LINDO软件包介绍

LINDO软件包介绍 LINDO软件包首先由Linus Schrage开发，现在，美国的LINDO系统公司（LINDO System Inc.）拥有版权，是一种专门求解数学 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 （优化问题）的软件包。它能求解线性规划、（0，1）规划、整数规划、二次规划等优化问题，并能同时给出灵敏度 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 、影子价格以及最优解的松弛分析，非常方便实用。 §6.1 注意事项 （1） 低版本的LINDO要求变量一律用大写字母 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示； （2） 求解一个问题，送入的程序必须以MIN或MAX开头，以END 结束；然后按Ctrl + S（或按工具栏中的执行快捷键）进行求解； （3） 目标函数与约束条件之间要用SUBJECT TO（或ST）分开，其中字母全部大写； （4） LINDO已假定所有变量非负，若某变量，例如X5有可能取负值，可在END命令下面一行用FREE X5命令取消X5的非负限制；LINDO要求将取整数值的变量放在前面（即下标取小值），在END下面一行用命令INTEGER K，表示前K个变量是（0，1）变量；在END下面一行用命令GIN H表示前H个变量是整数变量； （5） 在LINDO中，“<”等价于“≤” ，“>”等价于“≥” ； （6） 在LINDO的输出结果中有STATUS（状态栏），它的表出状态有：OPTIMAL（说明软件包求得的结果是最优解）、FEASIBLE（说明软件包求得的结果只是可行解）、INFEASIBLE（说明软件包求得的结果是不可行解）。 （7） 在LINDO命令中，约束条件的右边只能是常数，不能有变量； （8） 变量名不能超过8个字符； （9） LINDO对目标函数的要求，每项都要有变量，例如，LINDO不认识MIN 2000-X+Y，要改为MIN –X+Y； （10） LINDO不认识400（X+Y）要改为400X+400Y。 §6.2 求解线性规划问题 例6-1 求解下列线性规划问题： 在LINDO中输入下列命令： MAX 2X+3Y SUBJECT TO 4X+3Y<10 3X+5Y<12 END LINDO输出下列结果：STATUS OPTIMAL LP OPTIMUM FOUND AT STEP      1         OBJECTIVE FUNCTION VALUE         1)      7.454545   VARIABLE        VALUE          REDUCED COST         X        1.272727          0.000000         Y        1.636364          0.000000       ROW  SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES         2)        0.000000          0.090909         3)        0.000000          0.545455 NO. ITERATIONS=      1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:                           OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE        CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE                 COEF      INCREASE      DECREASE         X        2.000000        2.000000        0.200000         Y        3.000000        0.333333        1.500000                           RIGHTHAND SIDE RANGES       ROW        CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE                   RHS      INCREASE      DECREASE         2      10.000000        6.000000        2.800000         3      12.000000        4.666667        4.500000     这个结果说明：LINDO求解此线性规划问题（LP）只用一步迭代就得到最优解fmax = 7.454545，x = 1.272727, y = 1.636364。两个松弛变量取0值，即，这个最优解使得约束条件都取等号；其对偶问题的最优解（影子价格）DUAL PRICES为Y1=0.090909，Y2=0.545455。同时灵敏度分析告诉我们：在目标函数中，X的系数是2，允许下降0.2，允许增加2，即，X的系数在区间[1.8，4]中任意变化，最优基不变；在目标函数中，Y的系数是3，允许下降1.5，允许增加0.333333，即，Y的系数在区间[1.5，3.333333]中任意变化，最优基不变；约束条件右边第一个常数是10，允许下降2.8，允许增加6，即在区间[7.2，16]中任意变化，最优基不变；约束条件右边第二个常数是12，允许下降4.5，允许增加4.666667，即在区间[7.5，16.666667]中任意变化，最优基不变。 例6-2求解下列线性规划问题： 在LINDO中输入以下命令： MIN X+Y ST 2X+3Y〈9 X-4Y〈11 END FREE Y LINDO运算后输出以下结果：STATUS OPTIMAL LP OPTIMUM FOUND AT STEP      1         OBJECTIVE FUNCTION VALUE         1)    -2.750000   VARIABLE        VALUE          REDUCED COST         X        0.000000          1.250000         Y        -2.750000          0.000000       ROW  SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES         2)        17.250000          0.000000         3)        0.000000          0.250000 NO. ITERATIONS=      1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:                           OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE        CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE                   COEF          INCREASE        DECREASE         X        1.000000        INFINITY        1.250000         Y        1.000000        INFINITY        1.000000                           RIGHTHAND SIDE RANGES       ROW        CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE                     RHS          INCREASE        DECREASE         2        9.000000        INFINITY        17.250000         3      11.000000        INFINITY        23.000000 这个结果说明：LINDO求解此线性规划问题（LP）只用一步迭代就得到最优解fmin = -2.75，x = 0, y = -2.75。