高中数学知识点总结(文科)

高中数学 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 总结(文科) 高中数学知识点总结 第一章——集合与简易逻辑 集合——知识点归纳 定义:一组对象的全体形成一个集合表示法:列举法{1,2,3,„}、描述法{x|P} 分类:有限集、无限集数集:自然数集N、整数集 、包含于 (或Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集φ关系:属于?、不属于 )、真包含于、集合相等,运算:交运算A?B,{x|x?A且x?B}; 并运算A?B,{x|x?A或x?B}; 补运算CUA,{x|x A且x?U}，U为全集 性质:A A; φ A; 若A B，B C，则A C; A?φ,φ;A?φ,A; A?A,A?A,A; A?B,A A?B,B A B; A?CUA,φ; A?CUA,I;CU( CUA),A; CU(A B),(CUA)?(CU方法:韦恩示意图, 数轴 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 注意:? 区别?与、与 、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}; ? A B时，A有两种情况:A,φ与A?φ?若集合A中有n(n N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2，所有真子集的个数是2-1, 所有非空真子集的个数是2,2 nnn ?区分集合中元素的形式:如A {x|y x2,2x,1};B {y|y x2,2x,1};C {(x,y)|y x2,2x,1};D {x|x x2,2x,1};E {(x,y)|y x2,2x,1,x Z,y Z}; yF {(x,y’)|y x2,2x,1};G {z|y x2,2x,1,z x ?空集是指不含任何元素的集合{0}、 和{ }的区别;0与三者间的关系空集是任何集 1 ?符号“ , ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ;符号“Ø, ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 绝对值不等式——知识点归纳 1 x a与x a(a 0)型不等式ax,b c与ax,b c(c 0)型不等式的解法与解集: 不等式x a(a 0)的解集是x,a x a; 不等式x a(a 0)的解集是xx a,或x ,a 不等式ax,b c(c 0)的解集为 x|,c ax,b c (c 0); 不等式ax,b c(c 0)的解集为 x|ax,b ,c,或ax,b c(c 0) 2解一元一次不等式ax b(a 0) ?a 0, xx b ?a 0, xx a b a 3韦达定理: 2方程ax,bx,c 0(a 0)的二实根为x1、x2， b x,x ,2 12a 则 b,4ac 0且 c x1x2 a 0 ?两个正根，则需满足 x1,x2 0， xx 0 12 0 ?两个负根，则需满足 x1,x2 0， xx 0 12 0?一正根和一负根，则需满足 xx 0 12 42 对于一元二次不等式ax2,bx,c 0或ax2,bx,c 0,a 0,，设相应的一元二次方程ax2,bx,c 0,a 0, 的两根为x1、x2且x1 x2， b2,4ac，则不等式的解的各种情况如下表: 方程的根? 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 草图?观察得解，对于a 0的情况可以化为a 0的情况解决注意:含参数的不等式ax2，bx，c>0恒成立问题 含参不等式ax2，bx，c>0的解集是R;其解答分a,0(验证bx，c>0是否恒成立)、a?0(a<0且?<0)两种情况简易逻辑——知识点归纳命题可以判断真假的语句; 或、且、非; 简单命题 不含逻辑联结词的命题; 复合命题由简单命题与逻辑联结词构成的命题 三种形式p或q、p且q、非p 真假判断 p或q，同假为假，否则为真; p且q，同真为真, 否则为假; 非p，真假相反 原命题若p则q;逆命题 若q则p若 p则 q若 q则 p; 3 充要条件 条件p成立 结论q成立，则称条件p是结论q的充分条件， 结论q成立 条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件， 条件p成立 结论q成立，则称条件p是结论q的充要条件， 第二章——函数 函数定义——知识点归纳 1A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x?A，其中x叫做自变量的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}叫做函数的值域2A、值域C和对应法则f数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同3映射的定义:一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应(包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A?由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集4原象的理解:(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象;(3)A中每一个元素的象唯一1 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系 (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系 2 (1)已知函数类型，求函数的解析式:待定系数法; 4 (2)已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x):换元法、配凑法; (3)已知函数图像，求函数解析式; (4)f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等题型讲解例1(1)已知f(x,) x,1 x31，求f(x); 3x (2)已知f(,1) lgx，求f(x); (3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x,1),2f(x,1) 2x,17，求f(x); 2x 1 x 111313解:(1)?f(x,) x,3 (x,),3(x,)， xxxx(4)已知f(x)满足2f(x),f() 3x，求f(x)?f(x) x3,3x(x 2或x ,2)2,1 t(t 1)， x 222 (x 1)则x ，?f(t) lg，?f(x) lgt,1t,1x,1(2)令 (3)设f(x) ax,b(a 0)， 则3f(x,1),2f(x,1) 3ax,3a,3b,2ax,2a,2b ax,b,5a 2x,17， ?a 2，b 7，?f(x) 2x,(4)2f(x),f() 3x ?， 1 x 113，得2f(),f(x) ?， xxx3? 2,?得3f(x) 6x,，?f(x) 2xx把?中的x换成 注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数，可用待定系数法;第(4)题用方程组法定义域和值域——知识点归纳5 由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练1 (1)已知函数类型，求函数的解析式:待定系数法; (2)已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x):换元法、配凑法; (3)已知函数图像，求函数解析式; (4)f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 2 (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义; (3)已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域: ?掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ?若已知f(x)的定义域 a,b ，其复合函数f g(x) 的定义域应由a g(x) b解出 3 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的(1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运?直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R; 反比例函数y k(k 0)的定义域为 {x|x 0}，值域为{y|y 0}; x 二次函数f(x) ax2,bx,c(a 0)的定义域为R， 2(4ac,b)}; 当a>0时，值域为{y|y 4a 2(4ac,b)}当a<0时，值域为{y|y 4a 6 ?配方法:转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:f(x) ax2,bx,c,x (m,n)的形式; ?分式转化法(或改为“分离常数法”) ?换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想; ?三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域; 转化成型如:y x,k(k 0)，利用平均值不等式公式来求值域; x ?单调性法:函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域 ?数形结合:根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 ?逆求法(反求法):通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围;常用来解，型如:y 单调性——知识点归纳ax,b,x (m,n) cx,d 1 2证明函数单调性的一般方法: ?定义法:设x1,x2 A且x1 x2;作差f(x1),f(x2)(一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出);判断正负号’(x A) ?用导数证明: 若f(x)在某个区间A内有导数，则f(x) 0， (x) 0，(x A) f(x)在A f(x)在A内为增函数;f’ 3 求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法 4y f g(x) 在公共定义域上的单调性: ?若f与g的单调性相同，则f g(x) 为增函数; ?若f与g的单调性相反，则f g(x) 为减函数注意:先求定义域，单调区间是定义域的子集5 ?奇函数在其对称区间上的单调性相同; ?偶函数在其对称区间上的单调性相反; ?在公共定义域内: 7 增函数f(x),增函数g(x)是增函数; 减函数f(x),减函数g(x)是减函数; 增函数f(x),减函数g(x)是增函数; 减函数f(x),增函数g(x)是减函数 ?函数y ax, b(a 0,b 0)在 , ,或, 上单调递增; 在 x 或 0上是单调递减 奇偶性——知识点归纳 (1)定义域关于原点对称;(2)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称; 3f(x)为偶函数 f(x) f(|x|) 4f(x)的定义域包含0，则f(0) 5使定义域不受影响; 6 7判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f(x) f(,x) 0，f(x) f(,x)8设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇 1形式:f(,x)= f(x) f(,x) ,f(x)=0; 2 30，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件; 4y轴对称，因此根据图象的对称性可以判 8 断函数的奇偶性5T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域 则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期反函数——知识点归纳1 2y f(x)与y f,1(x)互为反函数，函数y f(x)的定义域为A、值域为B，则f[f,1(x) ]x (x，B)f,1[f(x)] x(x A); 3y x对4求反函数的一般方法: (1)由y f(x)解出x f,1(y)，(2)将x f,1(y)中的x,y互换位置，得 ,1(3)求y f(x)的值域得y f(x)的定义域y f,1(x)， 二次函数——知识点归纳二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系 21:二次函数y ax,bx,c的图象的对称轴方程是x ,b，2a b4ac,b2 顶点坐标是 ,2a4a 2)有三种形式，即f(x) ax,bx,c(一般式)，f(x) a(x,x1) (x,x2(零点式)和 f(x) a(x,m)2,n3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论:令f(x)=ax2+bx+c (a>0) 9 0 0 (1)x1<α,x2<α ,则 ,b/(2a) ; (2)x1>α,x2>α,则 ,b/(2a) af( ) 0 af( ) 0 0 0 f( ) 0 (3)α<x1< ,α<x2< ,则 (4)x1<α,x2> (α< ),则 f( ) 0 f( ) 0 f( ) 0 ,b/(2a) (5)若f(x)=0在区间(α, )2的符号;?对称轴与区间的相对位置5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系: ? 0 f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点 ax2+bx+c=0无实根 ax2+bx+c>0(<0) 的解集为 或者是R; ? 