ttt,1t,2(C). (D). y,2y,,8y,2y,8t，1tt，1t t注:?函数只有一个任意常数，?应为一阶差分方程的通解.再求(C)、(D)y,C2，8t 的通解，解得(C)对. 3.求微分方程 2222 y，，，，x,xy，ydx，xx，xy，ydy,0的通解. 22dyyx,xy，y，，2222解:方程式变形为，，x，，，，x，xy，ydy,,yx,xy，ydx,,22dx，，xx，xy，y 2yy,,1,，,,2du1,u，udyyyxx,,x，u,,u,，令得，化简得,,,u,22dxdxx1，u，uxyy,,1，，,,xx,, 32duu，u1121，u，u2,,，du,,dx，lnCx,,2,du,,dx，，，,,2,,23uxdx1，ux1，u，uu，u,, y,arctanCarctanuxuexy,Cearctanu，lnu,,2lnx，lnC，，?通解为. ,2x ,,,y,4y，3y,04.求微分方程的一条积分曲线，使其在点处与直线，，M0，20x,y，2,0相切. 2r,4r，3,0解:特征方程为，特征根为，，故方程的通解为r,1r,312 x3xx3x,,y,2y,1，?，由题意得，，代入上两式y,Ce，Cey,Ce，3Ce1212x,0x,0 5,C,1,，,2CC,51,122x3x,,得，解得，故方程的特解为. yee,,1C，3C,12212,,C,,2,2, 第26页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 2ut,dy，，,,2t,5.借助变量代换，，，求微分方程，，1，x,y满足初始y,x,tant,,22dxcost,, dy,1条件y,0，的特解. x,0dxx,0 ,dydydtutcost，utsint，，，，2,,解:由题意得:，，，，，y,,,,,cost,utcost，utsint2dxdtdxcost 2,,dydydydt2,,,,，，，，，，，，,,,,,,utcost,utsint，utsint，utcost,cost 2dxdtdxdx 33,, ，，，，,utcost，utcost 注:此题的思路是把二阶变系数线性微分方程通过变量代换变为二阶常系数线性微分方程. 但题目中的方程变量代换之后还是二阶变系数线性微分方程，我认为题目出错了，题目所给 222dydy22，，1，x,y，，1，x,y的微分方程应该是，书后给出的参考答案也验证的我的22dxdx 2y,1，xarctanx猜想.参考答案:. x6.设可微，且，求. ，，，，yx,ytdt，x，1，，，，y,yxyx,0 dydy,,dx解:等式两边求导得:，，，，,y，1，，，，，，yx,yx，1lny，1,x，lnCy，1dx xxxt，将上式代入等式得:，解得C,2，?，，Ce,1,Ce,1dt，x，1y,Ce,1,0 x. y,2e,1 7.设可微，且满足 ，，yx xx ，，，，，，x,tytdt,2x，ytdt,,00 试求. ，，yx xxxx解:，，，，，，，两边同时两次求导，，，，，xytdt,tytdt,2x，ytdtytdt,2，yx,,,,0000 xdyx,lny,x，lnC,dx，，，，将上式代入，，，，得:y,Ceytdt,2，yx，，，，yx,yx,0y xtxxC,,2，解得:，?. Cedt,2，Cey,,2e,0 8. 设可微，且满足 ，，fx 第27页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 x2xx ，，，，,,fx,e，eftdt,0 试求. ，，fx x,fxfx,fx，，，，，，22解:将等式变形为:，两边同时求导得:，，，,,，，,,,1，ftdt,fxx,x0ee dz,2,1,1xx,变形为，令，代入上式得:， ,,，，，，，，,,,,，，fxfx,fx,ez,fx，z,,edx,1dx1dxCCC1,,,,x,x2x,xx,,z,e,eedx，,e,edx，,e,e， ,,,,,,2222,,,, x2fx，，22?fx,，将上式代入得:3，?fx,. ，，，，C,，，,,,1，ftdt,xx,xx,x0Ce,e3e,ee x2,,,9. 设满足且在处的切线与曲线在该点y,3y，2y,2e，，，，，，y,x,x，1yxyx0，1 的切线重合，求. ，，yx 2r,3r，2,0解:微分方程对应的齐次方程的特征方程为，解得:，，故对r,1r,212 x2x应的齐次方程的通解为?是特征方程的单根，?设特解为，，,,1yx,Ce，Ce12 xxx,,,,,,求导得:，将，，，，，，，，，，，，y*x,axey*x,ax，1ey*x,ax，2e，，，，y*xy*x x代入原方程，化简得,a,2，解得a,,2，故特解为，从而非齐，，y*x,,2xe，，y*x x2xxx2x2xx,次线性方程的通解为，?，由y,Ce，Ce,2xey,Ce，2Ce,2e,2xe1212 ，,1CC,1C,,121,y,1y,,1题意得，代入上两式得，解得，故方程,,x,0x,0，2,2,,1CCC,0122,, xx的特解为. y,e,2xe 310.已知某商品的需求量对价格p的弹性，而市场对该商品的最大需求量为1,,,3px (万件)，求需求函数. 3pdx323,p,解:由题意得:，，，，?,x,,,3p,,3pdp,lnx,,p，lnCx,Cexx 3,px,1市场对该商品的最大需求量为1(万件)，即，?C,1，故需求函数为. x,ep,0 ,11.设有微分方程，其中 ，，y,2y,,x 2，若x,1，,x, ，，,,0，若x,1，, 第28页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 试求在内的连续函数，使之在和内都满足所给方程，，，，，，，，，,,，，,y,yx,,，11，，,且满足条件. ，，y0,0 dy2x,y,2y,0,2dx解:?