第一个松弛变量取值17.25，第二个松弛变量取0值，即，这个最优解使得第二个约束条件取等号；其对偶问题的最优解（影子价格）DUAL PRICES为Y1=0，Y2=0.25。同时灵敏度分析告诉我们：在目标函数中，X的系数是1，允许下降1.25，允许增加∞，即，X的系数在区间[-0.25，∞]中任意变化，最优基不变；在目标函数中，Y的系数是1，允许下降1，允许增加∞，即，Y的系数在区间[0，∞]中任意变化，最优基不变；约束条件右边第一个常数是9，允许下降17.25，允许增加∞，即在区间[-8.25，∞]中任意变化，最优基不变；约束条件右边第二个常数是11，允许下降23，允许增加∞，即在区间[-12，∞]中任意变化，最优基不变。 例6-3求解下列线性规划问题（参见第5章例18）： MAX 360X1+220X2+240X3+360X4+220X5+240X6 ST X1+X2+X3<300 X4+X5+X6<1200 X1+X4<6000 X2+X5<500 X3+X6<1000 X1-4X4>0 9X2-X5>0 END 得到结果如下： LP OPTIMUM FOUND AT STEP      3         OBJECTIVE FUNCTION VALUE         1)      400000.0   VARIABLE        VALUE          REDUCED COST         X1      285.714294          0.000000         X2        14.285714          0.000000         X3        0.000000        200.000000         X4        71.428574          0.000000         X5      128.571426          0.000000         X6      1000.000000          0.000000       ROW  SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES         2)        0.000000        400.000000         3)        0.000000        200.000000         4)      5642.856934          0.000000         5)      357.142853          0.000000         6)        0.000000        40.000000         7)        0.000000        -40.000000         8)        0.000000        -20.000000 NO. ITERATIONS=      3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:                           OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE        CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE                   COEF          INCREASE        DECREASE       X1      360.000000      1750.000000      174.999985       X2      220.000000      175.000000      1750.000000       X3      240.000000      200.000000        INFINITY       X4      360.000000      7000.000000      155.555542       X5      220.000000        38.888885      194.444427       X6      240.000000        INFINITY        40.000000                           RIGHTHAND SIDE RANGES       ROW        CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE                     RHS          INCREASE        DECREASE         2      300.000000      499.999969      277.777771         3    1200.000000      312.499969      124.999992         4    6000.000000        INFINITY      5642.856934         5      500.000000        INFINITY      357.142853         6    1000.000000      124.999992      312.499969         7        0.000000      277.777771      499.999969         8        0.000000      2499.999756      125.000000 §6.3.求解整数线性规划问题 例6-4求解下列（0，1）线性规划问题： 在LINDO中输入下列命令： MAX X11+X12+2X13+5X14+7X15+X21+2X22+3X23+7X24+10X25 +X31+3X32+4X33+9X34+10X35+X41+4X42+5X43+10X44+10X45 ST X11+X12+X13+X14+X15=1 X21+X22+X23+X24+X25=1 X31+X32+X33+X34+X35=1 X41+X42+X43+X44+X45=1 X11+X21+X31+X41=1 X12+X22+X32+X42=1 X13+X23+X33+X43=1 X14+X24+X34+X44=1 X15+X25+X35+X45=1 END INT 20 LINDO运算后输出下列结果：STATUS INFEASIBLE（求不出最优解）。若将问题变为5×5的问题，就能求出解来。 