0 f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切 ax2+bx+c=0有两个相等的实根 ax2+bx+c>0(<0)的解集为 或者是R; ? 0 f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点 ax2+bx+c=0有两个不等的实根 ax2+bx+c>0(<0)的解集为( , )( )或者是(, , ) ( ,, )指数对数函数——知识点归纳1 ?当n为任意正整数时，(a)=an?当n为奇数时，an=a;当n为偶数时，an=|a|= np a(a 0) ,a(a 0)?根式的基本性质:(a 0)amp am， 2 10 am an am,n(m,n Q) (a) amnmn(m,n Q) (ab)n an bn(n Q) 3y ax(a 0且a 1) 4ab N logaN b5 loga1 0，logaa 对数恒等式alogaN N6对数的运算法则 如果a 0,a 1,N 0,M 0有 loga(MN) logaM,logaN M logaM,logaN N mloganMm logaM nloga 7 logaN logmN ( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m logma 8: ?logab logba 1， logab logbc logca 1? logamb nnlogab( a, b > 0且均不为1m 9 11 y ax与对数函数y logax互为反函数 11 (1) af(x)=b f(x)=logab, logaf(x)=b f(x)=ab; (定义法) (2) af(x)=ag(x) f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x) f(x)=g(x)>0(转化法) (3) af(x)=bg(x) f(x)logma=g(x)logmb(取对数法) (4) logaf(x)=logbg(x) logaf(x)=logag(x)/logab(换底法) 函数图象变换——知识点归纳1域;?化简函数的解析式;?讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);?描点连线，画出函数的图象 2 3识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4(1)水平平移:函数y f(x,a)的图像可以把函数y f(x)的图像沿x轴方向向左(a 0)或向右(a 0)平移|a|个单位即可得到; 12 (2)竖直平移:函数y f(x),a的图像可以把函数y f(x)的图像沿x轴方向向上(a 0)或向下(a 0)平移|a|个单位即可得到 ? y=f(x) y=f(x+h); ? y=f(x) y=f(x,h); ?y=f(x) y=f(x)+h; ?y=f(x) y=f(x),h 左移h右移h上移h下移h 5对称变换:(1)函数y f(,x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于y轴对称即可得到; (2)函数y ,f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于x轴对称即可得到; (3)函数y ,f(,x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于原点对称即可得到; (4)函数y f,1(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于直线y x?y=f(x) y= ,f(x); ?y=f(x) y=f(,x); 直线x ax轴y轴 ?y=f(x) y=f(2a,x); ?y=f(x) y=f,1(x); 直线y x ?y=f(x) y= ,f(,x)原点 6(1)函数y |f(x)|的图像可以将函数y f(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y f(x)的x轴上方部分即可得到; (2)函数y f(|x|)的图像可以将函数y f(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y f(x)在y轴右边部分即可得到 7伸缩变换:(1)函数y af(x)(a 0)的图像可以将函数y f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a 1)或压缩(0 a 1)为原来的a倍得到; (2)函数y f(ax)(a 0)的图像可以将函数y f(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a 1)或压缩(0 a 1)为原来的1倍得到 a 13 ?y=f(x) y=f(x x );? y=f(x) y=ωf(x)y 数列定义——知识点归纳 (1)一般形式:a1,a2, ,an (2)通项公式:an f(n) (3)前n项和:Sn a1,a2, an及数列的通项an 与前n项和Sn 的关系: (n 1) S1 Sn a1,a2, an an S,S(n 2)n,1 n 等差数列——知识点归纳 1: ?如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示2: ?定义法:对于数列 an ，若an,1,an d(常数)，则数列 an ?等差中项:对于数列 an ，若2an,1 an,an,2，则数列 an 是等差数列3: ?如果等差数列 an 的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为an a1,(n,1)d该公式整理后是关于n的一次函数4n项和: ?Sn n(a1,an)n(n,1)d ?Sn na1,22对于公式2整理后是关于n5: ?如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即:A a,b或22A a,b 在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项5: 如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m n，公差为d，则有an am,(n,m)d 14 ? an ，若n,m p,q，则an,am ap,aq也就是:a1,an a2,an,1 a3,an,2 k N，?若数列 an 是等差数列，那么Sk，Sn是其前n项的和，S2k,Sk，S3k,S2k* S3k a1,a2,a3, ,ak,ak,1, ,a2k,a2k,1, ,a 3k , , , SkS2k,SkS3k,S2k 6 ?设数列 an 是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，则有如下性质: 前n项的和Sn S奇,S偶 当n为偶数时，S偶,S奇 nd，其中d为公差; 2 S奇n,1n,1n,1 ，a中，S偶 a中，S偶n,122当n为奇数时，则S奇,S偶 a中，S奇 S,S偶Sn 奇 n(其中a中是等差数列的中间一项)S奇,S偶S奇,S偶 7n项和与通项的关系: ?若等差数列 an 的前2n,1项的和为S2n,1，等差数列 bn 的前2n,1项的和为’S2n,1，则an bn2n,1 等比数列——知识点归纳 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q 0) 2a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b也就是，如果是 的等比中项，那么 3 Gb2 ，即G abaG ?定义法:对于数列 an ，若an,1 q(q 0)，则数列an 2 an 是等比数列 ?等比中项:对于数列 an ，若anan,2 an,1，则数列 an 是等比数列 15 4等比数列的通项公式:如果等比数列 an 的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为an a1qn,1或着an amqn,5n项和: a,anqa1(1,qn)(q 1) (q 1) ?1Sn 2Sn 1?1,q1,q 3当q 1时，Sn na1 ? 当q 1时，前n项和必须具备形式Sn A(qn,1),(A 0)6 ?等比数列任意两项间的关系:如果ann项，am是等差数列的第m项，且m nq，则有an amqn,m ? an ，若n,m u,v，则an am au av 也就是: a1 an a2 an,1 a3 an,2 a1 an a,a2,a3, ,an,2,an,1,an 如图所示:1, a2 an,1 ?若数列 an Sn是其前n项的和，k N*，那么Sk，S2k,Sk，S3k,S2k成如下图所示: S3k a1,a2,a3, ,ak,ak,1, ,a2k,a2k,1, ,a3k , , , SkS2k,SkS3k,S2k 1n项和公式: Sn=na1,n(a1,an)n(n,1)n(n,1)d Sn=d Sn=nan,222 当d?0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0; 当d=0时(a1?0)，Sn=na1是关于n的正比例式2n项和公式: 当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式); a,anqa1(1,qn)当q?1时，Sn= Sn=1 1,q1,q 16 3an=2n+3n 4an=(2n-1)2n (非常数列的等差数列与等比数列的积的形式) 5an=1/n(n+1) 11, nn,1 (分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式) n6an=nC100 7{an}的最大、最小项的方法: 0 ?an+1-an=„„ 0 如an= -2n2+29n-3 0 an,1 an 19n(n,1) 1 (an>0) 如an= n10 1 ?? an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=数列的综合应用——知识点归纳 1n项和的关系:Sn an a1,(n 1) Sn,Sn,1,(n 2) 2 若an,an,1 f(n),(n 2)， 则a2,a1 f(2) ， a3,a2 f(3)，„„„， an,an,1 f(n) an,a1 f(2),f(3), f(n) 3迭乘累乘法: 若anaaa g(n)，则2 g(2)，3 g(3)，„„„，n g(n) an,1a1a2an,1an g(2) g(n) a1 1111 (,) (An,B)(An,C)C,BAn,BAn,C 4裂项相消法:an 17 5 an bn cn, bn 是公差d?0等差数列， cn 是公比q?1等比数列 Sn b1c1,b2c2, ,bn,1cn,1,bncn 则qSn b1c2, ,bn,1cn,bncn,1 所以有(1,q)Sn b1c1,(c2,c3, cn)d,bncn,1 6an bn cn 7 an 成等差数列 ba (b>0,b 1)成等比数列 n an 成等差数列 can,d (c 0)成等差数列 an 成等比数列 logban 成等差数 列 an 成等比数列 ank 成等比数列 an 0 an 成等差数列 an An,B Sn An2,Bn an (q 1)成等比数列 Sn A(qn,1)(A 0) 9 Sn an (|q|<1)成等比数列 S limn 第四章三角函数 1 和 终边相同: ,k 360 k Z 2 18 31弧度角 角度制与弧度制的互化:180 1 180 1弧度 180 57.3 4l | |r ( 是圆心角的弧度数) 5扇形面积公式:S 11 lr | |r2 22 任意角的三角函数、诱导公式——知识点归纳 1三角函数的定义:以角 的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角 的终边上任取一个异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为 r(r 0)，那么 sin yxy; cos ; tan ; rrxrxr ; sec ; csc xyy (cot 2三角函数的符号: 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知:?正弦值 y 对于第r 一、二象限为正(y 0,r 0)，对于第三、四象限为负(y 0,r 0);?余弦值 x 对r 于第一、四象限为正(x 0,r 0) ，对于第 19 二、三象限为负(x 0,r 0);?正切值二、四象限为负(x,yy 对于第一、三象限为正(x,y同号)，对于第x 说明:若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 3 4 5奇变偶不变，符号看象限”。 诱导公式一:sin( ,2k ) sin ，cos( ,2k ) cos ，其中k Z诱导公式二: sin(180 , ) ,sin ; cos(1 8,0 ),cos 诱导公式三: sin(, ) ,sin ; cos(, ) cos 诱导公式四:sin(180, ) sin ; cos(180, ) ,cos 诱导公式五:sin(360, ) ,sin ; cos(360, ) cos 20 (1)要化的角的形式为k 180 (k为常整数); (2)记忆方法:“函数名不变，符号看象限”。 