[分享]大学物理刚体力学基础习
题
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思考题
大学物理刚体力学基础习题思考题
习题5
5-1(如图,一轻绳跨过两个质量为 、半径为 的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为 和 的重物,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为 ,将由两个定滑轮以及质量为 和 的重物组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
解:受力分析如图,可建立方程:
??
??
??
??
, ??
联立,解得: , 。
5-2(如图所示,一均匀细杆长为 ,质量为 ,平放在摩擦系数为 的水平桌面上,设开始时杆以角速度 绕过中心 且垂直与桌面的轴转动,试求:(1)作用于杆的摩擦力矩;(2)经过多长时间杆才会停止转动。
解:(1)设杆的线密度为: ,在杆上取一小质元 ,有微元摩擦力:
,
微元摩擦力矩: ,
考虑对称性,有摩擦力矩:
;
(2)根据转动定律 ,有: ,
,? 。
或利用: ,考虑到 , ,
有: 。
5-3(如图所示,一个质量为 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳
子的质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为 、半径为 ,其转动惯量为 ,试求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系。
解:受力分析如图,可建立方程:
??
??
, ??
联立,解得: , ,
考虑到 ,? ,有: 。
5-4(轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮的质量为 ,均匀分布在其边缘上,绳子 端有一质量为 的人抓住了绳端,而在绳的另一端 系了一质量为 的重物,如图。已知滑轮对 轴的转动惯量 ,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求 端重物上升的加速度,
解:选人、滑轮与重物为系统,设 为人相对绳的速度, 为重
物上升的速度,注意到 为匀速, ,系统对轴的角动量为:
而力矩为: ,
根据角动量定理 有: ,? 。
5-5(计算质量为 半径为 的均质球体绕其轴线的转动惯量。
解:设球的半径为 ,总重量为 ,体密度 , 考虑均质球体内一个微元: ,
由定义:考虑微元到轴的距离为
,有:
。
5-6(一轻弹簧与一均匀细棒连接,装置如图所示,已知弹簧的劲度系数 ,当 时弹簧无形变,细棒的质量 ,求在 的位置上细棒至少应具有多大的角速度 ,才能转动到水平位置, 解:以图示下方的三角桩为轴,从 时, 考虑机械能守恒,那么:
时的机械能为:
,
时的机械能为:
有:
根据几何关系: ,得:
5-7(如图所示,一质量为 、半径为 的圆盘,可绕 轴在铅直面内转动。若盘自静止下落,略去轴承的摩擦,求: (1)盘到虚线所示的铅直位置时,质心C和盘缘A点的速率;
(2)在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解:(1)设虚线位置的C点为重力势能的零点, 下降过程机械能守恒,
有: ,而
?
(2) ,方向向上。
5-8(如图所示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为 和 的小球,杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动,转轴O距两端分别为 和 (轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为 的小球,以水平速度 与杆下端小球 作对心碰撞,碰后以 的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度。
解:根据角动量守恒,有:
有:
?