在LINDO中输入下列命令： MAX X11+X12+2X13+5X14+7X15+X21+2X22+3X23+7X24+10X25 +X31+3X32+4X33+9X34+10X35+X41+4X42+5X43+10X44+10X45 ST X11+X12+X13+X14+X15=1 X21+X22+X23+X24+X25=1 X31+X32+X33+X34+X35=1 X41+X42+X43+X44+X45=1 X51+X52+X53+X54+X55=1 X11+X21+X31+X41+X51=1 X12+X22+X32+X42+X52=1 X13+X23+X33+X43+X53=1 X14+X24+X34+X44+X54=1 X15+X25+X35+X45+X55=1 END INT 25 LINDO运算后输出下列结果：STATUS OPTIMAL     LP OPTIMUM FOUND AT STEP    15 OBJECTIVE VALUE =  25.0000000 FIX ALL VARS.(  11)  WITH RC >  1.00000 NEW INTEGER SOLUTION OF    25.0000000    AT BRANCH      0 PIVOT      15 BOUND ON OPTIMUM:  25.00000 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES=    0 PIVOTS=      15 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION...         OBJECTIVE FUNCTION VALUE         1)      25.00000   VARIABLE        VALUE          REDUCED COST       X11        0.000000        -1.000000       X12        0.000000        -1.000000       X13        1.000000        -2.000000       X14        0.000000        -5.000000       X15        0.000000        -7.000000       X21        0.000000        -1.000000       X22        0.000000        -2.000000       X23        0.000000        -3.000000       X24        0.000000        -7.000000       X25        1.000000        -10.000000       X31        0.000000        -1.000000       X32        0.000000        -3.000000       X33        0.000000        -4.000000       X34        1.000000        -9.000000       X35        0.000000        -10.000000       X41        0.000000        -1.000000       X42        1.000000        -4.000000       X43        0.000000        -5.000000       X44        0.000000        -10.000000       X45        0.000000        -10.000000       X51        1.000000          0.000000       X52        0.000000          0.000000       X53        0.000000          0.000000       X54        0.000000          0.000000       X55        0.000000          0.000000       ROW  SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES         2)        0.000000          0.000000         3)        0.000000          0.000000         4)        0.000000          0.000000         5)        0.000000          0.000000         6)        0.000000          0.000000         7)        0.000000          0.000000         8)        0.000000          0.000000         9)        0.000000          0.000000       10)        0.000000          0.000000       11)        0.000000          0.000000 NO. ITERATIONS=      15 BRANCHES=    0 DETERM.=  1.000E    0 这个结果说明：LINDO求解此（0，1）整数线性规划问题（LP）只15步迭代得到最优解fmax = 25，x13 = x25 = x34 = x42 = x51 =1，其它xij = 0。松弛变量都取0值，即，这个最优解使得约束条件都取等号；其对偶问题的最优解（影子价格）DUAL PRICES都为0。 例6-5求解下列整数线性规划问题（参见第5章例6）： 在LINDO环境下，输入下列命令： MAX 20X1+10Y1 ST X1+X2+X3=30 Y1+Y2+Y3=20 20X1+10Y1=30X2+20Y2 30X2+20Y2=25X3+15Y3 20X1+10Y1<800 30X2+20Y2<1300 25X3+15Y3<1050 END GIN 6 LINDO运行后，输出以下结果：STATUS：OPTIMAL LP OPTIMUM FOUND AT STEP      5 OBJECTIVE VALUE =  350.000000 FIX ALL VARS.(    2)  WITH RC >  0.000000E+00 DELETE      Y2 AT LEVEL    1 RELEASE FIXED VARIABLES FIX ALL VARS.(    1)  WITH RC >  0.000000E+00 DELETE      Y2 AT LEVEL    1 RELEASE FIXED VARIABLES FIX ALL VARS.