当时，，，，;?当时，x,1x,1y,Celny,2x，lnC11y 2x,y,2y,2，由?可知，其对应的线性齐次方程的通解为，故设原方程为y,Ce 2x2x2x2x,,,，求导得将上两式代入原方程，化简得，，，，，，，，，y,Cxey,Cxe，2CxeCxe,2 2,x2x?，故原方程的通解为;?在内连续，，Cx,,e，Cy,Ce,1，，，，y,yx,,，，,22 222,,,,,1,,CeCeC1e121且满足条件，?，解得，?，，y0,0,,C,1,0C,122,, 2x,e,1，若x,1,y，，x,. ,,22x,，，1,ee，若x,1, 12.在经济关系中，净利率与广告费之间的关系为:净利率随广告费的增加率正比于常px 数与净利率之差.已知当时，，试求净利率与广告费之间的函数关系.px,0pp,pax0 又当广告费无限增加时，净利润趋于何值, dp,kx,,kdx解:由题意得:，，，，p,a,Ce，，，，p,ka,p,lna,p,kx,lnCa,p ,kx?已知当x,0时，?，故，，，p,a， p,a,a,pep,pC,a,p000limx,, ,kx答:净利率，，p与广告费之间的函数关系为p,a,a,pe，又当广告费无限增加时，x0净利润. a 1,,,13.设方程，，有两个特解，，且，求，y，y,qxy,0，，，，，，，，，，yxyxyxyx,1qx1212x 并求出方程的通解. ,yx，，11,，，，，yxyx,,,解:由题意得:，， 222，，yx，，yx11 222,,,,,,yxyxyxyxyxyx，，，，，，，，，，，，,22111111,,yx，?，是方程的特，，，，，，yxyx,,,,，212423，，，，，，yxyxyx111 1,,,,，，，，，，，，yx，yx,qxyx,0，?111,,x,,,解，?，将，，和?式代入?式，，，，，，，yxyxyx,2221,,,,，，，，，，，，yx，yx,qxyx,0，?222,x, 第29页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 2,yx，，1,化简得，即，，，，，，， yx,qxyx，，,qx112，，yx1 ,,qxyxqxyx，，，，，，，，11,,,,,,，将，代入?式化,，,，，，，，，，，，，，yxqxyxqxyx，，，，yxyx11111，，，，22qxqx 211,,，，，解得，?，解得，简得qx,，，，，，，，，qx,,qxyxyx，，yx,kx,1112xCx，，Cx 111，，yx，将qx,，代入?式得，?， C,1，，，，,，，yx,Cxqx,21122kxx，，Cx C，，yx2212,kxycyxcyxCx?不恒等于一个常数，?; ，，，，,，,，11221，，yxx2 C12答:，yCx. ，，,，qx,12xx b14.设为非零常数，且，试证:通过变换u,y,，可将非齐次方程 a，b1，a,0tt1，a y，ay,bt，1t 变换为的齐次方程，并由此求出的通解. uytt bab解:由题意得，化简得，是关于的齐次方程; u，au,0u，，au，,but，1tt，1tt11，a，a btt，，y,C,a，u,C,a特征方程为r，a,0，特征根为，?通解为，即，，. r,,att1，a abyy，1tt,z,15.已知差分方程，其中a，b，c，d均为正常数，试证:经代换，tcdyy，yt，1t，1t 可将化为关于的线性差分方程，并由此找出原方程的通解. zt ac1，b,，dz,解:差分方程变形为，令得:，az，b,cz，dttt，1yyyttt，1 abda,zz，是关于的线性差分方程;?当时，其特征方程为，r,,0za,c,,t，1ttccc taab,d,,z,Cr,ft,b,1特征根为，相应的齐次方程的通解为，因为，，，不是特,,tccc,, b,db,d**z,A,z,A征根，故可设特解为:，代入原方程，再比较系数得，因此，t00tc,ac,a 第30页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 tab,d1,,y,从而原方程的通解为z,C，，?;?当时，方程a,c,,tttcc,a,,ab,d,,C，,,cc,a,, bd,zz应为，其特征方程为，特征根为r,1，相应的齐次方程的通解r,1,0,,t，1tc b,d*为，因为ft,，是特征根，故可设特解为:，代入原方程，z,C，，b,1z,Attt0c b,dbdbd,,*再比较系数得，因此，从而原方程的通解为，?A,zCtzt,，,0ttccc 1,y,，a,c时，tt,ab,d,,,C，c,,,y,;答:原方程的通解为cc,a,,,t，，Cc，b,dt,c,y,，a,c时，t,，，Cc，b,dt, 1,y,，a,c时，tt,ab,d,,,C，,,,cc,aC()(为任意常数). ,,, t,c,y,，a,c时，ttt,，，Cc，b,d, 16.设I为时期的国民收入，为时期的消费，为投资(各时期相同).设三者有关系 yCtttt ，， C,,y，,y,C，Itttt,1 ,,0其中0,,,1，，已知，试求和. yyC0tt 解:由题意得:，，其特征方程为r,,,0，特征y,,y，,，Iy,,y,I，,tt,1t，1t t根为，相应的齐次方程的通解为，因为，不是特征根，y,C,b,1，，ft,I，,r,,t ,,，，II**,,故可设特解为:y,A，代入原方程，再比较系数得，因此，从yAt00t1,,1,, ,I，t,y,C，而原方程的通解为，把代入，得相应的特解为y0t1,, I，I，I，I，,,,,,,,,,tty,y,，C,y,，，代入得:.C,,y，,,,,,,,00tttt,11,a1,a1,a1,a,,,, 第31页 《微积分》 主编:苏德矿、金蒙伟 高等教育出版社 2004年7月第1版 课后习题参考答案详解 第32页