5-9(一质量均匀分布的圆盘,质量为 ,半径为 ,放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为 ),圆盘可绕通过其中心 的竖直固定光滑轴转动。开始时,圆盘静止,一质量为 的子弹以水平速度 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求:(1)子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度;(2)经过多少时间后,圆盘停止转动。(圆盘绕通过 的竖直轴的转动惯量为 ,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)
解:(1)利用角动量守恒:
得: ;
(2)选微分 ,其中:面密度 ,
?由 有: ,
知:
将 代入,即得: 。
5-10(有一质量为 、长为 的均匀细棒,静止平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面上,它可绕通过其端点 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为 的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞,设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为 和 ,如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。
(已知棒绕 点的转动惯量 )
解:由碰撞时角动量守恒,考虑到 和 方向相反,以逆时针为正向,有:
,得:
又?细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得:
,利用 ,有:
,得: 。
5-11(如图所示,滑轮转动惯量为 ,半径为 ;物体的质量为 ,用一细绳与劲度系数 的弹簧相连,若绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴上的摩擦忽略不计。求:(1)当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离;(2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。
解:(1)设弹簧的形变量为 ,下落最大距离为 。 由机械能守恒: ,有:
;
(2)当物体下落时,由机械能守恒: , 考虑到 ,有: ,
欲求速度最大值,将上式两边对 求导,且令 ,有:
,将 代入,有: ,
?当 m时物体速度达最大值,有:
,代入数值可算出: 。
5-12(设电风扇的功率恒定不变为 ,叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度 成正比,比例系数的 ,并已知叶片转子的总转动惯量为 。(1)原来静止的电扇通电后 秒时刻的角速度;(2)电扇稳定转动时的转速为多大,(3)电扇以稳定转速旋转时,断开电源后风叶还能继续转多少角度,
解:(1)已知 ,而动力矩 ,
通电时根据转动定律有:
代入两边积分有: ,可求得: ;
(2)见上式,当 时,电扇稳定转动时的转速: ;
(3)断开电源时,电扇的转速为 ,只有 作用,那么:
,考虑到 ,有: ,
得: 。
5-13(如图所示,物体 放在粗糙的水平面上,与水平桌面之间的摩擦系数为 ,细绳的一端系住物体 ,另一端缠绕在半径为 的圆柱形转轮 上,物体与转轮的质量相同。开始时,物体与转轮皆静止,细绳松弛,若转轮以 绕其转轴转动。试问:细绳刚绷紧的瞬时,物体 的速度多大,物体 运动后,细绳的张力多大, 解:(1) 在细绳刚绷紧时获得一个冲量,得到速度,但此时无位移,摩擦力不做功,系统的机械能守恒:
,其中 , ,
可算出: ;
(2)物体 运动后,由牛顿定律: , 考虑到 ,
可求出: 。
5-14. 质量为 的小孩站在半径为 、转动惯量为 的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为 的速率沿台边缘逆时针走动时,此平台相对地面旋转的角速度 为多少,
解:此过程角动量守恒: ,有: 。
5-15(以速度 作匀速运动的汽车上,有一质量为 ( 较小),边长为 的立方形货物箱,如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时,货物箱绕其底面 边翻转。试求:(1)汽车刹车停止瞬时,货物箱翻转的角速度及角加速度;(2)此时,货物箱 边所受的支反力。
解:(1)角动量守恒: ,
根据转动定律 , ;
(2)如图,支反力 ,而:
? 。
【注:如图,对于立方体绕 轴的转动惯量,有:
】
思考题
5-1(一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 的定滑轮,绳的两端分别悬有质量 和 的物体 ( < ),如图所示,绳与轮之间无相对滑动,某时刻滑轮沿逆时针方向转动,则绳的张力多大, 解:
(1)
(2)
(3)
(4)
联立方程可得 、 , 。
5-2(一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 以角速度 按图示方向转动,若如图所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力 沿盘面方向同时作用到盘上,则盘的角速度 怎样变化,
答:增大
5-3(个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的:
(A)机械能守恒,角动量守恒;(B)机械能守恒,角动量不守恒;
(C)机械能不守恒,角动量守恒;(D)机械能不守恒,角动量不守恒。
答:(C)
5-4(在边长为 的六边形顶点上,分别固定有质量都是 的6个质点,如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量:(1)设转轴?、?在质点所在的平面内,如图 所示;(2)设转轴?垂直于质点所在的平面,如图 所示。
答:以?为轴转动惯量 ;
以?为轴转动惯量 ;
以?为轴转动惯量 。
5-5(如图 所示,半径分别是 和 、转动惯量分别是 和 的两个圆柱体,可绕垂直于图面的轴转动,最初大圆柱体的角速度为 ,现在将小圆柱体向左靠近,直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力,小圆柱体被带着转动,最后,当相对滑动停止时,两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。
试问这种情况角动量是否守恒,为什么,小圆柱的最终角速度多大,
答:角动量守恒,因为摩擦力的力矩为0。 由 ,有小圆柱的最终角速度为:
。
5-6(均质细棒的质量为 ,长为 ,开始时处于水平方位,静止于支点 上。一锤子沿竖直方向在 处撞击细棒,给棒的冲量为 。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。
答:撞击过程角动量守恒,棒获得一个角速度向上转动,当转到最大角度时,开始往下运动,最后回到平衡位置。