(    1)  WITH RC >  0.000000E+00 SET      X3 TO <=    11 AT    1, BND=  348.7    TWIN=-0.1000E+31    17 SET      X2 TO >=    2 AT    2, BND=  348.3    TWIN=-0.1000E+31    18 SET      Y2 TO <=    14 AT    3, BND=  348.1    TWIN=-0.1000E+31    19 SET      X2 TO >=    3 AT    4, BND=  347.5    TWIN=-0.1000E+31    20 SET      X3 TO <=    9 AT    5, BND=  347.0    TWIN=-0.1000E+31    22 SET      X2 TO >=    4 AT    6, BND=  346.7    TWIN=-0.1000E+31    23 SET      Y2 TO <=    11 AT    7, BND=  346.5    TWIN=-0.1000E+31    25 SET      X2 TO >=    5 AT    8, BND=  345.8    TWIN=-0.1000E+31    26 SET      X3 TO <=    7 AT    9, BND=  345.2    TWIN=-0.1000E+31    28 SET      X2 TO >=    6 AT  10, BND=  345.0    TWIN=-0.1000E+31    29 SET      Y2 TO <=    8 AT  11, BND=  344.9    TWIN=-0.1000E+31    31 SET      X3 TO <=    6 AT  12, BND=  344.3    TWIN=-0.1000E+31    33 SET      X2 TO >=    7 AT  13, BND=  344.2    TWIN=-0.1000E+31    34 SET      Y2 TO <=    6 AT  14, BND=  343.8    TWIN=-0.1000E+31    36 SET      X2 TO >=    8 AT  15, BND=  343.3    TWIN=-0.1000E+31    37 SET      Y2 TO <=    5 AT  16, BND=  343.2    TWIN=-0.1000E+31    39 SET      X2 TO >=    9 AT  17, BND=  342.5    TWIN=-0.1000E+31    40 SET      Y2 TO <=    3 AT  18, BND=  342.2    TWIN=-0.1000E+31    42 SET      X2 TO >=    10 AT  19, BND=  341.7    TWIN=-0.1000E+31    43 SET      Y2 TO <=    2 AT  20, BND=  341.6    TWIN=-0.1000E+31    45 SET      X2 TO >=    11 AT  21, BND=  340.8    TWIN=-0.1000E+31    46 SET      Y2 TO <=    0 AT  22, BND=  340.5    TWIN=-0.1000E+31    47 DELETE      X2 AT LEVEL    23 DELETE      Y2 AT LEVEL    22 DELETE      X2 AT LEVEL    21 DELETE      Y2 AT LEVEL    20 DELETE      X2 AT LEVEL    19 DELETE      Y2 AT LEVEL    18 DELETE      X2 AT LEVEL    17 DELETE      Y2 AT LEVEL    16 DELETE      X2 AT LEVEL    15 DELETE      Y2 AT LEVEL    14 DELETE      X2 AT LEVEL    13 DELETE      X3 AT LEVEL    12 DELETE      Y2 AT LEVEL    11 DELETE      X2 AT LEVEL    10 DELETE      X3 AT LEVEL    9 DELETE      X2 AT LEVEL    8 DELETE      Y2 AT LEVEL    7 DELETE      X2 AT LEVEL    6 DELETE      X3 AT LEVEL    5 DELETE      X2 AT LEVEL    4 DELETE      Y2 AT LEVEL    3 DELETE      X2 AT LEVEL    2 DELETE      X3 AT LEVEL    1 RELEASE FIXED VARIABLES SET      Y2 TO <=    15 AT    1, BND=  347.8    TWIN=-0.1000E+31    59 SET      X2 TO >=    2 AT    2, BND=  347.5    TWIN=-0.1000E+31    62 SET      Y2 TO <=    14 AT    3, BND=  347.3    TWIN=-0.1000E+31    64 SET      X2 TO >=    3 AT    4, BND=  346.7    TWIN=-0.1000E+31    66 SET      Y2 TO <=    12 AT    5, BND=  346.2    TWIN=-0.1000E+31    70 SET      X2 TO >=    4 AT    6, BND=  345.8    TWIN=-0.1000E+31    72 SET      Y2 TO <=    11 AT    7, BND=  345.7    TWIN=-0.1000E+31    75 SET      X2 TO <=    4 AT    8, BND=  340.0    TWIN=  345.0        77 NEW INTEGER SOLUTION OF    340.000000    AT BRANCH    33 PIVOT      77 BOUND ON OPTIMUM:  349.1667 DELETE      X2 AT LEVEL    8 DELETE      Y2 AT LEVEL    7 DELETE      X2 AT LEVEL    6 DELETE      Y2 AT LEVEL    5 DELETE      X2 AT LEVEL    4 DELETE      Y2 AT LEVEL    3 DELETE      X2 AT LEVEL    2 DELETE      Y2 AT LEVEL    1 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES=    33 PIVOTS=      77 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION...         OBJECTIVE FUNCTION VALUE         1)      340.0000   VARIABLE        VALUE          REDUCED COST         X1        13.000000        -20.000000         Y1        8.000000        -10.000000         X2        4.000000          0.000000         X3        13.000000          0.000000         Y2        11.000000          0.000000         Y3        1.000000          0.000000       ROW  SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES         2)        0.000000          0.000000         3)        0.000000          0.000000         4)        0.000000          0.000000         5)        0.000000          0.000000         6)      460.000000          0.000000         7)      960.000000          0.000000         8)      710.000000          0.000000 NO. ITERATIONS=      77 BRANCHES=  33 DETERM.