1sin csc 1，cos sec 1，tan cot 12sin cos tan ， cot 3sin2 ,cos2 1，1,tan2 sec2 ，221,cot csc 两角和与差的正弦、余弦、 正切——知识点归纳 1 sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos sin sin ; tan( ) 2 sin2 2sin cos ; cos2 cos2 ,sin2 2cos2 ,1 1,2sin2 ; tan2 3 sin cos 11,cos2 2sin 2 ;sin2 2 2;cos 4 sin 1,cos ,cos 2 2;cos 2 1 2 tan sin 2 1,cos 1,cos sin 5 21 ; 2tan sin 1,tan 2;cos 2 1,tan21,tan ;tan 2 2tan1,tan 22 2 6 11 sin cos [sin( , ),sin( , )];cos sin [sin( , ),sin( , )]; 2211 cos cos [cos( , ),cos( , )];sin sin ,[cos( , ),cos( , )] 22 7 sin ,sin 2sin , 2222 , , , cos ,cos 2coscos;cos ,cos ,2sin222cos , ;sin ,sin 2cos , sin , ; 8 sin3 =3sin ,4sin cos3 =4cos ,3cos 9辅助角公式:asinx,b cosx 33 sin,x, , 其中sin cos 1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 22 2三角函数的单调区间: y sinx的递增区间是 2k ,，2k , (k Z)， 22 递减区间是 2k , 2，2k ,3 (k Z); 2 y cosx的递增区间是 2k , ，2k (k Z)， 递减区间是 2k ，2k , (k Z)， y tgx的递增区间是 k ,，k , (k Z)， 22 y ctgx的递减区间是,k ，k , ,(k Z)(其中A 0， 0)3y Asin( x, ),B 最大值是A,B，最小值是B,A，周期是T 2 ，频率是f ，相位是2 x, ，初相是 ;其图象的对称轴是直线 x, k , 直线y B的交点都是该图象的对称中心 2(k Z)，凡是该图象与4由y,sinx的图象变换出y,sin(ωx， )的图象一般有两个途径，只有区别开这两利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现变形，请切记每一个变换总是对字母x而言， 即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y,sinx的图象向左( ,0)或向右( ,0)平移, ,个单位，再将图象上各点 23 的横坐标变为原来的1 倍(ω,0)，便得y,sin(ωx， )途径二:先周期变换(伸缩变换)先将y,sinx的图象上各点的横坐标变为原来的 或向右( ,0,平移1 倍(ω,0),再沿x轴向左( ,0)| | 5 由y,Asin(ωx， )的图象求其函数式: 个单位，便得y,sin(ωx， )给出图象确定解析式y=Asin(ωx+ )的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点(,0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置(( ， 6对称轴与对称中心: y sinx的对称轴为x k , ，对称中心为(k ,0) k Z; y cosx的对称轴为x k ，对称中心为(k , ; ,0) 对于y Asin( x, )和y Acos( x, )来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系7求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 式，要特别注意A、 的正负,并且在同一单调区间; 8求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“y Asin( x, )、y Acos( x, )”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法y=Asin(ωx+ )的简图: 五点取法是设x=ωx+ ，由x取0、 描点作图π3π、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再22 三角函数的最值及综合应用——知识点归纳 1=asinx+bcosx型函数最值的求法:常转化为y = (x+ ) 2=asin2x+bsinx+c型常通过换元法转化为y=at2+bt+c型: 3=asinx,b型 ccosx,d (1)当x R时，将分母与y乘转化变形为sin(x+ ),f(y)型 (2)转化为直线的斜率求解(特别是定义域不是R时，必须这样作) 24 4(同角的正弦余弦的和差与积的转换: 同一问题中出现sinx,cosx,sinx,cosx,sinx cosx，求它们的范围，一般是令 t2,1t2,1或sinx cosx ,，转化sinx,cosx t或sinx,cosx t sinx cosx 22 为关于t5(已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值: 如已知tanx 2，求sin2x,2sinx cosx,cos2x,4 22的值2式子的分母1用sinx,cosx代换，然后分子分母同时除以cosx化为关于tanx的表达6(几个重要的三角变换: sin α cos α可凑倍角公式; 1?cos α可用升次公式; 1?sin α 可化为1 cos , ，再用升次公式; 2 或1 sin sin cos 22 2 asin ,bcos a2,b2sin, , ,(其中 tan 掌握( b)这一公式应用广泛，熟练a 7单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的( 8三角函数的图象的掌握体现:把握图象的主要特征(顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等);应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图( 9 ? 函数y = sin (x，φ)是奇函数 k ,k Z,( ? 函数y = sin (x，φ)是偶函数 k , ? 函数y =cos (x，φ)是奇函数 k , ? 函数y = cos (x，φ)是偶函数 k 25 2,k Z,( ,k Z,( 2,k Z,( 正切函数f (x) = tan x，x k , 2,k Z, ，在每一个区间 k ,，k , 22 增函数( ,k Z,上都是增函数，但不能说f (x) = tan x在其定义域上是 第五章平面向量 平面向量的基本运算——知识点归纳 1 ?向量:既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c„„来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如: AB，a;坐标表示法a xi,yj (x,y 向 量的大小即向量的模(长度)，记作|AB|即向量的大小，记作,a 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小( ?零向量:长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行a,0 , a,,由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件((注意与0的区别) ?单位向量:模为1向量a0为单位向量 ,a0,, ?平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量 线上a?b(即自由向量) 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的( ?相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为a b小相等，方向相同 (x1,y1) (x2,y2) 2向量加法 x1 x2 y1 y226 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设AB a,BC b，则a+b=AB,BC=AC (1)0,a a,0 a;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时，用三角形法则(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: ( AB,BC,CD, ,PQ,QR AR，但这时必须“首尾相连” 3 ? 相反向量:与a长度相等、方向相反的向量，叫做a 记作,a,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有: (i),(,a)=a; (ii) a+(,a)=(,a)+a=0; (iii)若a、b是互为相反向量，则a=,b,b=,a,a+b=0 ?向量减法:向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， 记作:a,b a,(,b ?作图法:a,b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4 ?实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下: (?) a a; (?)当 0时，λa的方向与a的方向相同;当 0时，λa的方向与a的方向相 反;当 0时， a 0，方向是任意的?数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5 27 向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b= a6 如果e1,e2是一个平面 1在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j 作为基底该平面内的任一向量a可表示成a xi,yj，由于a与 数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位2 (1) 若a ,x1,y1,,b ,x2,y2,，则a b ,x1 x2,y1 y2, (2) 若A,x1,y1,,B,x2,y2,，则AB ,x2,x1,y2,y1, (3) 若a=(x,y)，则 a=( x, y) (4) 若a ,x1,y1,,b ,x2,y2,，则a//b x1y2,x2y1 0 (5) 若a ,x1,y1,,b ,x2,y2,，则a b x1 x2,y1 y2 28 若a b，则x1 x2,y1 y2 0 和性质 29 平面向量的数量积——知识点归纳 1 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为 ，则a?,b,cos b=,a,? 叫做a与b规定0 a 0 a b2b,cos =?R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射|a| 3 a?b等于a的长度与b在a4a a a2 |a|2 5 ,,,, ,a b, a 2a b,b22 2 2 2 2a,b a,b a,b a,b; 2 2 2 a 2a b,b 6 ?交换律成立:a b b a ?对实数的结合律成立:, a, b a b a b, R, ,, a?分配律成立:, b, c a c b c c ,a b, 特别注意:(1)结合律不成立:a ,b c, ,a b, c; (2)消去律不成立a b a c不能 (3)a b=0不能,, b c a=0或b=07 b=x1x2,y1y已知两个向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则a? 8向量的夹角:已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则?AOB= (0 180)叫做向量a与b的夹角00 30 x1x2,y1y2 a bcos =cos a,b =2222a bx1,y1 x2,y2 00当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=0，当且仅当a与b反方向时θ=180，同时0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 09a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a?b: a?b a?b,O x1x2,y1y2 1线段的定比分点定义:设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1,P2的任意一点， 则存在一个实数，使PP叫做点P分有向线段PP1 PP2，12所成的比当点P在线段 0;当点P在线段PP <0PP12上时，12或PP12的延长线上时， ， 2P分有向线段PP12所成的比是 1 OPOP2(O为平面内任意点) 则OP 1,1, 1, x1, x2 1, ,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)y1, y2 1, x1,x2 x 2 4: 当 =1时，分点P为线段PP的中点，即有 12y,y2 y 1 2 xA,xB,xC x 35 ABC的重心坐标公式: yA,yB,yC y 3 x 3: y 6: 设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’，我们把这一过程叫做图形的平移 7平移公式: 设点P(x,y)按向量a (h,k)平移后得到点P (x ,y )，则OP ,OP+a或 x x,h, y f(x)a (h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为:，曲线按向量 y y,k. 31 y,k f(x,h) 这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系解三角形及应用举例——知识点归纳 1即 abc 2R(其中R表示三角形的外接圆半径) sinAsinBsinC 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角) 2积的两倍a2,c2,b2 第一形式，b=a,c,2accosB，第二形式，cosB= 2ac222 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边，求三个角;(2)3三角形的面积:?ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，co si ta c 222222 32 tanA,tanB,tanC tanA tanB tanC 解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”第六章不等式 不等式的概念与性质——知识点归纳 1(实数的大小顺序与运算性质之间的关系: a b a,b 0 a b a,b 0 a b a,b 0 2(不等式的性质: (1)a b b a ， a b b a (反对称性) (2)a b,b c a c ，a b,b c a c (传递性) (3)a b a,c b,c，故a,b c a c,b (移项法则) 推论:a b,c d a,c b,d (同向不等式相加) (4)a b,c 0 ac bc，a b,c 0 ac bc 推论1:a b 0,c d 0 ac bd 推论2:a b 0 a b 推论3:a b 0 a b nn 1(常用的基本不等式和重要的不等式 (1)a R,a 0,a 0 当且仅当a 0,取“ ” (2)a,b R,则a,b 2ab (3)a,b R,，则a,b 2ab 222 a2,b2a,b2 () (4)22 2:设x,y.0,由x,y xy (1)如积xy P(定值)，则积x,y有最小值2P 33 (2)如积x,y S(定值)，则积xy有最大值( 即:积定和最小，和定积最大S22 运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等3均值不等式: a,b ab 2 a,b,c abc 三个正数的均值不等是:3两个正数的均值不等式: n个正数的均值不等式:a1,a2, ,an a1a2 an n 4a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 a,b ab 112,ab 不等式的证明——知识点归纳 2a2,b2 2 不等式的证明方法 (1)比较法:作差比较:A,B 0 A B 作差比较的步骤: ?作差:对要比较大小的两个数(或式)作差?变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和?判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号 注意:若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小 (2)综合法:由因导果(3)分析法:执果索因 ?“分析法”证题的理论依据:寻找结论成立的充分条件或者是充要条件?”分析法”证题是一个非常好的方法，但是 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达(4)反证法:正难则反 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的 放缩法的方法有: 34 ?添加或舍去一些项，如:a,1 a;n(n,1) n; ?将分子或分母放大(或缩小) ?利用基本不等式， 如:log3 lg5 (2lg3,lg52) lg lg lg4; 2 n,(n,1)n(n,1) 2 ?、k,1,k 1 k,1,k 1 2k; ?、11111111 , , ; (程度大) 22k(k,1)k,1kk(k,1)kk,1kk 111111 (,) ; (程度小) k2k2,1(k,1)(k,1)2k,1k,1?、 (6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元 已知x2,y2 a2，可设x acos ,y asin ; 22已知x,y 1，可设x rcos ,y rsin (0 r 1); x2y2 已知2,2 1，可设x acos ,y bsin ; ab x2y2 已知2,2 1，可设x asec ,y btan ; ab (7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法(要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点( (8)数学归纳法法 解不等式——知识点归纳 1(解不等式问题的分类 (1)解一元一次不等式( 35 (2)解一元二次不等式( (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式( ?解一元高次不等式; ?解分式不等式; ?解无理不等式; ?解指数不等式; ?解对数不等式; ?解带绝对值的不等式; ?解不等式组( 2(解不等式时应特别注意下列几点: (1)正确应用不等式的基本性质( (2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性( (3)注意代数式中未知数的取值范围( 3(不等式的同解性 f(x),0 f(x),0(1)f(x)?g(x),0与 或 同解( g(x),0 g(x),0 f(x),0 f(x),0(2)f(x)?g(x),0与 或 同解(g(x),0g(x),0 (3) f(x),0 f(x),0f(x),0与 或 同解((g(x)?0)g(x) g(x),0 g(x),0 f(x),0 f(x),0f(x)(4),0与 或 同解((g(x)?0)g(x)g(x),0g(x),0 (5)|f(x)|,g(x)与,g(x),f(x),g(x)同解((g(x),0) (6)|f(x)|,g(x) 与 ?f(x),g(x)或f(x),,g(x)(其中g(x)?0);?g(x),0同解 f(x),[g(x)]2 f(x)?0 (7)f(x),g(x)与 f(x)?0或 同解(g(x),0 g(x)?0 f(x),[g(x)]2 (8)f(x),g(x)与 同解(f(x)?0 36 (9)当a,1时，af(x),ag(x)与f(x),g(x)同解， 当0,a,1时，af(x),ag(x)与f(x),g(x)同解( f(x),g(x)(10)当a,1时，logaf(x),logag(x)与 同解(f(x),0 f(x),g(x) 当0,a,1时，logaf(x),logag(x)与 f(x),0同解( g(x),0 4零点分段法:高次不等式与分式不等式的简洁解法 步骤:?形式:P(x) 0 移项，通分(不轻易去 Q(x) ?首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为 1(解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方2(注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题||a|?|b|| |a+b| |a|+|b|;||a|?|b|| |a?b| |a|+|b|;并指出等号条件 3((1)|f(x)|<g(x) ?g(x)<f(x)<g(x); (2)|f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<?g(x)g(x)是否为正)(3)含绝对值的不等式性质(双向不等式) a b a b a,b 左边在ab 0( 0)时取得等号，右边在ab 0( 0)时取得等号 第七章直线和圆的方程 直线方程——知识点归纳1数轴上两点间距离公式: xB,xA2P1P2 (x1,x2)2,(y1,y2)2 3x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角37 当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0?可见，直线倾斜角的取值范围是0??α,180?4α不是90?的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα(α?90?)倾斜角是90?的直线没有斜率;倾斜角不是90?的直线都有斜率，其取值范 围是(,?，+?)5F1(x1，y1)、F2(x2，y2)是直线上不同的两点，则向量F1F2=(x2,x1，y2,y1)称为直线的方向向量向量y,y11)=(1，k)也是该直线的方向向量，k是直线的斜率F1F2=(1，2 x2,x1x2,x1 x轴的直线的一个方向向量为a,(0,1) 6 ?定义法:已知直线的倾斜角为α，且α?90?，则斜率k=tanα?公式法:已知直线过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且x1?x2，则斜率k21?方向向量法:若a=(m，n)为直线的方向向量，则直线的斜率k= nm对于直线上任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90?;当x1?x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k?0时，α=arctank;k,0时，α=π+arctan7 点斜式:y,y0 k(x,x0)， 斜截式:y kx,b 两点式:y,y1x,x1xy， 截距式:, 1 aby2,y1x2,x1 一般式:Ax,By,C 0 1(特殊情况下的两直线平行与垂直( 当两条直线中有一条直线没有斜率时: 38 (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90?，互相平行; (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90?，另一条直线的倾斜角为0?，两直线互相垂直2(斜率存在时两直线的平行与垂直: 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1//l2 k1=k2且b1 b2 已知直线l1、l2的方程为l1:A1x,B1y,C1 0， l2:A2x,B2y,C2 0(A1B1C1 0,A2B2C2 0) l1?l2的充要条件是A1B1C1 A2B2C2?两条直线垂直的情形:如果两条直线的斜率分别是k1和k2，则这两条直线垂直的充要条件是k1k2 ,1( 已知直线l1和l2的一般式方程为l1:A1x,B1y,C1 0， l2:A2x,B2y,C2 0，则l1 l2 A1A2,B1B2 0( 3l1到l2的角的定义及公式: 直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角l1到l2的角 :0?, ,180?， 如果1,k1k2 0,即k1k2 ,1,则 2.如果1,k1k2 0， tan k2,k1 1,k2k14(直线l1与l2的夹角定义及公式: l1到l2的角是 1, l2到l1的角是π- 1,当l1与l2相交但不垂直时, 1和π- 1仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角l1?l2时,直线l1与l2的夹角是 :0?, ?90?如果1,k1k2 0,即k1k2 ,1,则 2.如果1,k1k2 0，tan k2,k1 1,k2k139 5(两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组: A1x,B1y,C1 0是否有惟一解 Ax,By,C 0 2226(点到直线距离公式: 点P(x0,y0)到直线l:Ax,By,C 0的距离为: d Ax0,By0,C A,B22 7(两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1:Ax,By,C1 0， l2:Ax,By,C2 0，则l1与l2的距离为d C1,C2 A,B22 8直线系方程:若两条直线l1:A1x,B1y,C1 0，l2:A2x,B2y,C2 0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为(A1x,B1y,C1)， (A2x,B2y,C2) 0或(A2x,B2y,C2)+ (A1x,B1y,C1) 0 (λ 为常数)简单的线性规划及实际应用——知识点归纳 1: 在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P(x0，y0)B,0时，?Ax0+By0+C,0，则点P(x0，y0)在直线的上方;?Ax0+By0+C,0，则点P(x0，y0)在直线的下方对于任意的二元一次不等式Ax+By+C,0(或,0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数当B,0时，?Ax+By+C,0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;?Ax+By+C,0表示直线Ax+By+C=02线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域);使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解40 线性规划问题一般用图解法，其步骤如下: (1)根据题意，设出变量x、y; (2)找出线性约束条件; (3)确定线性目标函数z=f(x，y); (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域); (5)利用线性目标函数作平行直线系f(x，y)=t(t为参数); (6)观察图形，找到直线f(x，y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案1(平面解析几何研究的主要问题:根据已知条件求出表示平面曲线的方程;通过方程，研究平面曲线的性质 2(“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义: 在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y) 0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(纯粹性)(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点((完备性)那么，这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线 3(定义的理解: 设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若设点M的坐标为(x，y)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为: 00 (1)M?P (x0，y0)?Q，即P Q; (2)(x0，y0)?Q M?P，即Q P( 以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题): (1)(x0，y0) Q M P; (2)M P (x0，y0) Q( 显然，当且仅当P Q且Q P，即P=Q时，才能称方程f(x，y)=0 为曲线C的方程;曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)( 41 在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件(两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性(只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题(这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法 4 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件P的点M的集合; (3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y) 0; (4)化方程f(x,y) 0为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述方法简称“五步法”，在步骤?