=  1.000E    0 这个结果说明：LINDO求解此线性规划问题（LP）共用77步迭代得到最优解 fmax = 340，x1 = 13，x2 = 4，x3 = 13，y 1= 8， y2  = 11，y3 = 1 。前4个松弛变量取0值，即，这个最优解使得前4个约束条件取等号；其对偶问题的最优解（影子价格）DUAL PRICES都为0。 例6-6求解下列整数线性规划问题（参见第5章例8）： 在LINDO中输入下列命令： MIN X1+X2+X3+X4+X5+X6 ST X2+2X3+3X4+4X5+5X6>10000 6X1+5X2+3X3+2X4+X5>20000 END GIN 6 LINDO运行后输出以下结果：STATUS：OPTIMAL LP OPTIMUM FOUND AT STEP      3 OBJECTIVE VALUE =  5200.00000 FIX ALL VARS.(    4)  WITH RC >  0.400000E-01 NEW INTEGER SOLUTION OF    5200.00000    AT BRANCH      0 PIVOT      3 BOUND ON OPTIMUM:  5200.000 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES=    0 PIVOTS=      3 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION...       OBJECTIVE FUNCTION VALUE         1)      5200.000 VARIABLE        VALUE          REDUCED COST         X1        0.000000          1.000000         X2      4000.000000          1.000000         X3        0.000000          1.000000         X4        0.000000          1.000000         X5        0.000000          1.000000         X6      1200.000000          1.000000       ROW  SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES         2)        0.000000          0.000000         3)        0.000000          0.000000 NO. ITERATIONS=      3 BRANCHES=    0 DETERM.=  1.000E    0 这个结果说明：LINDO求解此线性规划问题（LP）共用3步迭代得到最优解 fmin = 5200， x2 = 4000， x6 = 1200，其它xj = 0 。松弛变量都取0值，即，这个最优解使得约束条件都取等号；其对偶问题的最优解（影子价格）DUAL PRICES都为0。 例6-7  两辆铁路平板车的装货问题（美国大学生MCM1988-B题） 有7种规格的集装箱C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7要装到两辆平板车上去，所有集装箱的宽和高是相同的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以千克计）是不同的，见下表： C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 t 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0 w 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000 件数 8 7 9 6 6 4 8 每辆平板车有10.2米长的地方可用来装集装箱（像面包片那样），载重为40吨。由于当地货运的限制，对C5、C6、C7类的集装箱的总数有一个限制：这3类箱子在两辆车上所占空间（厚度）的总和不能超过302.7厘米。问：怎样装车可以使得两辆平板车上剩下的空隙总和最小？ 一、 必要的假设和问题的分析 （1） 两个集装箱紧挨在一起没有缝隙； （2） 平板车上剩下的空隙是指：任一种集装箱都放不下的小空间； （3） 将第 j类集装箱Cj的厚度记为tj，重量记为wj，总件数记为nj。设第j类集装箱在第一个平板车上装了xj个，在第二个平板车上装了yj个，令 T1 = t1*x1+t2*x2+…+t7*x7；T2 = t1*y1+t2*y2+…+t7*y7 则有下列一般模型： 具体到本题，我们得到： 在LINDO中输入以下命令： MIN -48.7X1-52X2-61.3X3-72X4-48.7X5-52X6-64X7-48.7Y1-52Y2-61.3Y3-72Y4-48.7Y5-52Y6-64Y7 SUBJECT TO X1+Y1<8 X2+Y2<7 X3+Y3<9 X4+Y4<6 X5+Y5<6 X6+Y6<4 X7+Y7<8 48.7X1+52X2+61.3X3+72X4+48.7X5+52X6+64X7<1020 48.7Y1+52Y2+61.3Y3+72Y4+48.7Y5+52Y6+64Y7<1020 2000X1+3000X2+1000X3+500X4+4000X5+2000X6+1000X7<40000 2000Y1+3000Y2+1000Y3+500Y4+4000Y5+2000Y6+1000Y7<40000 48.7X5+48.7Y5+52X6+52Y6+64X7+64Y7<302.7 END GIN 14 LINDO运行后输出如下结果：STATUS INFEASIBLE 共迭代3488次，得到的仍然是不可行解（注：LINDO是用分枝定界法求解整数规划的）。 另想办法求解： Step1 先求 max 48.7x5+48.7y5+52x6+52y6+64x7+64y7 st x5+y5<6 x6+y6<4 x7+y7<8 48.7x5+48.7y5+52x6+52y6+64x7+64y7<302.7 end gin 6 得到结果： LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION...         