中若化简过程是同解变形过程;或最简方 程的解集与原始方程的解集相同，则步骤?可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程( 5(图形)的步骤: ?讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点); ?求截距: f(x，y) 0方程组 的解是曲线与x轴交点的坐标;y 0 f(x，y) 0方程组 的解是曲线与y轴交点的坐标; x 0 ?讨论曲线的范围; ?列表、描点、画线( 6(交点:求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组( 7(曲线系方程:过两曲线f(x，y)=0和f(x，y)=0的交点的曲线系方程是f(x，y)，λ121 f(x，y)=0(λ?R)( 2 求轨迹有直接法、定义法和参数法，最常使用的就是参数法一个点的运动是受某些因素影响的瓜，从中找出影响动点的因素的关系，列出方程42 1(圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆( 2 圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x,a)2,(y,b)2 r2方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆3 二次方程x2+y2+Dx+Ey+F*)配方得 D2E222(x+)+(y+)22 把方程x2,y2,Dx,Ey,F 0(D2,E2,4F 0) 其中，半径是r D2,E2,4FE D，圆心坐标是 ,，, 叫做圆的一般方程2 2 2(1)圆的一般方程体现了圆方程的代数特点:x2、y2项系数相等且不为零没有xy项(2)当D2+E2,4F=0时，方程(*)表示点(,DE，,); 22当D2+E2,4F,0时，方程(*)不表示任何图形 (3)根据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程4 ?圆心在O(0，0)，半径为r的圆的参数方程是: x rcos ( 是参数) y rsin ?圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程是: x a,rcos ( 是参数) y b,rsin 在?中消去θ得x2+y2=r2，在?中消去θ得(x,a)2+(y,b)2=r2，把这两个方程相5Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，则有A=C?0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分43 在A=C?0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+ 仅当D2+E2,4AF,0DEFx+y+=0， AAA 故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是: ?A=C?0，?B=0，?D2+E2,4AF,6线段AB为直径的圆的方程: 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则以线段AB为直径的圆的方程是(x,x1)(x,x2),(y,y1)(y,y2) 07x2,y2,D1x,E1y,F1 0， x2,y2,D2x,E2y,F2 0的交点的圆系方程是: x2,y2,D1x,E1y,F1, (x2,y2,D2x,E2y,F2) 0在过两圆公共点的图象方程中，若λ=,1，可得两圆公共弦所在的直线方程 8 经过直线与圆交点的圆系方程: 经过直线l:Ax,By,C 0与圆x2,y2,Dx,Ey,F 0的交点的圆系方程是: x2,y2,Dx,Ey,F, (Ax,By,C) 0 9 (1)标准方程: (x,a),(y,b) r， (a,b),,圆心，r,,半径 222 (2)一般方程:x,y,Dx,Ey,F 0，(D,E,4F 0) 2222 DE(,,,),,圆心, r 22 对称问题——知识点归纳D2,E2,4F 2 1题是线段中点坐标公式的应用问题设P(x0，y0)，对称中心为A(a，b)，则P关于A的对称点为P′(2a,x0，2b,y0) 2点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标 44 设点P(x0，y0)关于直线y=kx+b的对称点为P′(x′，y′)，则有 y ,y0 k ,1 x ,x0 ，可求出x′、y′ y ,y0 k x0,x ,b 22 特殊地，点P(x0，y0)关于直线x=a的对称点为P′(2a,x0，y0);点P(x0，y0)关于直线y=b的对称点为P′(x0，2b,y0)3 (1)曲线f(x，y)=0关于已知点A(a，b)的对称曲线的方程是f(2a,x，2b,y)=0(2)曲线f(x，y)=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法: 设曲线f(x，y)=0上任意一点为P(x0，y0)，P点关于直线y=kx+b的对称点为P′(y，x)，则由(2)知，P与P′的坐标满足 y ,y0 k ,1 x,x0 从中解出x0、y0， y ,y0 k x0,x ,b 22 代入已知曲线f(x，y)=0，应有f(x0，y0)=0f(x，y)=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程4两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论: (1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，,y); (2)点(x，y)关于y轴的对称点为(,x，y); (3)点(x，y)关于原点的对称点为(,x，,y); (4)点(x，y)关于直线x,y=0的对称点为(y，x); (5)点(x，y)关于直线x+y=0的对称点为(,y，,x直线与圆、圆与圆的位置关系——知识点归纳1大小关系。 222直线Ax,By,C 0与圆(x,a),(y,b) r的位置关系有三种，若 d Aa,Bb,C A,B22，则d r 相离 0 ; 45 d r 相切 0 ; d r 相交 0 2 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2 d ?d r1,r2 外离 4条公切线 ?d r1,r2 外切 3条公切线 ?r1,r2 d r1,r2 相交 2条公切线 ?d r1,r2 内切 1条公切线 ?0 d r1,r2 内含 无公切线 3直线和圆相切: 这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点?过圆上一点的切线方程:圆x2,y2 r2的以P(x0,y0)为切点的切线方程是x0x,y0y r2。 当点P(x0,y0)在圆外时，x0x,y0y r2表示切点弦的方程。 一般地，曲线Ax,Cy,Dx,Ey,F 0的以点P(x0，y0)为切点的切线方程是:22 Ax0x,Cy0y,D x,x0y,y0,E ,F 0。 22 当点P(x0,y0)在圆外时，Ax0x,Cy0y,D x,x0y,y0,E ,F 0表示切点弦的方22 46 程。 这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。 ?过圆外一点的切线方程: 4 这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题5x2,y2,D1x,E1y,F1 0， x2,y2,D2x,E2y,F2 0的交点的圆系方程是: x2,y2,D1x,E1y,F1, (x2,y2,D2x,E2y,F2) 0。 在过两圆公共点的图象方程中，若λ=,1，可得两圆公共弦所在的直线方程 6 经过直线与圆交点的圆系方程: 经过直线l:Ax,By,C 0与圆x2,y2,Dx,Ey,F 0的交点的圆系方程是: x2,y2,Dx,Ey,F, (Ax,By,C) 0 7: 比较圆心到直线的距离与圆半径的大小8: 讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数第八章圆锥曲线 椭圆——知识点归纳 1.定义:?平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即PF1,PF2 2a F1F2)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)( ?点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)，则P点的轨迹是椭圆2.椭圆参数的几何意义，如下图所示: |PF1||PF2|2a2 (1)|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=，==e; c|PM1||PM2| (2)A1F1 A2F2 a,c,A1F2 A2F1 a,c;a,c PF1 a,c (3)|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c; 47 b2 (4)|F1K1|=|F2K2|=p=， c A2B A1B 3.标准方程:椭圆标准方程的两种形式 x2y2y2x2 222 2,2 1和2,2 1(a b 0)c a,babab x2y2a2 椭圆2,2 1(a b 0)的焦点坐标是( c，，离心率0)，准线方程是x cab c2b2b2 是e p ，焦参数(通径长的aca一半){x,a x a}，{x,b y b}，长轴长=2a，短轴长=2b，焦距,2c ， a2a2 焦半径:PF1 e(x,) a,ex，PF2 e(,x) a,ex. cc 4. PF、三角形面积公式1F2中经常利用余弦定理(((((((((((S PF1F2 btan2 F1PF2将有关线段2 PF1、PF2、2c，有关角 F1PF2( F1PF2 F1BF2)结合起来，建立PF1+PF2、PF1 PF2等关系. x acos 5.椭圆上的点有时常用到三角换元: ; y bsin 双曲线——知识点归纳 1双曲线定义: ?到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长(,|F1F2|)的点的轨迹(PF1,PF2 2a F1F2(a为常数)) ?动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e,1)时，这个动点的轨迹是双曲线l叫做双曲线的准线2双曲线图像中线段的几何特征: ?实轴长A1A2 2a，虚轴长2b,焦距F1F2 2?顶点到焦点的距离: 48 A1F1 A2F2 c,a，A1F2 A2F1 a,c ?顶点到准线的距离: a2a2 A1K1 A2K2 a,;A1K2 A2K1 a, cc ?焦点到准线的距离: a2a2 F1K1 F2K2 c,或F1K2 F2K1 c, cc 2a2 ?两准线间的距离: K1K2 c ? PF1F2中结合定义PF1,PF2 2a与余弦定理cos F1PF2，将有关线段PF1、PF2、F1F2 和角结合起来，S PF1F2 b2cot PF1PF2A1F1A2F2c?离心率: e 1，+?) PM1PM2A1K1A2K2a?焦点到渐 近线的距离:虚半轴长b2b2b2b2 ?通径的长是，焦准距，焦参数aca 其中 c a,b221,PF2 2a3双曲线标准方程的两种形式: y2x2 ?2,2=1，c=a2,b2，焦点是F1(,c，0)，F2(c，0) ab y2x2 ?2,2=1，c=a2,b2，焦点是F1(0，,c)、F2(0，caby2x2 42,2=1(a,0，b,0) ab?范围:|x|?a，y?R ?对称性:关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 ?顶点:轴端点A1(,a，0)，A2 (a，0) ?渐近线: 49 x2y2x2y2b ?若双曲线方程为2,2 1 渐近线方程2,2 0 y x aababxyxyb ?若渐近线方程为y x 0 双曲线可设为2,2 abaab 2 2 x2y2x2y2 ?若双曲线与2,2 1有公共渐近线，可设为2,2 ( 0，焦点在x轴上， abab 0，焦点在y轴上) ?特别地当a b时 离心率e 2 2 2 两渐近线互相垂直，分别为y= x，此时双曲线 bb x，y=,x aa 2 为等轴双曲线，可设为x,y ;y= aa2a2 ?准线:l1:x=,，l2:x=，两准线之距为K1K2 2 ccca2 ?焦半径:PF1 e(x,) ex,a，(点P在双曲线的右支上x a); c a2 PF2 e(,x) ex,a，(点P在双曲线的右支上x a); c 当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质(略)x2y2x2y2 ?与双曲线2,2 1共渐近线的双曲线系方程是2,2 ( 0abab x2y2x2y2 , 1?与双曲线2,2 1共焦点的双曲线系方程是2 a,kb2,kab 抛物线——知识点归纳 1F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线( 2 ?顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ?焦准距:FK p ?通径:过焦点垂直于轴的弦长为2p。 ?顶点平分焦点到准线的垂线段:OF OK 50 p。 2 ?焦半径为半径的圆:以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、 准线是公切线。 ?焦半径为直径的圆:以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这 样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ?焦点弦为直径的圆:以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是 准线。 3 y2 2px，y2 ,2px，x2 2py，x2 ,2py。4y2 2px的图像和性质: p ?焦点坐标是: ，0 ， 2 ?准线方程是:x , p。 2 2 点，则该 ?焦半径公式:若点P(x0,y0)是抛物线y 2px上一点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径) 是:PF x0,?焦点弦长公式:过焦点弦长PQ x1, 2 p， 2 pp ,x2, x1,x2,p 22 2 y2 ?抛物线y 2px上的动点可设为P( ,y )或P(2pt,2pt)或 2p P(x ,y )其中y 2px 5 2 直线与圆锥曲线的位置关系——知识点归纳 1 51 可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元后最 终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与圆锥曲线的相交问题要用好化归思想和等价转化思想 需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线与抛物线或双曲2 主要有这样几个方面:相交弦的长，有弦长公式|AB|=,k2|x2,x1|;弦所在直线的方程(如中点弦、相交弦等)、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法(设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决)3 可以利用圆锥曲线的焦半径公式(即圆锥曲线的第二定义)4(韦达定理的运用: 由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运5弦长公式: 若直线y kx,b与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 AB (1,k2)(x1,x2)2; 若直线x my,t与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 AB (1,m2)(y1,y2)2 6圆锥曲线的两个重要参数: b2 圆锥曲线的焦准距(焦点到准线的距离)p ， c b2 焦参数(通径长的一半)a第九章(B)直线、平面、简单几何体 平面——知识点归纳 1(平面的概念: 52 2(平面的画法及其表示方法: 45 画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线 ?一般用一个希腊字母 、 、 „„来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC3点、线、面的基本位置关系如下表所示: a (平面 外的直线a)表示a 或a A 53 公理1 推理模式:A ABØ ( 如图示: B 应用:是判定直线是否在平面 A 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法( 公理3 推理模式:A,B,C 不共线 存在唯一的平面 ，使得A,B,C 应用:?确定平面;?证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性(在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证( 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 推理模式:A a 存在唯一的平面 ，使得A ，lØ 推论2 推理模式:a b P 存在唯一的平面 ，使得a,bØ 推论3 推理模式:a//b 存在唯一的平面 ，使得a,bØ 54 :如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为空间直线——知识点归纳 1 (1)相交——有且只有一个公共点; (2)平行——在同一平面内，没有公共点; (3)异面——不在任何一个平面内，没有公共点; (( 24 推理模式:a//b,b//c a//c( 34等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等5 ab AA1 6(异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异推理模式:A ,B ,l ,B l AB与la ,b 7(异面直线所成的角:已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a //a,b //b， 所成的角的大小与点O的选择无关，把a ,b 所成的锐角(或直角)叫异面直线a,b所成的角(或夹角)(为了简便，点O异面直线所成的角的范围:(0, 28(异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直(两条异面直线a,b 垂直，记作a b( 9(求异面直线所成的角的方法: 55 几何法:(1)通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线;(2)找出 和两条异面直线都垂直相交((((理解:因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义( 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度，叫做两条异面直线间的距离( 计算方法:?几何法;?向量法 1(直线和平面的位置关系 (1)直线在平面如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行( 推理模式::a ，b ，a b P，a// ，b// // ( 56 7条相交直线，那么这两个平面互相平行( 推理模式: a b P,a刎 ,b ,a b P ,a 刎 ,b ,a//a ,b//b // ( 8(平行平面的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行( 推理模式: // , a, b a//b( 9如果两个平面平行，那么其中一个平面1 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这直线与平面垂直简称线面垂直，记作:a?α 3 : 如果两条直线同垂直于一个平面,4 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线说明:(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的 线的垂直关系; 一条斜 PO ,O (2)推理模式:PA A a PA a ,a OA 5(三垂线定理的逆定理: 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影 57 PO ,O 推理模式: PA A a AO( a ,a AP 注意:?三垂线指PA，PO，AO都垂直α推理模式:aØ ，a ( 8(两平面垂直的性质定理: 若两个平面互相垂直， 推理模式: , l,aØ ,a l a 9 ?证明直线与平面垂直的方法:直线的方向向量与平面的法向量平行; 空间向量及其运算——知识点归纳 12(空间向量的运算 空间向量的加法、减法与数乘向量运算: OB OA,AB a,b;BA OA,OB a,b;OP a( R) 运算律:?加法交换律:a,b b,a ?加法结合律:(a,b),c a,(b,c) ?数乘分配律: (a,b) a, b 58 3平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量(由于任何一组平行向量都可以平移到同一 条直线上，所以平行向量也叫做共线向量(向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有 一个实数λ，使b,λa 4 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或 平行向量(a平行于b记作a//b( 当我们说向量a、b共线(或a//b)时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线( 5( 共线向量定理:空间任意两个向量a、b(b?0)，a//b的充要条件是存在实数λ， 使a,λb推论:如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式 OP OA,ta(其中向量a叫做直线l的方向向量6 OP OA,ta或OP OA,t(OB,OA) (1,t)OA,tOB， 1 中点公式(OP (OA,OB) 2 A a，如果直线OA平行于 或在 内，7(向量与平面平行:已知平面 和向量a，作O 那么我们说向量a平行于平面 ，记作:a// (通常我们把平行于同一平面的向量，叫做 8(共面向量定理:如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数 x,y使p xa,推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使 59 MP xMA,yMB ? 或对空间任一点O，有OP OM,xMA,yMB? 或OP xOA,yOB,zOM,(x,y,z 1) ? 上面?式叫做平面MAB 9 a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯 一的有序实数组x,y,z，使p xa,yb,zc 若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空推论:设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使OP xOA,yOB, 10 间向量的夹角及其表示:已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作 OB叫做向量a与b的夹角，，则 A记作 a,b ;且规定0 a,b ，OA a,OB b 显然有 a,b b,a ;若 a,b ，则称a与b互相垂直，记作:a b2 11(向量的模:设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作:|a| 12(向量的数量积:已知向量a,b，则|a|| b|co s 即a b |a| |b| cos a,b ( 记作a b， ,ab 叫做a,b的数量积， 已知向量AB a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A ， 作点B在l上的射影B ，则A B 叫做向量AB在轴l上或在eA B 的长度 |A B | |AB|cos a,e |a e|( 13(空间向量数量积的性质: 2 (1)a e |a|cos a,e ((2)a b a b 0((3)|a| a a( 14(空间向量数量积运算律: (1)( a) b (a b) a ( b)((2)a b b a(交换律)( 60 (3)a (b,c) a b,a c空间向量的坐标运算——知识点归纳 1 (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k} 表示; (2)在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i,j,k的方 向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴(我们称建立了一个空间直 角坐标系O,xyz，点O叫原点，向量 i,j,k都叫坐标向量(通过每两个坐标轴的平面叫 坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面; 2(空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O,xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使 OA xi,yj,zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O,xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标( 3(空间向量的直角坐标运算律: (1)若a (a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)， 则a,b (a1,b1,a2,b2,a3,b3)， a,b (a1,b1,a2,b2,a3,b3)， a ( a1, a2, a3)( R)， a b a1b1,a2b2,a3b3， a//b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)， a b a1b1,a2b2,a3b3 0( (2)若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB (x2,x1,y2,y1,z2,z1)( 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 4 a (a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)， 61 则|a| |b| ( a b 5 (夹角公式:cosa b |a| |b|6(两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)， 则|AB| ， 或dA,B 空间角——知识点归纳 a ,b 1(异面直线所成的角:已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a //a,b //b， 所成的角的大小与点O的选择无关，把a ,b 所成的锐角(或直角)叫异面直线a,b所成的角(或夹角)(为了简便，点O异面直线所成的角的范围:(0, 22(求异面直线所成的角的方法:(1)几何法;(23(直线和平面所成角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成一直线平行于平面或在平面内，所成角为0 角 直线和平面所成角范围: 0， 2(2)定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的 4(公式:平面 的斜线a与 内一直线b相交成θ角，且a成 1角，a在 上的射影c与b相交成 2角，则有与 相交cos 1cos 2 cos 5 直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫l，两个面分别为 , 的二面角记为 ,l, ; 62 6(二面角的平面角: OB (1)过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,OB，则 A 叫做二面角 ,l, (2)一个平面垂直于二面角 ,l, 的棱l，且与两半平面交线分别为OA,OB,O为垂足，则 AOB也是 ,l, 说明:?二面角的平面角范围是[0 ,180 ]; 7(二面角的求法:?几何法;?向量法 8cos S ， S 其中各个符号的含义是:S是二面角的一个面内图形F的面积，S 是图形F在二面角的另一个面内的射影， 是二面角的大小9(三种空间角的向量法计算公式: ?异面直线a,b所成的角 :cos cos a,b ; ?直线a与平面 (法向量n)所成的角 :sin cos a,n ; ?锐二面角 :cos cos m,n ，其中m,n为两个面的法向量 空间距离——知识点归纳 1已知点P是平面 外的任意一点，过点P作PA ，垂足为A，则PA唯一，则PA是点P到平面 即 结论:连结平面 外一点P与 内一点所得的线段中，垂线段PA异面直线的公垂线:和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线( 34(两条异面直线的公垂线段:两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段; 5(公垂线段最短:两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条; 663 说明:两条异面直线的距离AB即为直线a到平面 7,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离8(两个平行平面的公垂线、公垂线段: (1(2(3(4910(七种距离:点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求 ?异面直线a,b之间的距离: AB n d ，其中n a,n b,A a,B b|n| ?直线a与平面 之间的距离: AB n d ，其中A a,B 是平面 的法向量|n| ?两平行平面 , 之间的距离: AB n d ，其中A ,B n是平面 的法向量 |n| ?点A到平面 的距离: AB n d ，其中B ，n是平面 的法向量 |n| 另法:点A(x0,y0,z0),平面Ax,By,Cz,D 0 则 d 64 ?点A到直线a的距离: d B a，a是直线a?两平行直线a,b之间的距离: d A a,B b，a是a的方向向量棱柱——知识点归纳 1 两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个2(凸多面体:把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这3(凸多面体的分类:多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体4(棱柱的概念:有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫;其余各面叫棱柱的侧面;两侧面的公共边5底面柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱„„ 6(棱柱的性质 (1)棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形;直棱柱侧面都是矩形;正棱柱侧面都是全等的矩形; (2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形; (37 垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体( 8(平行六面体、长方体的性质 65 (1)平行六面体的对角线交于一点，求证:对角线AC ,BD ,CA ,DB 相交于一点，且在点O处互相平分( (2)棱锥——知识点归纳 1 顶点(S)，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段(SO)，叫棱锥的高(垂线段的长也简称高)( 2(棱锥的表示:棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母如图棱锥可表示为S,ABCDE，或S,AC( 3(棱锥的分类:(按底面多边形的边数) 分别称底面是三角形，四边形，五边形„„的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥„„(如图) 4(棱锥的性质: 定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比( 5(正棱锥:底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥( (1)正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(叫正棱锥的斜高)( (2)正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;正棱锥的高、侧棱、简单的多面体与球——知识点归纳 1(简单多面体:考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果2(五种正多面体的顶点数、面数及棱数: 66 3(欧拉定理(欧拉公式):简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E有关系式:V,F,E 计算棱数E常见方法:(1)E,V+F-2;(2)E,各面多边形边数和的一半; (3)E,顶点数与共顶点棱数积的一半4(欧拉示性数:在欧拉公式中令f(p) V,F,E，f(p)说明:(1)简单多面体的欧拉示性数f(p) (2)带一个洞的多面体的欧拉示性数f( p) f(p) 16,16,32 5 例如球O2(球的截面: 用一平面 去截一个球O，设OO 是平面 的垂线段，O 为垂足，且OO d，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r7(经度、纬度: 经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所 67 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角8(两点的球面距离:球面上两点之间的最短距离，就是经 圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点过两点的大l R ( 为球心角的弧度数)9 已知半径为R的球O，球被截 面分成大小相等的两个半球，截面圆O(包含它内部的点)，叫 做所得半10(球的体积公式:V 4 R3 ?在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径R，而在实际问题中常给出球的外?球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关第十章排列、组台、二项式定理 分类计数原理和分步计数原理——知识点归纳 n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn完成这件事共有 N m1,m2, ,mn 2n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，„„，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N m1 m2 mn 34两个基本原理的区别:一个与分类有关，一个与分步有关;加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 68 5 分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏(进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏( 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同( 两个原理的公式是: N m1,m2, ,mn, N m1 m2 mn 1(排列的概念:从n个不同元素中，任取m(m n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m(((((2(排列数的定义:从n个不同元素中，任取m(m n)个元素的所有排列的个数叫 m做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Anm3(排列数公式:An n(n,1)(n,2) (n,m,1) (m,n N,m n) , n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n0! 1( m5(排列数的另一个计算公式:An=n! (n,m)!n个不同元素中取出m,m n,个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m7(组合数的概念:从n个不同元素中取出m,m n,个元素的所有组合的个数，叫做从 m(用符号表示( Cn 个不同元素中取出m个元素的组合数n((( Anmn(n,1)(n,2) (n,m,1)8(组合数公式:C m Amm!m n 69 或Cn mn!(n,m N,,且m nm!(n,m)! mn,m0组合数的性质1:Cn(规定:Cn Cn 1; mmm,1 10(组合数的性质2:Cn,1,Cn+Cn 分组(堆)问题的六个模型:?有序不等分;?有序等分;?有序局部等分;?无序不等分;?无序等分;?无序局部等分; 7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是答案:3600) 6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________240) b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________30) 隔板法:n个 相同小球放入m(m?n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法 m,1等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段(插入m,1块隔板)，有Cn,1 种方法错位法:编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小,这种排列称为错位排列n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,442个、3个、45个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题: 5?5个元素的全排列为:A5 120; 3?剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的)C5 1 种、恰好 21有2对球盒同号(3个错位的)C5 2 种、恰好有1对球盒同号(4个错位的)C5 9 种 70 31? 120-1-C5 1-C52 2-C5 9,44用此法可以逐步计算:6个、7个、8个、„„元素的错位排列问题容斥法:n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法 1(二项式定理及其特例: 0n1nrn,rrnn(1)(a,b)n Cna,Cnab, ,Cnab, ,Cnb(n N,)， 1rr(2)(1,x)n 1,Cnx, ,Cnx, ,xrn,rr1，2 ，n)2(二项展开式的通项公式:Tr,1 Cnab(r 0，3(常数项、有理项和系数最大的项: 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限 制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性 当n依次取1,2,3„时，二项式系数表，(a,b)n展开式的二项式系数， 表中每行两端都是1，除15(二项式系数的性质: 012nr，Cn，Cn，„，Cn(Cn可以看成以r为自变量的(a,b)n展开式的二项式系数是Cn 函数f(r)，定义域是{0,1,2, ,n}，例当n 6时，其图象是7个孤立的点(如图) (1)对称性( mn,m与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(Cn)( Cn 直线r n2 (2)增减性与最大值: 当n是偶数时，中间一项C取得最大值;当n是奇数时，中间两项C n2nn,12n，Cn,12n取得 (3)各二项式系数和: 1rr?