OBJECTIVE FUNCTION VALUE         1)      302.1000   VARIABLE        VALUE          REDUCED COST         X5        3.000000        -48.700001         Y5        0.000000        -48.700001         X6        3.000000        -52.000000         Y6        0.000000        -52.000000         X7        0.000000        -64.000000         Y7        0.000000        -64.000000       ROW  SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES         2)        3.000000          0.000000         3)        1.000000          0.000000         4)        8.000000          0.000000         5)        0.599998          0.000000 NO. ITERATIONS=    1753 BRANCHES=  566 DETERM.=  1.000E    0 此时的最优解为：x5 = 3 ，x6 = 3，x7 = y5 = y6 = y7 = 0。 Step2  将这个结果代入到原模型中，则： max 48.7x1+52x2+61.3x3+72x4+48.7y1+52y2+61.3y3+72y4 st 48.7x1+52x2+61.3x3+72x4<717.9 48.7y1+52y2+61.3y3+72y4<1020 2000x1+3000x2+1000x3+500x4<30000 2000y1+3000y2+1000y3+500y4<40000 x1+y1<8 x2+y2<7 x3+y3<9 x4+y4<6 end gin 8 得到最优解为： LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION...         OBJECTIVE FUNCTION VALUE         1)      119045.9   VARIABLE        VALUE          REDUCED COST         X1        8.000000    -14712.269531         X2        0.000000        -52.000000         X3        3.000000        -61.299999         X4        2.000000        -72.000000         Y1        0.000000        -48.700001         Y2        7.000000        -52.000000         Y3        6.000000        -61.299999         Y4        4.000000        -72.000000       ROW  SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES         2)        0.399996          0.000000         3)        0.200005          0.000000         4)    10000.000000          0.000000         5)    11000.000000          0.000000         6)        0.000000          0.000000         7)        0.000000          0.000000         8)        0.000000          0.000000         9)        0.000000          0.000000 NO. ITERATIONS=      77 BRANCHES=  20 DETERM.=  1.000E    0 即，X1 = 8，X2 = 0，X3 = 3，X4 = 2，Y1 = 0，Y2 = 7，Y3 = 6，Y4 = 4为最优解。 综合起来，得到总体最优解为： X1 = 8，X2 = 0，X3 = 3，X4 = 2，X5 = 3，X6 = 3，X7 = 0； Y1 = 0，Y2 = 7，Y3 = 6，Y4 = 4，Y5 = 0，Y6 = 0，Y7 = 0。 此时，第一辆车上的空隙为：1020 -（48.7*8+3*61.3+2*72+3*48.7+3*52）= 0.4厘米；       第二辆车上的空隙为：1020 -（52*7+6*61.3+4*72）= 0.2厘米。 §6.4 求解二次规划问题 LINDO可以求解二次规划（QP）问题。例如：   由Lagrange乘子法，得 ， 分别对x、y求偏导，得到两个约束条件：   在LINDO中输入下列命令： MIN X+Y+A+B+C ST 6X-Y-1.2A+B>0 2Y-X-0.9A+B+C>-0.4 1.2X+0.9Y>1.1 X+Y=1 Y<0.7 END QCP 4 注释：MIN X+Y+A+B+C一句只代表变量的出场顺序； QCP 4 一句代表前4行不是原问题真正的约束，原问题真正的约束从第5行开始。   LINDO运行后输出以下结果：STATUS OPTIMAL QP OPTIMUM FOUND AT STEP      7         OBJECTIVE FUNCTION VALUE         1)      1.355556   VARIABLE        VALUE          REDUCED COST         X        0.666667          0.000000         Y        0.333333          0.000000         A        10.888889          0.000000         B        9.400000          0.000000         C        0.000000          0.366667       ROW  SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES         2)        0.000000        -0.666667         3)        0.000000        -0.333333         4)        0.000000        -10.888889         5)        0.000000          9.400000         6)        0.366667          0.000000 NO. ITERATIONS=      7 这个结果说明：LINDO求解此二次规划问题（QP）共用7步迭代得到最优 解 fmin = 1.355556，X = 0.666667，Y = 0.333333。第5个松弛变量取值0.366667， 其它松弛变量都取0值，即，这个最优解使得前4个约束条件都取等号；其对偶 问题的最优解（影子价格）DUAL PRICES为Y1 = -0.666667，Y2 = -0.333333， Y3 = -10.888889，Y4 = 9.4，Y5 = 0。 §6.5 应用示例 例6-8 （农户生产的优化模型） 本例 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 取自生产实践，豫东一个普通农户，该农户所在地区的农业生产条件、气候状况属于中等。