(1,x)n 1,Cnx, ,Cnx, ,xn， 71 012rn令x 1，则2n Cn ,Cn,Cn, ,Cn, ,Cn 随机事件事件的概率——知识点归纳 事件的定义: 随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件:在一定条件下必然发生的事件; 2(随机事件的概率:一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总是n 接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)( 3概率的确定方法:通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率; 4(概率的性质:必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0 P(A) 1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 A6(等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n7(等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P(A) 8随机事件的概率、等可能事件的概率计算 首先、对于每一个随机实验来说，可能出现的实验结果是有限的;其次、所有不同的实出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式P(A)=m/n9求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤:(1)先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A(2)再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出3)应用等可能性事件概率公式P=m计算确定m、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分n 利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,72 互斥事件有一个发生的概率——知识点归纳 互斥事件的概念:A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，这时P(A•B)=,)P(A+B)=P(A)+ P(B)一般地:如果事件A1,A2, ,An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1,A2, ,An2(对立事件的概念:事件,和事件B必有一个发生的互斥事件A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生P(A•B)=,, P(A+B)=P(A)+ P(B),, 一般地,pA 1,P,A, 3 , 第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系; 第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的; 第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的 从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作A，从集合的角度来看，事件A所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A?A=U，A?A=但互斥事件不一定是对立事件 4:事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生 当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的， 因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)， 且有P(A+A)=P(A)+P(A)=1 当计算事件A的概率P(A)比较困难时，有时计算它的对立事件A的概率则要容易些，为此有P(A)=1,P(A)5要弄清A?B，A B的区别 A?B表示事件A与B同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于 73 A与B至少有一个发生的对立事件即A,B，因此有A?B?A B，但A?B=A,B 6(互斥事件的概率的求法:如果事件A1,A2, ,An彼此互斥，那么 P(A1,A2, ,An),P(A1),P(A2), ,P(An7 求解这类问题的数学思想方法是:在给定的命题背景下，先判断事件之间是否互斥，并理解“和事件”的意义，计算出每个简单事件的概率，然后再利用互斥事件的概率计算公式A与B不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算P(A+B)的值时绝对不可以使用P(A+B)=P(A)+P(B)这个公式，只能从对立事件的角度出发，运用P(A+B)=1-P(A B8 1(相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B2 两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响;两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生3(相互独立事件同时发生的概率:P(A B) P(A) P(B) 事件A1,A2, ,An相互独立， P(A1 A2 An) P(A1) P(A2) P(An) 5 第一，相互独立也是研究两个事件的关系; 第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的; 第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的6(独立重复试验的概率公式:如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重 kk复试验中这个事恰好发生K次的概率Pn(k) CnP(1,P)n,k表示事件A在n次独立重复试验 74 中恰好发生了次的概率 (((((k((()00n令k=0 得 在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为((((((((Pn=Cnp(1,p) =(1, ,p)n (n)nn0 令k=n得 在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为P=Cp(1,p) =pnn(((((((( 7 在同一随机实验中，两事件互斥是指两个不可能同时发生的事件;两事件相互独立是指特别要注意:若事件A与B不是相互独立事件而是互斥事件，那么在计算P(AB)的值时绝对不可以使用P(A?B)=P(A)P(B)这个公式，只能从对立事件的角度出发，运用P(A?B)=1-P(A,B8次独立重复实验恰好有k次发生的概率 要求掌握n次独立重复实验恰好有k次发生的概率计算公式，对这个公式，不能死记硬 k背，要真正理解它所表示的含义，特别要理解其中的Cn识点，经常是和互斥事件有一个发生的概率或者相互独立事件同时发生的概率综合起来考查离散型随机变量的期望与方差——知识点归纳 1 如果有n个数据x1，x2，„，xn，那么x= x读作“x拔” 1(x1+x2+„+xn)叫做这n个数据的平均数，n 2方差的计算方法 (1)对于一组数据x1，x2，„，xn， s2=1,(x1,x)2+(x2,x)2+„+(xn,x)2, n 叫做这组数据的方差，而s叫做标准差抽样方法与总体分布的估计——知识点归纳 1.简单随机抽样:设一个总体的个体数为N(如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样 75 ?用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为 1n ;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为; NN ?简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等,是不放回抽样. ?简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础( 2.抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N)，并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本 适用范围:总体的个体数不多时 优点:抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法( 3.随机数表法: 随机数表抽样“三步曲”:第一步，将总体中的个体编号;第二步，选定开始的数字;第三步，获取样本号码 4.分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样， 5.常用的抽样方法及它们之间的联系和区别: 6.不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样;如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样( 76 8.总体:在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体. 9.频率分布:用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据(或数据组)的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据(或数据组)的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示. 10.总体分布:从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n的样本，就是进行了n次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布. 11.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率(设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线( 它反映了总体在各个范围内取值的概率(根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于该区间上总体密度曲线与x轴、直线x=a、x=b所围成曲边梯形的面积。 第三章导数 1导数的定义:设函数y f(x)在x x0处附近有定义，如果 x 0时， y与 x的比 y y(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫 x x / x x0做函数y f(x)在x x0处的导数，记作ym，即f(x0) li/ x 0f(x0, x),f(x0) x y f(x)上点(x0,f(x0)y f(x)在点x0可导，则曲线y f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 77 y,f(x0) f/(x0)(x,x03(导数):如果函数y f(x)在开区间(a,b)1利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤(1)求f (x)(2)确定f (x)在(a，b)内符号(3)若f (x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数;若f (x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数2(1)求f (x) (2)f (x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; f (x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 78 1极大值: 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x),f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x02f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x),f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x03小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)(?)函数的极而使函数取得最大值、最小值4f(x0)是极大、极小值的方法:若x0满足f (x0) 0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f (x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值;如果f (x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)5求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x(2)求方程f′(x)=0(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)6:在闭区间 a,b 上连续的函数f(x)在 a,b 上必有最大值与最小值(?在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值( ?函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的(?函数f(x)在闭区间 a,b 上连续，是f(x)在闭区间 a,b 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件((4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不7利用导数求函数的最值步骤:?求f(x)在(a,b)内的极值;?将f(x)的各极值与 79 f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在 a,b 80