下列各变量的假设均建立在农村一般农业生产条件、气候状况之上。假设（面积单位：亩）： X1 = 用于完成上缴国家任务的小麦一年总种植面积 X2 = 用于生产、生活的小麦一年总种植面积 X3 =用于生产、生活的油菜一年总种植面积 X4 =用于生产、生活的红薯一年总种植面积 X5 =用于完成上缴国家任务的棉花一年总种植面积 X6 =用于生产、生活的棉花一年总种植面积 X7 =用于完成上缴国家任务的玉米一年总种植面积 X8 =用于生产、生活的玉米一年总种植面积 X9 =用于生产、生活的芝麻一年总种植面积 X10 =用于生产、生活的花生一年总种植面积 X11 =用于生产、生活的大豆一年总种植面积 X12 =用于生产、生活的西瓜一年总种植面积 X13 =用于生产、生活的番茄一年总种植面积 X14 =用于生产、生活的白菜一年总种植面积 X15 =用于生产、生活的辣椒一年总种植面积 X16 =用于生产、生活的茄子一年总种植面积 X17 =用于生产、生活的豆角一年总种植面积 X18 =用于生产、生活的萝卜一年总种植面积 F ( X1，X2，。。。，X18 ) = 该农户一年总的纯收入 该农户家庭人口6人，无剩余劳动力，共有可耕地12亩。生产细节如下表： 播种 时间 收获 时间 生长 期（天） 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 种植 面积（亩/年） 亩产量 （斤/亩） 家庭上缴任务（斤/年） 每亩投资 （元） 小麦 9月中旬 来年4月 240 10 600 780 75 油菜 9月中旬 来年4月 230 1.5 200 50 红薯 5月中旬 9月下旬 135 3.0 2000 80 棉花 4月下旬 9月下旬 160 3.0 皮棉100 皮棉300 80 玉米 5月中旬 9月下旬 90 4.0 700 600 36 芝麻 5月中旬 9月上旬 100 0.5 120 20 花生 5月上旬 8月下旬 110 0.2 300 40 大豆 5月中旬 8月下旬 90 1.0 150 10 西瓜 5月上旬 8月中旬 90 1.0 3500 100 番茄 4月下旬 9月中旬 140 0.1 10000 120 白菜 4月下旬 9月下旬 90 0.1 10000 120 辣椒 4月中旬 10月上旬 180 0.1 (干)200 90 茄子 4月中旬 10月上旬 180 0.05 10000 100 豆角 4月下旬 9月下旬 140 0.05 6250 120 萝卜 6月中旬 10月上旬 110 0.9 10000 50 国家收购价（元/斤） 市场价（元/斤） 必需口粮数（斤/年） 喂养家畜消耗量（斤/年） 果籽出油率（a%/亩） 植物油需求量（斤/年） 小麦 0.32 0.35 4380 油菜 1.00 15% 30 红薯 0.19 600 1500 棉花 2.95 10% 12 玉米 0.22 0.27 2600 芝麻 2.00 40% 6 花生 0.90 大豆 0.90 西瓜 0.12 番茄 0.08 白菜 0.05 辣椒 5.00 茄子 0.06 豆角 0.20 萝卜 0.05 根据上表情况，得到： 小麦：600X1≥780，600X2≥4380，4月底收获后再种其它作物，有 X1 + X2+X3 = 12， 利润 0.35（600X1-780）+ 0.32*780 - 75X1 = 135X1-30；     0.35（600X2-4380）- 75X2 = 135X2-1533； 油菜：200X3 ≥30，利润 200X3 –30 –50X3；= 150 X1-30； 红薯：2000 X4 ≥600+1500，利润 0.19（2000X4 –2100）– 80X4 = 300 X4-399； 棉花：100X5≥300，10%*100X6≥12， 利润 2.95*100X5-80X5-80X6 = 215 X5-80 X6 ； 玉米：700X7≥600，700X8≥2600， 利润  0.27（700X7-600）+0.22*600-36X7 = 153X7 –30, 0.27（700X8-600）-36X8 = 153X8 –702, 芝麻：40%*120X9≥6，利润 2（120X9-6/0.4）- 20X9 = 220 X9-30； 花生：利润 0.90*300X10 - 20X10 = 250X10 ； 大豆：利润 0.90*150X11 - 10X11 = 125X11 ； 西瓜：利润 0.12*3500X12 - 100X12 = 320X12 ； 番茄：利润 0.08*10000X13 - 120X13 = 680X13 ； 白菜：利润 0.05*10000X14 - 120X14 = 380X14 ； 辣椒：利润 5*200X15 - 90X15 = 910X12 ； 茄子：利润 0.06*10000X16 - 100X16 = 500X12 ； 豆角：利润 0.20*6250X17 - 120X17 = 1130X17 ； 萝卜：利润 0.05*10000X18 - 50X18 = 450X18 ； 得到模型如下： 在LINDO中送入以下命令： MAX 135X1+135X2+150X3+300X4+215X5-80X6+153X7+153X8+220X9 +250X10+125X11+320X12+680X13+380X14+910X15+500X16+1130X17+450X18 ST 60X1>78 60X2>438 20X3>3 20X4>21 X5>3 X6<1.2 7X7>6 7X8>26 8X9<1 X1+X2+X3=12 X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18=12 END 得到结果： LP OPTIMUM FOUND AT STEP      8         OBJECTIVE FUNCTION VALUE         1)      7148.214   VARIABLE        VALUE          REDUCED COST         X1        1.300000          0.000000         X2        7.300000          0.000000         X3        3.400000          0.000000         X4        1.050000          0.000000         X5        3.000000          0.000000         X6        0.000000      1210.000000         X7        0.857143          0.000000         X8        3.714286          0.000000         X9        0.000000        910.000000       X10        0.000000        880.000000       X11        0.000000      1005.000000       X12        0.000000        810.000000       X13        0.000000        450.000000       X14        0.000000        750.000000       X15        0.000000        220.000000       X16        0.000000        630.000000       X17        3.378572          0.000000       X18        0.000000        680.000000       ROW  SLACK OR SURPLUS    DUAL PRICES         2)        0.000000        -0.250000         3)        0.000000        -0.250000         4)        65.000000          0.000000       5)        0.000000        -41.500000         6)        0.000000      -915.000000         7)        1.200000          0.000000         8)        0.000000      -139.571426         9)        0.000000      -139.571426       10)        1.000000          0.000000       11)        0.000000        150.000000       12)        0.000000      1130.000000 NO. ITERATIONS=      8 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:                           OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE        CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE                   COEF          INCREASE        DECREASE       X1      135.000000        14.999999        INFINITY       X2      135.000000        14.999999        INFINITY       X3      150.000000        INFINITY        14.999999       X4      300.000000      830.000000        INFINITY       X5      215.000000      915.000000        INFINITY       X6      -80.000000      1210.000000        INFINITY       X7      153.000000      976.999939        INFINITY       X8      153.000000      976.999939        INFINITY       X9      220.000000      910.000000        INFINITY       X10      250.000000      880.000000        INFINITY       X11      125.000000      1005.000000        INFINITY       X12      320.000000      810.000000        INFINITY       X13      680.000000      450.000000        INFINITY       X14      380.000000      750.000000        INFINITY       X15      910.000000      220.000000        INFINITY       X16      500.000000      630.000000        INFINITY       X17    1130.000000        INFINITY      220.000000       X18      450.000000      680.000000        INFINITY                           RIGHTHAND SIDE RANGES       ROW        CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE                     RHS          INCREASE        DECREASE         2      78.000000      195.000000        77.999992         3      438.000000      195.000000      438.000000         4        3.000000        65.000000        INFINITY         5      21.000000        67.571426        20.999998         6        3.000000        3.378572        3.000000         7        1.200000        INFINITY        1.200000         8        6.000000        23.650000        6.000000         9      26.000000        23.650000        25.999998       10        1.000000        INFINITY        1.000000       11      12.000000        INFINITY        3.250000       12      12.000000        INFINITY        3.378572 最后得到FMAX = 7148.214 – 2015.4 = 5132.814（元）。         2      78.000000      195.000000        77.999992         3      438.000000      195.000000      438.000000         4        3.000000        65.000000        INFINITY         5      21.000000        67.571426        20.999998         6        3.000000        3.378572        3.000000         7        1.200000        INFINITY        1.200000         8        6.000000        23.650000        6.000000         9      26.000000        23.650000        25.999998       10        1.000000        INFINITY        1.000000       11      12.000000        INFINITY        3.250000       12      12.000000        INFINITY        3.378572 最后得到FMAX = 7148.214 – 2015.4 = 5132.814（元）。